Triunghiul. Elemente.Perimetrul. Clasificarea. Unghi exterior unui triunghi

Publicat în ianuarie 29, 2020 de daniel

Triunghiul este o notiune noua pentru elevii de clasa a v-a dar si pentru cei de-a 6-a. Nu stiu cati dintre voi va mai reamintiti notiunile introductive pe care le-ati invatat. Sau, unii dintre voi mai curiosi din fire ati studiat singuri.

Astfel, in acest curs o sa definesc notiunea de triunghi, o sa scriu elementele importante ale unui triunghi, o sa va prezint cum se clasifica triunghiurile, dar si care sunt cele mai importante notiuni pe care trebuie sa le stiti.

Definitie: Se numeste triunghi figura geometrica notata $\Delta ABC$ , formata din reuniunea segmentelor [AB], [BC] si [CA], unde A, B, C sunt 3 puncte necoliniare.

Elementele lui triunghi sunt:
– varfuri: A, B, C
– laturile triunghiului ABC, adica segmentelele:[AB], [BC], [CA].
– unghiurile triunghiului ABC: $\widehat{ABC}; \widehat{BAC}, \widehat{ACB}$ , numite unghiurile interioare ale triunghiului ABC.

Cum avem unghiuri interioare, evient ca o sa avem si unghiuri exterioare. Astfel, daca [CX este semidreapta opusa semidreptei[CB, atunci unghiul $\widehat{ACX}$ se numeste unghiul exterior triunghiului ABC.

Asadar, se numeste unghi exterior unui triunghi, unghiul format de o latura a unui triunghi cu prelungirea altei laturi.

Astfel stim ca un triunghi are 3 unghiuri interioare si evident o sa aiba sase unghiuri exterioare, cate doua unghiuri in fiecare varf al unui triunghi.

Intre laturie unui triunghi si unghiurile interioare se pot stabili anumite pozitionari, astfel:

– unghiul opus unei laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ se opune laturii AC)
– latura opusa unui unghi ( de exemplu putem spune ca AC se opune unghiului $\widehat{ABC}$ , dar si BC se opune unului $\widehat{BAC})$
– unghiul cuprins intre doua laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ este cuprins intre laturile AB si BC)
– unghiuri alaturate unei laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ si $\widehat{ACB}$ sunt alaturate laturii BC)

Notiunile prezentate mai sus sunt foarte importante deoarece constituie baza pentru a intelege teoremele care vor urma.

Despre perimetrul unui triunghi am mai auzit astfel stim ca:

Definitie: Se numeste perimetrul unui triunghi suma lungimilor tuturor laturilor. Astfel perimetrul unui triunghi ABC este
$P_{\Delta ABC}=AB+BC+CA$

Uneori lungimile laturilor unui triunghi se noteaza cu literele mici ale alfabetului, corespunzatoare varfului unghiului care se opune acelei laturi.

Astfel in triunghiul ABC observam ca AB=c, deoarece latura AB se opune unghiului c AC=b, latura AC se opune unghiului B si latura BC=a se opune unghiului a.

Clasificarea triunghiurilor

Triunghiurile se clasifica dupa doua criterii:

-dupa lungima laturilor
– dupa masura unghiurilor

Dupa lungimea laturilor triunghiurile se clasifica in :

Triunghiul oarecare (sau scalen) este triunghiul cu laturile de lungimi diferite. $AB\neq BC\neq CA$

Triunghiul isoscel este triunghiul cu doua laturi de lungimi egale, adica congruente. $AB=AC$ sau $[AB]\equiv[AC]$

Triunghiul echilateral este triunghiul cu toate laturile congruente, adica de aceiasi lungime $AB=BC=CA$ sau $[AB]\equiv[AC]\equiv[BC]$

Dupa masurile unghiurilor avem:

– triunghiul ascutitunghic, are toate unghiurile ascutie, adica masura mai mica de $90^{0}$

– triunghiul obtuzunghic, are un unghi obtuz, adica masura mai mare de $90^{0}$

– triunghiul dreptunghic, are un unghi drept, adica masura este de $90^{0}$

Laturile care formeaza unghiul de $90^{0}$ se numesc catete, iar latura care se opune unghiului de $90^{0}$ se numeste ipotenuza, astfel AB si AC se numesc catete, iar BC este ipotenuza triunghiului dreptunghic.

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunile prezentate mai sus, deoarece sunt notiuni esentiale pentru ceea ce o sa invatam mai departe.

