Ne place matematica !

Valoarea absoluta a unui numar rational, modulul unui numar rational, ordonarea numerelor rationale

Astazi o sa invatam despre valoarea absoluta a unui numar rational sau modulul unui numar rational si cum sa ordonam numerele rationale.
Astfel valarea absoluta a unui numar rational (modulul cum il stim) se noteaza astfel |x| si se defineste:
<br /> |x|=<br /> \\x,\;\; daca \;\; x>0<br /> \\0,\;\; daca \;\; x=0<br /> \\-x\;\; daca \;\; x<0<br />
Proprietatile numarului rational
<br /> |x|=0, daca si numai daca x=0
|x|\geq 0, pentru oricare  x\in Q
|x|=|-x|, pentru oricare  x\in Q
|xy|=|x|\cdot |y| , oricare  x, y\in Q

Ordonarea numerelor rationale
Dintre doua numere rationale diferite mai mare, este cel care este situat pe axa numereor la dreapta celuilalt.
a<b
Exp:
Ordonati crescator numerele
<br /> \\a=\frac{12}{5}<br /> \\b=\frac{12}{7}<br />
Reprezentam pe axa numerelor
Ordonarea numerelor rationale in exemple
sau le ordonam cum am invatat in clasa a VI-a daca numerele sunt pozitive, adica ne uitam la numitorul fractiilor daca avem acelasi numarator, iar daca impartim acelasi numarator la numitori diferiti si unul dintre numitori este mai mare si celalalt mai mic, atunci cel mai mare numar este cel care are numitorul mai mic (pentru ca il impartim la un numar mai mic).
Dintre doua numere rationale negative este mai mare cel care are modulul mai mic.
Exercitii
1) Scrieti in ordine crescatoare numerele:
<br /> -2,5; -7,3; 0; -1,5; +3,4; -2,8; +4,5; -5,3; -5,(8); +3,8(3); -8; -3\frac{1}{2}; 2\frac{1}{4}; 4; -\frac{3}{5}; \frac{6}{5}<br />
Ca sa ordonam numerele lucram fractiile:
<br /> \\-3\frac{1}{2}=-\frac{3\cdot 2+1}{2}=-\frac{7}{2}=-3,5<br />
transformat in fractie zecimala
<br /> \\2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{9}{4}=2,25<br /> \\-\frac{3}{5}=-0,6<br /> \\\frac{6}{5}=1,2<br />
am transformat fractiile ordinare in fractii zecimale.
Incepem prin a ordona crescator numerele:
<br /> -8< -7,3< -5,(8)< -5,8< -3\frac{1}{2}< -2,8< -2,5< -1,5< -\frac{3}{5}< 0< \frac{6}{5}< 2\frac{1}{4}< 3,4< 3,8(3)< 4< 4,5<br />
Daca le asezam pe axa numerelor rationale obsevam ca numerele rationale negative mai mari se duc spre ‘minus infinit’, iar cele pozitive se duc spre ‘plus infinit’. Si aplicam si faptul ca dintre doua numere rationale negative mai mare este cel care are valoarea absoluta (modulul) a numarului mai mica.
2) Aratati ca
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}<1<br />
Incercam sa-l scriem fiecare fractie astfel incat sa ni se reduca anumiti termeni:
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{2012-1}{2012}=\frac{2011}{2012}<1<br />
fractia \frac{2011}{2012}=0,9.... deci mai mica decat 1
Fractie subunitara.