Ne place matematica !

Teorema celor trei perpendiculare Problema rezolvata

Pe planul triunghiului echilateral ABC de latura AB=18 cm se ridica perpendiculara pe planul triunghiului in centrul cercului circumscris triunghiului, MO\perp \left(ABC\right), cu MO= 3cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile triunghiului.

Demonstratie

distanta de la un punct la o dreapta

Stim ca
MO\perp\left(ABC\right) (din ipoteza)
Stim ca O este punctul de intersectie al mediatoarelor, dar mai stim si ca, conform proprietatii triunghiului echilateral: Intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid, deci putem considera ca CF este si inaltime,F\in \left(AB\right), astfel

OF\perp AB, OF, AB\subset \left(ABC\right) si cu Teorema celor Trei perpendiculare obtinem ca MF\perp AB si astfel am gasit distanta de la punctul M la dreapta AB .
Stim ca triunghiul MOF este dreptunghic in O, din ipoteza stim MO=3 cm,iar pentru a afla OF stim ca CF este mediana .Mai stim ca medianele intr-un triunghi sunt situate la doua treimi fata de varf, adica CO=\frac{2}{3}\cdot CF si o treime fata de baza, adica FO=\frac{1}{3}\cdot CF, tot cu proprietatea care am enuntat-o mai sus stim ca CF este si inaltime, iar inaltimea intr-un triunghi echilateral este Cf=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}, iar FO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
Acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul MOF si obtinem
MF^{2}=MO^{2}+FO^{2}\Rightarrow MF^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow MF^{2}=9+27\Rightarrow MF=\sqrt{36}\Rightarrow MF= 6 cm.
Deci d\left(M, AB\right)=MF=6cm
Acum pentru a afla d(M, BC)
Observam de asemenea ca MO\perp\left(ABC\right)
De asemenea DO\perp BC, iar cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem MD\perp BC
Deci d(M BC)=MD
Teorema celor trei perpendiculare
Acum la fel ca si mai sus DO=\frac{1}{3}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}=3\sqrt{3}, stim ca AD este inaltime in triunghiul echilateral, adica AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}, atentie aceasta formula o aplicam doar pentru triunghiul echilateral ca sa aflam inaltimea, iar acum in triunghiul dreptunghic MDO dreptunghic in O, aplicam Teorema lui Pitagora
MD^{2}=MO^{2}+OD^{2}\Rightarrow MD^{2}=9+27\Rightarrow MD=\sqrt{36}\Rightarrow MD=6 cm

Acum pentru a afla distanta de la M la dreapta AC
Deci d\left(M, AC\right)=ME
Teorema celor trei perpendiculare
Stim ca

MO\perp \left(ABC\right)
OE\perp AC, OE, AC\subset \left(ABC\right)\Rightarrow ME\perp AC
Deci \left(M, AC\right)=ME
Cum stim ca triunghiul MOE este dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora
ME^{2}=MO^{2}+OE^{2}\Rightarrow ME^{2}=9+27\Rightarrow ME=\sqrt{36}\Rightarrow ME=6
Deci am gasit ca distanta de la punctul M la dreptele AB, AC, BC este egala cu 6 cm.

Leave a comment