Uneori lungimile laturilor unui triunghi se noteaza cu literele mici corespunzatoare cu varfurile unghiului care se opune acelei laturi, asttfel avem ca BC=a, AB=c, AC=b.

Stim inca de pe semestrul intai ca distanta dintre doua puncte este lungimea segmentului cu extremitatile in cele doua puncte si in acelasi timp, distanta este drumul cel mai scurt, atunci in $\Delta ABC$ au loc inegalitatile

– $BC<AC+AB$ sau $a<b+c$

– $AC<BC+AB$ sau $b<a+c$

– $AB<BC+AC$ sau $c<a+b$

In orice triunghi lungimea fiecarei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua laturi. Acesta concluzie este cunoscuta sub denumirea de inegalitatea triunghiului si este un criteriu pentru a stabili daca trei segmente de lungimi date pot fi laturile unui triunghi.

Aplicatii:

Calculati perimetrul triunghiului isoscel ABC, daca AB=4 cm si BC=5 cm .
Demonstratie:

Stim ca triunghiul isoscel are doua laturi egale sau congruente, astfel avem cazurile:

1. Daca AB=4 cm, atunci si AC=4 cm, deci din ipoteza BC=5 cm si astfel obtinem ca perimetrul triunghiului ABC este $P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=4+4+5=13 cm$
2. Daca BC=5 cm, atunci si AC=5 cm si din ipoteza AB=4 cm si astfel obtinem ca $P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=4+5+5=14 cm$ .

2. Daca AB=8 cm AC=11 cm si BC=3 cm, stabiliti pozitia punctelor A, B, C.

Demonstratie:

Folosind inegalitatea triunghiului obtinem ca

AC=AB+BC, adica 11=8+3, asadar 11=11. De unde obtinem ca punctele A, B, C sunt coliniare.

Subiecte rezolvate Bacalaureat Sesiunea speciala 2016

Publicat în ianuarie 20, 2020 de daniel

Stiu ca deja baremul l-ati vazut pe sit-ul Ministerului, dar nu incercam sa le rezolvam in asa fel incat toti sa le intelegeti.

Astfel incepem cu Subiectul I

Avem o progresie aritmetica in care cunoastem primul termen si al doilea, dar trebuie sa aflam ce-l de-al patrulea termen. Astfel avem ca

$a_{1}=1, a_{2}=4$ , mai intai aflam ratia stim ca ratia intr- progresie aritmetica este $r=a_{2}-a_{1}$
adica $r=4-1\Rightarrow r=3$
Si folosind formula termenului general obinem
$a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r$
Cum noi trebuie sa aflam al patrulea termen obtinem $a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r$
adica $a_{4}=1+3\cdot 3\Rightarrow a_{4}=1+9=10$

2. Pentru a determina numarul „a”, stim ca punctul $A(1, a)$ , apartine graficului functiei daca $f(1)=a$ si astfel obtinem $f(1)=a\Rightarrow 1^{2}+4=a\Rightarrow 1+4=a\Rightarrow a=5$

Asadar numarul obtinut este a=5.

3. Pentru a rezolva ecuatia exponentiala $9^{x-2}=3^{2-x}$ , trebuie sa aducem ecautia la aceiasi baza

Astfel avem ca:

$\left(3^{2}\right)^{x-2}=3^{2-x}$ , efecutand calculele obtinem $3^{2(x-2)}=3^{2-x}$

Astfel egaland exponentii obtinem $2x-4=2-x\Rightarrow 2x+x=2+4\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=6:2\Rightarrow x=2$ .

4. Ca sa calculam probabilitatea stim ca avem $P=\frac{numar. cazuri. favorabile}{numar. cazuri posibile}$

Pentru a nu omite niciun caz stim ca avem 10, 11, 12, 13, ……. 99 cazuri posibile, acum pentru a afla numarul lor, consideram sirul de numere ca o progresia aritmetica, unde avem ratia r=1, $a_{1}=10, a_{n}=99$

Folosind formula termenului general obtinem:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\Rightarrow 99=10+(n-1)\cdot 1\Rightarrow 99-10=n-1\Rightarrow 89=n-1\Rightarrow 89+1=n\rightarrow n=90$ , asadar avem 90 de cazuri posibile, iar pentru a afla cazurile favorabile procedam la fel.

