Ne place matematica !

Unghiul unei drepte cu un plan Lungimea proiectiei unui segment

Dupa ce am invatat despre unghiul a doua drepte in spatiu si despre proiectia unei drepte pe un plan, dar si proiectia unui punct pe un plan, astazi o sa vorbim despre unghiul unei drepte cu un plan, am amintit si de proiectia unei drepte pe un plan pentru ca o sa ne ajute sa intelegem cum calculam unghiul unei drepte cu un plan.

Def: Unghiul unei drepte cu  un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan (in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan si nici paralela cu el).cum aflam unghiul unei drepte cu un plan

m\left(\prec\left(d, \alpha\right)\right)=m\left(\prec\left(d, d'\right)\right)=u^{0}.

Obs: Daca dreapta este perpendiculara pe  plan, atunci masura  unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de 90^{0}.

Daca dreapta este paralela cu planul, atunci masura unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan este de 0^{0}.

Masura  unghiului  unei drepte cu un plan este cuprins intre 0^{0} si 90^{0}.

Unghiul unei drepte cu un plan are masura cea mai mica dintre unghiurile  format de dreapta cu  toate dreptele planului respectiv.

Prezentam un exemplu pentru a intelege cea ce am spus mai sus:

1) Se da cubul ABCDA’B’C’D’  cu muchia AB=8 cm. Aflati:

a) m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)

b) m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)

c)m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

e) distanta de la B’ la dreapta AC

f) tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

g) masura unghiului format de dreaptele BC’ si CD’

Dem:

Unghiul unei drepte cu un plan

 

 

a) m\left(\prec \left(CC',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec CC',BC\right)=m\left(\prec BCC'\right)=90^{0}

deoarece pr_{\left(ABC\right)} CC'=C, dar si din faptul ca dreapta CC’ este perpendiculara pe planul (ABC), daca dreapta este perpendiculara pe plan, atunci masura unghiului este de 90 de grade.

b) m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)

unghiul format de dreapta AD' cu planul (ABC)

 

 

 

 

m\left(\prec \left(AD',\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\prec\left(AD' AD\right)\right)=m\left(\prec D'AD\right)=45^{0}.

c) m\left(\prec \left(BC',\left(ADD'\right)\right)\right)=0^{0}

unghiul unei drepte cu un plan

 

Observam ca BC’|| AD’, stim ca daca o dreapta este paralela cu o dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este paralela cu planul deci BC’||(ADD’) si dupa cum am spus si la observatii daca dreapta este paralela cu planul atunci masura unghiului este de 0 grade.

 

d) sinusul unghiului format de dreapta AC’ cu planul (A’B’C’)

sinusul unghiului dintre o dreapta si un plan

 

\sin \left(\prec AC', \left(A'B'C'\right)\right)=\sin\left(\prec AC', A'C'\right)=\sin\prec AC'A'=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AA'}{AC'}=\frac{8}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

 

e) distanta de la B’ la dreapta AC

d\left(B', AC\right)=AO

distanta de la un punct la o dreapta

 

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe dreapta  BO perpendiculara pe drapta AC, astfel  stim ca BO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2} deoarece este jumatate din diagonala patratului BB’=8 si astfel in triunghiul BB’ O  dreptunghic in B’BO aplicam teorema lui Pitagora:

\Rightarrow B'O^{2}=96\Rightarrow B'O=\sqrt{96}\Rightarrow B'O=4\sqrt{6}.
f)  tangenta unghiului formata de dreapta AB’ cu planul (BDD’)

\tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)

tangenta uei drepte cu un plan

pr_{\left(BDD'\right)}AB'=B'O \tan\left(\prec AB', \left(BDD'\right)\right)=\tan\prec\left(AB' B'O\right)=\tan\prec AB'O=\frac{cat.opusa}{cat. alaturata}

 

Stim ca AO=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}

 

 

si  AB'=l\sqrt{2}=8\sqrt{2},

 

deoarece AB diagonala in patratul ABA’B’, stim ca B'O=4\sqrt{6}

Iar daca aplicam reciproca lui Pitagora observam ca triunghiul AOB’ este dreptunghic in O

unghiul unei drepte cu un plan

 

\tan\prec AB'O=\frac{AO}{B'O}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Lungimea proiectiei unui segment
Teorema Lungimea proiectiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului dintre dreapta suport a segmentului si dreapta respectiva.
cum calculam lungimea proiectiei unui segment

 

A'B'=AB\cdot\cos u