Ne place matematica !

Unghiuri in jurul unui punct

Notiunea de unghi o cunoastem, dar e important sa intelegem si notiunea de unghiuri in jurul unui punct cat si unghiuri opuse la varf.

Trei sau mai multe unghiuri sunt in jurul unui punct daca:
au un varf comun
– oricare doua unghiuri vecine sunt adiacente (adica au interioarele disjuncte)
– oricare punct din plan diferit de varful comun si nesituat pe nici una din laturile acestor unghiuri apartin interiorului unui singur unghi
cand unghiurile sunt in jurul unui punct
Unghiurile \widehat{AOB}, \widehat{BOC}, \widehat{COD}, \widehat{DOA} din figura de mai sus sunt unghiuri in jurul punctului O.
Important e sa stim urmatoarea teorema pentru a rezolva problemele cu unghiuri in jurul unui punct

Teorema: Suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este de 360^{0}.

Aplicatii:

1. Unghiurile \widehat{AOB} si \widehat{BOC} sunt adiacente si suplementare, [OX este bisectoarea unghiului \widehat{AOB} si [OY este semidreapta opusa lui [OX. Daca m\left(\widehat{BOX}\right)=60^{0}, aratati ca unghiurile \widehat{BOC} si \widehat{AOY} sunt suplementare.

Demonstratie:

care este suma masurii unghiurilor in jurul unui punct
Stim ca m\left(\widehat{BOX}\right)=60^{0}
Dar stim si ca [OX este bisectoarea unghiului AOB, deci obtinem ca:
m\left(\widehat{AOB}\right)=2\cdot m\left(\widehat{BOX}\right)=2\cdot 60^{0}=120^{0}
Si cum stim ca unghiurile AOB si BOC sunt adiacente si suplementare obtinem ca: m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}\Rightarrow 120^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=60^{0}
Observam ca: \widehat{AOX}\equiv\widehat{COY}(ca unghiuri opuse la varf)
Deci obtinem ca: m\left(\widehat{AOX}\right)=m\left(\widehat{COY}\right)=60^{0}
Dar mai stim si ca unghiurile AOX, XOB, BOC, COY, YOA sunt unghiuri in jurul unui punct, deci stim ca suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este egala cu 360^{0}
Deci avem ca m\left(\widehat{AOX}\right)+m\left(\widehat{XOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{COY}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow 60^{0}+60^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)+60^{0}+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow 180^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}-180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=180^{0}

2. Aflati masurile unghiurilor:
\widehat{AOB}, \widehat{BOC}, \widehat{COA} daca sunt unghiuri in jurul unui punct O, m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right) si m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}
Demonstratie
Stim ca unghiurile sunt in jurul unui punct O astfel avem ca:
m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{AOC}\right)=360^{0} (1)
Dar cu relatiile de mai sus stim ca m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right) (2) si

m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0} (3)
Din relatiile de mai sus obtinem ca m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot\left(m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}\right)=3m\left(\widehat{COA}\right)-3\cdot 120^{0}=3m\left(\widehat{COA}\right)-360^{0}
Deci din (1) obtinem: m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}+3m\left(\widehat{COA}\right)-360^{0}+m\left(\widehat{COA}\right)=360^{0}\Rightarrow 5\cdot m\left(\widehat{COA}\right)=360^{0}+360^{0}+120^{0}\Rightarrow 5\cdot m\left(\widehat{COA}\right)=840^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{COA}\right)=840^{0}:5\Rightarrow m\left(\widehat{COA}\right)=168^{0}
Acum ca stim masura unghiului \widehat{COA} putem afla masura celorlalte doua unghiuri.
Astfel din (3) avem ca m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}=168^{0}-120^{0}=48^{0}
Dar si din (2) obtinem ca: m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right)=3\cdot 48^{0}=144^{0}

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de unghi in jurul unui punct, dar si notiunile de unghiuri opuse la varf.