Adica avem cazuri favorabile 10, 11, 12, ….. 30, la fel ca si mai sus consideram $a_{1}=10$ si $a_{n}=30$ , iar r=11-10, adica r=1

$30=10+(n-1)\cdot 1\Rightarrow 30-10=n-1\rightarrow 20=n-1\Rightarrow n=20+1\Rightarrow n=21$

Asadar avem 21 cazuri favorabile, iar probabilitatea este:

$P=\frac{21}{90}^{(3}=\frac{7}{30}$

Rezolvare subiecte BAC partea a III a

Publicat în noiembrie 17, 2019 de MATEPEDIA

Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\rightarrow R$ $f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$
a) Aratati ca functia f este descrescatoare pe $(1,+\infty)$
Pentru a arata ca functia este descrescatoare folosim rolul derivata intai, deci mai intai calculam derivata functiei
$f^{'}(x)=\left(\ln(x+1)-ln(x-1)\right)^{'}=\frac{1}{x+1}\cdot\left(x+1\right)^{'}-\frac{1}{x-1}\cdot\left(x-1\right)^{'}$
Observam ca pentru a deriva functia de mai sus am folosit derivarea diferentei a doua functii, adica $(f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}$ , dar si derivarea functiilor compuse, adica $(\ln u)^{'}=\frac{1}{u}\cdot u'$ .
Asadar $f^{'}(x)=\frac{1}{x+1}\cdot 1-\frac{1}{x-1}\cdot 1=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$
Aducand la acelasi numitor fractiile obtinem
$f^{'}(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}-\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)(x+1)}=$
$\frac{-2}{x^{2}-1}$ , asadar $f^{'}(x)<0$ pentru oricare x>1, deci functia este descrescatoare.

b) Determinati asimptotele graficului functiei
Atentie la acest subpunct trebuie sa aflam toate asimptotele, adica atat asimptota/asiptotele verticale, cat si cele orizontale sau oblice in functie de ce asimptota are functia (stim ca daca o functie are asimptota orizontala spre +infinti, atunci nu mai are asimptota oblica si invers)
Asadar calculam asimptota verticala
$\lim_{x\to 0\\x>0}{\left(\ln(x+1)-\ln(x-1)\right)}=\ln(1+1)-\ln(1-1)=\ln2-\ln 0=\ln2-(-\infty)=\ln2+\infty=+\infty$ , asadar, x=1, asimptota verticala, cum f este continua pe $(1,+\infty)$ , functia nu mai are asimptote verticale.
Calculam sa vedem daca functia are asimptota orizontala, astfel calculam $\lim_{x\to\infty}{f(x)}=$
$\lim_{x\to\infty}{\ln(x+1)-\ln(x-1)}$ , iar daca folosim proprietatile de la logaritmi, limita devine
$\lim_{x\to\infty}{\ln\frac{x+1}{x-1}}=$
$\ln\lim_{x\to\infty}{\frac{x+1}{x-1}}=$
$\ln\lim_{x\to\infty}{\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}}=$
$\ln\frac{1+0}{1-0}=\ln1=0$
Asadar $y=0$ este asimptota orizontala spre $+\infty$ , cum functia are asimptota orizontala, obtinem ca nu mai are oblica.
c) Calculati $\lim_{x\to\infty}{x\cdot f(x)}=\lim_{x\to\infty}{x\cdot\left(\ln(x+1)-\ln(x-1)\right)}$
Observam ca avem cazul de nedeterminare $\infty\cdot 0$ , lucarm cele doua functii pentru a aduce in cazul de nedeterminare $\frac{0}{0}$ , asadar limita devine
$\lim_{x\to \infty}{\frac{\ln(x+1)-\ln(x-1)}{x^{-1}}}$
Observam ca avem cazul de nedeterminare $\frac{0}{0}$ , iar pe x l-am scris ca fiind $\frac{1}{x^{-1}}$ , aplicand acum regulile lui L’Hospital obtinem
$\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{1}{x+1}\cdot(x+1)^{'}-\frac{1}{x-1}\cdot(x-1)^{'}}{-1\cdot x^{-2}}}$
$\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{-x^{-2}}}=$
$\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{x-1-x-1}{x^{2}-1}}{-\frac{1}{x^{2}}}}$
$\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{-2}{x^{2}-1}}{-\frac{1}{x^{2}}}}$
$\lim_{x\to\infty}{\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}}$
$\lim_{x\to\infty}{\frac{2x^{2}}{x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)}}$
$\lim_{x\to\infty}{\frac{2}{1}}=2$
Am folosit metoda factorului comun fortat.

