Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta Drepte paralele

Despre unghiuri am mai discutat si in semestrul anterior, dar acum o sa discutam despre unghiuri  determinate de doua drepte cu o secanta .

Incepem prin a defini notiunea de secanta

Definitie: O dreapta care intersecteaza doua drepte paralele in doua puncte distincte se numeste secanta.

Care este secanta intr-o figura

a\cap d=\left\{M\right\}    \\b\cap d=\left\{N\right\}\Rightarrow d este secanta.

Despre unghiuri interne si unghiuri externe am mai discutat, iar notiunile noi pe care le  introducem acum sunt notiunile de: unghiuri corespondente, unghiuri interne de aceasi parte a secantei, dar si unghiuri externe de aceiasi parte a secantei, in figura alaturata o sa arata si care sunt aceste unghiuri.

Tipuri de unghiuri corespondente, alterne interne, alterne externe

Astfel fata de dreptele date  a si b, unghiurile 4, 3, 5, 6 sunt interne, iar unghiurile 1, 2, 7, 8 sunt externe.

Fata de secanta d unghiurile 1, 4, 5, 8   sunt de aceiasi parte a secantei.

La fel si fata de secanta d unghiurile 2, 3, 6,7  sunt de aceiasi parte a secantei.

Iar fata de secanta d unghiurile 2 si 8, 4 si 6 sunt de o parte si de alta a secantei.

Unghiurile determinate de doua drepte paralele cu o secanta se denumesc astfel:

–  unghiuri alterne externe: 1 si 7 sau 2 si 8

– unghiuri alterne interne: 4 si 6 sau 3 si 5

-unghiri corespondente: 2 si 6 sau 3 si 7 sau 1 si 5 sau 4 si 8.

– unghiuri externe de aceiasi parte a secantei d:1 si 8 sau  2 si 7

–  unghiuri interne de aceiasi parte a secantei d: 3 si 6 sau 4 si 5.

Dupa cum bine stiti si despre dreptele paralele am mai discutat, dar acum o sa mai invatam si anumite criteii de paralelism.

Definitie: Doua drepte se numesc paralele daca nu au niciun punct in comun.

Cand doua drepte sunt paralele?

Matematic scriem:
c||d si citim dreapta d este paralela cu dreapta c.
Problema
1) Dreptele paralele a si b sunt taiate de secanta d in punctele a\cap d=\left\{A\right\} si b\cap d=\left\{B\right\}. Prin mijlocul O a segmentului \left[AB\right] se duce o dreapta oarecare e, care intersecteaza pe a in M si pe b in N. Demonstrati ca:
a) \left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
b) \left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
Demonstratie

cum folosim unghiurile determinate de o secanta
Observam ca
\widehat{MAO}\equiv\widehat{NBO} (unghiuri alterne interne)
Din ipoteza stim ca
\left[AO\right]\equiv\left[BO\right]
Dar din figura observam ca
\widehat{AOM}\equiv\widehat{BON}(ca unghiuri opuse la varf).
Deci cu cazul de congruenta U.L.U
\Delta AOM\equiv\Delta BON
Si astfel gasim si ca
\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]

congruenta triunghiurilor
b)
cum folosim unghiurile alterne interne
Stim din ipoteza ca
\left[AO\right]\equiv\left[OB\right]
Mai stim si ca
\widehat{MOB}\equiv\widehat{AON} (ca unghiuri opuse la varf)

\left[MO\right]\equiv\left[NO\right]
Si cu cazul de congruenta L.U.L
\Delta MOB\equiv\Delta NOA
Cum cele doua triunghiuri sunt congruente gasim si ca
\left[MB\right]\equiv\left[NA\right]
2) Fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC in care prelungim inaltimea \left[AD\right] dincolo de D cu segmentul \left[DM\right]\equiv\left[AD\right]. Demonstrati ca
a) AB||CM
b) AC||BM
.
Demonstratie:
unghiuri taiate de o secanta
a) stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[MD\right]
\widehat{ADB}\equiv\widehat{MDC} (ca unghiuri opuse la varf)
Stim ca AD este inaltimea corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel, deci este si mediana, conform proprietatii Triunghiului isoscel, deci \left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci mai stim si ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right]
Deci cu cazul L.U.L \Delta ABD\equiv\Delta MCD
Deci obtinem din congruenta triunghiurilor ca
\widehat{ABD}\equiv\widehat{MCD}
sau mai mult
\widehat{ABC}\equiv\widehat{BCM} BC, fiind secanta, iar unghiurile au pozitia de alterne interne, conform Teoremei de mai sus rezulta ca AB||CM.
b) Stim din ipoteza ca
\left[AD\right]\equiv\left[DM\right]
\widehat{ADC}\equiv\widehat{BDM} (ca unghiuri opuse la varf)
Dar si din punctul a stim ca
\left[BD\right]\equiv\left[DC\right].
Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ACD\equiv\Delta MBD
Deci stim si ca
\widehat{ACD}\equiv\widehat{MBD}, dar mai mult
\widehat{ACB}\equiv\widehat{CBM}, avend pozitia de unghiuri alterne interne, conform teoremei de mai sus AC||MB.

Lasă un răspuns