Ne place matematica !

Teorema lui Thales

Ca sa intelegem Teorema lui Thales trebuie sa stim cand doua rapoarte sunt proportionale. Mai intai trebuie sa stim ce conditie trebuie sa  punem , adica :

Segmentele  \left[AB\right], \left[BC\right], \left[CD\right]  sunt proportionale cu segmentele \left[A'B'\right], \left[B'C'\right], \left[C'D'\right], daca  lungimile lor exprimate cu aceeasi unitate de masura sunt proportionale.

 

\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}

Obs: Raportul a doua segmente este raportul lungimilor exprimate cu aceeasi unitate de masura.

Raportul a doua segmente nu depinde de  unitatea de masura aleasa.

Teorema lui Thales

O paralelea dusa  la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi (sau pe prelungirile acestora)  segmente proportionale.

Fie triunghiul ABC si DE|| BC astfel incat D\in AB, E\in AC

Cum aplicam teorema lui Thales intr-un triunghi
DE||BC rezulta
\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Obs: Concluzia teoremei lui Thales, scrisa pe baza figurii de mai sus poate fi scrisa folosind proportii derivate. Pentru a le retine mai usor, observati corepondenta punctelor de pe o latura cu cele de pe cealalta latura: A\rightarrow A, D\rightarrow E, B\rightarrow C, astfel se pot forma 6 proportii:

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}, \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE},\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC},\frac{DB}{DA}=\frac{EC}{EA}, \frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CE}, \frac{BD}{BA}=\frac{CE}{CA}.

Problema:

In triunghiul  MNP, R\in MN, MN=8 cm, MF=10 cm si ME=12 cm.

Calculati:

MP, daca  MT+MP= 24 cm, MN=14 cm, RN=10 cm

Dem:

Teorema lui Thales aplicatie
Daca aplicam teorema lui Thales cu ajutorul proportiilor derivate obtinem:
\frac{MR}{MN}=\frac{MT}{MP}
Stim si ca MT+MP=24 cm, rezulta ca MP=24-MT Stim si ca MN=MR+RN, rezulta ca 14 cm=MR+10 cm, deci MR=14cm- 10 cm, MR=4 cm.
Inlocuind mai sus cu datele pe care le stim obtinem:
\frac{4}{14}=\frac{MT}{24-MT} \Rightarrow 4\cdot\left(24-MT\right)=14\cdot MT\Rightarrow
96-4\cdot MT=14MT\Rightarrow 14MT+4MT=96\Rightarrow 18MT=96 cm \Rightarrow MT=96:18\Rightarrow MT=\frac{96}{18} =\frac{16}{3}cm.
Stim ca MT+MP=24 cm \Rightarrow \frac{16}{3} cm+MP=24 cm\Rightarrow MP=24-\frac{16}{3} cm\Rightarrow MP=\frac{24\cdot 3-1\cdot 16}{3}-\frac{72-16}{3}=\frac{56}{3} cm
Deci  este important sa intelegem cum sa aplicam teorema lui Thales, dar si proportiile derivate.