Teorema lui Menelaus

Publicat în noiembrie 19, 2018 de daniel

Teorema lui Menelaus ofera posibilitatea studierii coliniaritatii, astfel daca avem un triunghi ABC si o dreapta d care nu trece prin niciun varf al triunghiului ABC (dreapta care nu trece prin niciun varf al triunghiului se numeste transversala a triunghiului ABC) putem demonstra ca trei puncte sunt coliniare sau putem afla lungimea unor segmente..

Teorema. Fie triunghiul ABC si trei puncte $M\in BC, N\in CA, P\in AB$ , diferite de varfurile triunghiului ABC, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) punctele M, N, P sunt coliniare

b) Are loc relatia $\frac{MB}{MC}\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=1$

Astfel, cu teorema lui Menelaus, putem sa demonstram ca trei puncte sunt coliniare sau putem sa aflam si lungimea unor segmente.

Observam ca transversala care intersecteaza laturile triunghiului se poate afla in urmatoarele situatii:

transversala poate intersecta laturile triunghiului in doua puncte, iar al treilea punct se afla pe prelungirea laturii corespunzatoare(prima figura)
toate cele trei puncte ale transversalei se afla pe prelungirile laturilor triunghiului (figura doi)

Pentru a putea retine mai usor Teorema lui Menelaus, observam ca, pornim cu produsul rapoartelor de la prelungirea laturii pe care am construit-o si cu litera cu care am terminat primul raport (numitorul primei fractii) cu aceeasi litera se termina si numaratorul celui de-al doilea raport.

Dar teorema putem sa o folosim si pentru calculul vectorial, adica:

Teorema. Fie triunghiul ABC si trei puncte $M\in BC-\left\{A;B\right\}, N\in CA-\left\{C;A\right\}, P\in-\left\{A;B\right\}$ , diferite de varfurile triunghiului ABC, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) punctele M, N, P sunt coliniare

b) Are loc relatia $\frac{\vec{MB}}{\vec{MC}}\frac{\vec{NC}}{\vec{NA}}\cdot\frac{\vec{PA}}{\vec{PB}}=1$

Observam ca relatia din Teorema lui Menelaus se poate scrie incepand cu oricare dintre punctele M, N, P, adica

$\frac{\vec{PB}}{\vec{PA}}\cdot\frac{\vec{NA}}{\vec{NC}}\cdot\frac{\vec{MC}}{\vec{MB}}=1$ sau

$\frac{\vec{NA}}{\vec{NC}}\cdot\frac{\vec{MC}}{\vec{MB}}\cdot\frac{\vec{PB}}{\vec{PA}}=1$ .

Aplicatie!

Fie triunghiul ABC si $M\in [BC]$ astfel incat $BC=3\cdot MC$ , fie N, Q mijloacele segmentelor [AB] si [CN]. Aratati ca A, Q,M coliniare.

Demonstram coliniaritatea punctelor prin doua metode:

Mai intai folosim Teorema lui Menelaus in triunghiul BCN cu transversala AM.

Astfel observam din ipoteza problemei ca BC=3MC, astfel obtinem ca $BM+MC=BC\Rightarrow BM+MC=3\cdot MC\Rightarrow BM=2MC$ , astfel avem ca $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{2}$ (N mijlocul segmentului [AB]).

Mai avem si ca $\frac{MB}{MC}=\frac{2MC}{MC}=2$ ., Dar si $\frac{QC}{QN}=\frac{\frac{CN}{2}}{\frac{CN}{2}}$ (Q mijlocul lui CN)

Astfel, aplicand reciproca Teoremei lui Menelaus, avem ca $\frac{AN}{AB}\cdot\frac{MB}{MC}\cdot\frac{QC}{QN}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$ , astfel obtinem ca A, Q, M coliniare.

Dar demonstrand vectorial obtinem:

$AQ=\alpha MQ$ (Stim ca trei puncte A,B, C sunt coliniare daca si numai daca exista $\alpha \in R$ astfel incat $\vec{AB}=\alpha\cdot \vec{AC}$ ).

