Ne place matematica !

Tipuri de asimptote Asimptotele functiilor reale

Pentru cei care va pregatiti pentru examenul de Bacalaureat asimptotele joaca un rol important, deci dupa ce am invatat sa calculam limitele unor functii, acum o sa invatam sa calculam asimptotele  functiilor  reale. Asimptotele sunt de trei tipuri:

asimptote orizontale

-asimptote oblice

-asimptote verticale

Incepem cu asimptote orizontale:

Fie f:R\rightarrow \left(0,+\infty\right), f\left(x\right)=a^{x}, a>0, a\neq 1 functia exponentiala cu baza ”a”.

Ca sa vedem daca avem asimptota orizontala calculam:

\lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)} si daca obtinem un numar a, atunci y=a este asimptota orizontala spre +\infty a functiei f. Deci

Def: Dreapta y=a este asimptota orizontala spre +\infty a functiei „f” daca   \lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)}=a\in R.

Dreapta y=a este asimptota orizontala spre -\infty a functiei „f” daca   \lim\limits_{x\to-\infty}{f\left(x\right)}=a\in R.

Problema asimptotelor orizontale pentru functia f:D\rightarrow R se pune numai la +\infty si -\infty si numai daca   +\infty sau -\infty sunt puncte de acumulare ale multimii D.

Exemplu:

Sa se determine asimptotele orizontale ale functiilor:

f:\left(1,+\infty\right)\Rightarrow, f\left(x\right)=\frac{\ln x}{1+\ln x}

In cazul functiei de mai sus calculam limita doar spre +\infty deoarece  acesta este punct de acumulare pentru D=\left(1,+\infty\right). Calculam limita

\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{\ln x}{1+\ln x}}=

\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{\ln x}{\ln x\left(\frac{1}{\ln x}+1\right)}}=1. Deci dreapta de ecuatie y=1 se numeste asimptota orizontala.

Asimptota oblica

De unde stim daca o asimptota este oblica?

Prima data vedem daca functia are asimptota orizontala, daca nu  are asimptota orizontala, verificam daca functia are asimptota oblica, daca are asiptote oblice calculam:
Teorema:

Fie f:D\rightarrow R

a) Daca \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=m\in R^{*} si n=\lim\limits_{x\to +\infty}{\left(f\left(x\right)-mx\right)} atunci dreapta y=mx+n este asimptota oblica spre +\infty si reciproc.

b)  Daca \lim\limits_{x\to-\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=m\in R^{*} si n=\lim\limits_{x\to -\infty}{\left(f\left(x\right)-mx\right)} atunci dreapta y=mx+n este asimptota oblica spre -\infty si reciproc.
Asadar functia f:R-\left\{2\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}}{x-2}
Calculam
m=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{\frac{x^{2}}{x-2}}{x}}
\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{x\cdot\left(x-2\right)}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{x^{2}-2x}}=
\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{x^{2}}{x^{2}\left(1-\frac{2}{x}\right)}^{(x^{2}}}
\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{1}{1}}=1\in R^{*}
Acum calculam
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\left(f\left(x\right)-mx\right)}
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\left(\frac{x^{2}}{x-2}-1\cdot x\right)}
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{x-2}-\left(x-2\right)\cdot x}
Dar si
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}-x^{2}+2x}{x-2}}
Astfel avem:
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{2x}{x-2}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{2x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}^{(x}}
\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{2}{1-0}}=2
Asadar stim ca m=1 si n=2
Deci ecuatia dreptei este y=m\cdot x+n\Rightarrow y=1\cdot x+2\Rightarrow y=x+2

Asimptotele verticale

Def: Dreapta x=x_{0} este asimptota verticala a functiei f daca cel putin una dintre limitele laterale f\left(x_{0}-0\right) sau f\left(x_{0}+0\right) exista si este infinita.

Dreapta x=x_{0} este asimptota verticala a functiei f daca cel putin una dintre limitele laterale f\left(x_{0}-0\right) sau f\left(x_{0}+0\right) exista si este infinita.

 

Daca f\left(x_{0}+0\right)  este +\infty sau -\infty, dreapta x=x_{0} se numeste asimptota verticala spre stanga.

Daca f\left(x_{0}+0\right)  este +\infty sau -\infty, dreapta x=x_{0} se numeste asimptota verticala spre dreapta.

Daca limitele laterale ale functiei f in x_{0} sunt infinite, dreapta x_{0} se numeste asimptota verticala bilaterala.

Exemple:

1) Sa se determine asimptotele functiei  f:D\rightarrow R

a) \frac{x^{3}}{x^{2}-9}

Calculam mai intai domeniul de definitie si observam ca

x^{2}-9=0\Rightarrow x^{2}=9\Rightarrow x=\pm\sqrt{9}\Rightarrow x=\pm 3.

Deci D=\left\{-3, 3\right\}

Verificam mai intai daca functia are asimptota orizontala.

\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\infty

Deci functia nu are asimptota orizontala.

Daca nu are asimptota orizontala verificam daca functia are asimptota oblica, astfel calculam

m=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}{x}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{3}}{x^{3}-x}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{3}}{x^{3}\left(1-\frac{x}{x^{3}}\right)}}=1

Calculam acum

n=\lim\limits_{x\to\infty}{f\left(x\right)-mx}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}-x}=

 

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{9x}{x^{2}-9}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x\cdot 9}{x\left(x-\frac{9}{x}\right)}}=0

Calculam acum

y=mx+n\Rightarrow y=x+0\Rightarrow y=x este asimptota oblica.

Calculam acum asimptota verticala

Domeniul de definitie l-am calculat si am vazut ca

D=\left(-\infty, -3\right)\cup \left(-3, 3\right)\cup \left(3, \infty\right)

f\left(-3,-0\right)=\lim\limits_{x\to\-3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{-9}{9-9}=\frac{-9}{0}=-\infty

f\left(-3,+0\right)=\lim\limits_{x\to -3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{-9}{9-9}=\frac{-9}{0}=+\infty.

f\left(3,+0\right)=\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{9}{9-9}=\frac{9}{0}=-\infty.

f\left(33,+0\right)=\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{9}{9-9}=\frac{-9}{0}=+\infty.

 

Rezulta ca dreptele x=-3 si x=3 sunt asimptote verticale bilaterale.