Teorema inaltimii

Astazi o sa discutam despre Teorema inaltimii. Dar mai intai, ca sa stim sa aplicam teorema inaltimii, trebuie sa stim notiunea de ”proiectia ortogonala pe o dreapta”, astfel incepem prin a defini  aceasta notiune:

Definitie: Proiectia ortogonala a unui punct pe o dreapta este piciorul perpendicularei dusa din acel punct pe dreapta.

care este proiectia unui punct pe o dreapta

Astfel
pr_{d} A=A'  \\ A\notin d
si pr_{d} N=N', N\in d
Teorema: Proiectia unui segment pe o dreapta este un segment sau un punct.

care este proiectia unui segment pe o dreapta
Acum enuntam Teorema inaltimii

Teorema : Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este egala cu produsul lungimii proiectiilor catetelor pe ipotenuza.

Sau
Intr-un triunghi dreptunghic lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este media geometrica a lungimii proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Cum aplicam Teorema inaltimii
Cu notatile din figura avem:
AD^{2}=CD\cdot DC
Sau
AD=\sqrt{CD\cdot DC}
Lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este raportul dintre produsul lungimilor catetelor si lungimea ipotenuzei.
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}.

Problema

1) In triunghiul ABC cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0} si BC=20 cm. Daca masura unghiului dintre inaltimea si mediana duse din A este de 30^{0}, calculati lungimea inaltimii si aria triunghiului ABC.

Demonstratie:
Fie AD inaltimea, si AM mediana triunghiului duse din varful unghiului drept, deci unghiul care l-am format este
m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}.
Teorema inaltimii
Dupa cum observati stim ca m\left(\widehat{DAM}\right)=30^{0}., dar mai stim si ca AD este inaltime, deci m\left(\widehat{ADM}\right)=90^{0} si astfel putem sa aflam si masura unghiului AMD, adica
m\left(\widehat{ADM}\right)+m\left(\widehat{DAM}\right)+m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}\Rightarrow
90^{0}+30^{0}+m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}\Rightarrow
m\left(\widehat{AMD}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow
m\left(\widehat{AMD}\right)=60^{0}
Dar stim ca AM este mediana in triunghiul dreptunghic ABC, deci putem aplica Teorema Medianei, adica
AM=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10, dar daca AM este medina stim si ca
BM=MC=10 cm dar si cu Teorema Medianei avem ca BM=MC=AM=10 cm.

Astfel gasim ca triunghiul AMC este isoscel, dar si triunghiul AMB este isoscel, cu un unghi de m\left(\widehat{AMB}\right)=60^{0} deci triunghiul AMB este echilateral, deci daca triughiul AMB este echilateral gasim ca AM=MB=AB=10 cm.
Dar mai stim si ca triunghiul AMC este isoscel, stim masura unghiului AMB, deci putem afla masura unghiului AMC, deoarece suma masurii unghiurilor pe o drepata este de 180^{0}, astfel avem
180^{0}=m\left(\widehat{BMA}\right)+m\left(\widehat{AMC}\right)\Rightarrow 180^{0}=60^{0}+m\left(\widehat{AMC}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{AMC}\right)=180^{0}-60^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AMC}\right)=120^{0}, dar mai stim si ca triunghiul AMC este isocel, deci gasim ca
m\left(\widehat{MAC}\right)=m\left(\widehat{MCA}\right)=\frac{180^{0}-120^{0}}{2}\Rightarrow m\left(\widehat{MAC}\right)=m\left(\widehat{MCA}\right)=30^{0}
Acum ca sa aflam DM in triunghiul DAM, aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}
DM=\frac{AM}{2}=\frac{10}{2}=5 cm
Observam ca m\left(\widehat{DAC}\right)=60^{0}
Deci stim ca BC=BD+DM+MC, noi trebuie sa aflam BD si DC, astfel avem
20=BD+5+10\Rightarrow BD=20-15\Rightarrow BD=5 cm, iar
DC=DM+MC=5+10\Rightarrow DC=15 cm
Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci putem aplica Teorema inaltimii
AD^{2}=BD\cdot DC\Rightarrow AD^{2}=5\cdot 15\Rightarrow AD=\sqrt{5\cdot 15}\Rightarrow AD=5\sqrt{3}
Deci inaltimea in triunghiul ABC este 15\sqrt{3}.
Acum ca sa aflam aria triunghiului ABC, aplicam formula pentru arie a unui triunghi
A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{20\cdot 15\sqrt{3}}{2}=10\cdot 15\sqrt{3}=150\sqrt{3}.
Altfel putem afla aria triunghiului daca aplicam formula pentru aria triunghiului dreptunghic, adica
A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}
Dar noi observam ca nu stim cateta AC.
Cateta AC o sa invatam sa o calculam cu Teorema catetei sau cu Teorema lui Pitagora, dar intr-un alt articol.

2 comentarii la “Teorema inaltimii

Lasă un răspuns