Astfel, stim ca Q este mijlocul segmentului [CN], astfel folosind Vectorul de pozitie al mijlocului unui segment obtinem ca $\vec{AQ}=\frac{\vec{AN}+\vec{AC}}{2}$ , dar stim si ca N este mijlocul segmentului [AB], astfel avem ca

$\vec{AQ}=\frac{\frac{\vec{AB}}{2}+\vec{AC}}{2}\Rightarrow\vec{AQ}=\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{AB}}{2}+\vec{AC}\right)\Rightarrow$
$\vec{AQ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{2}\Rightarrow$
$\vec{AQ}=\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{4}$ (1)

Acum, aplicand regula triunghiului in triunghiul MCQ, avem ca $\Vec{MQ}=\Vec{MC}+\Vec{CQ}$

Stim ca $\Vec{BC}=\Vec{BM}+\Vec{MC}$ , astfel avem ca $\Vec{BC}=\Vec{BM}+\Vec{MC}$ , stim ca

$\vec{BM}=2\cdot\Vec{MC}$ , astfel obtinem ca

$\Vec{BC}=2\Vec{MC}+\Vec{MC}\Rightarrow\Vec{BC}=2\cdot\Vec{MC}\Rightarrow \vec{MC}=\frac{\vec{BC}}{3}$

Reluand relatia obtinem:

$\Vec{MQ}=\Vec{MC}+\Vec{CQ}\Rightarrow \Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{\vec{CN}}{2}$ , stim ca CN este mediana in triunghiul ABC, astfel aplicand din nou vectorul de pozitie al mijlocului unui segment obtinem $CN=\frac{1}{2}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$

$\Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{\vec{CN}}{2}\Rightarrow \Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)\Rightarrow\Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{1}{4}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$

Observam ca $\Vec{MQ}=\frac{\vec{-CB}}{3}+\frac{1}{4}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$ (vectorii sunt de sens opus)

Aducand la acelasi numitor obtinem:

$\vec{MQ}=\frac{4\vec{-CB}+3\vec{CB}+3\vec{CA}}{12}$ , astfel obtinem ca $\vec{MQ}=\frac{\vec{-CB}+3\vec{CA}}{12}\Rightarrow \vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(-\vec{CB}+3\vec{CA}\right)\Rightarrow\vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BC}+3\vec{CA}\right)$

Dar stim ca $\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}$

Astfel obtinem $\Vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+\vec{AC}+3\vec{CA}\right)$

Adica:

$\Vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+\vec{-CA}+3\vec{CA}\right) \Rightarrow\vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+2\vec{CA}\right)\Rightarrow \vec{MQ}=\frac{-1}{12}\left(\vec{AB}+2\vec{AC}\right)$ (2)

Astfel din (1) si (2)obtinem ca $\vec{MQ}=\frac{-1}{3}\cdot\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{4}$ , astfel obtinem $\vec{MQ}=\frac{-1}{3}\cdot\vec{AQ}$ , astfel punctele A,Q, M coliniare.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Publicat în aprilie 13, 2018 de daniel

Pentru a rezolva triunghiul dreptunghic putem folosi atat teoremele invatate, adica Teorema Catetei, Teorema inaltimii, dar si Teorema lui Pitagora. Fiecare dintre ele atunci cand trebuie dar si notiunile trigonometrice, adica functiile trigonometrice.

Dar pentru majoritatea dintre voi, mai intai trebuie sa va reamintiti care sunt catetele intr-un triunghi dreptunghic si care este ipotenuza. Dupa cum bine stiti notiunile trigonometrice folosesc aceste notiuni.

Astfel, avem triunghiul CDE, dreptunghic in C. L-am notat asa pentru a ne da seama, nu doar triunghiul ABC, in care avem CE si CD catete, adica dreptele care formeaza unghiul de 90 de grade se numesc catete, iar DE ipotenuza. Adica dreapta care se opune unghiului de $90^{0}$ se numeste ipotenuza.

Aplicatii!

Fie triunghiul ABC cu laturile AB= 6 cm AC= 4 cm si $m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}$ . Aflati aria, perimetrul si lungimea inaltimii din A a triunghiului.

Demonstratie:
Pentru a afla BC, construim perpendiculara, inaltimea din B pe AC. Fie $BB'\perp AC$

Observam ca triunghiul astfel construit este un triunghi dreptunghic, in care cunoastem ipotenuza si masura unghiului A, care este de $60^{0}$ . Astfel, cum avem triunghi dreptunghic, aplicam sin de $60^{0}$

Astfel, in triunghiul dreptunghic ABB’, aplicam $\sin A=\frac{cateta\;\; opusa}{ipotenuza}$ .

Adica $\sin 60^{0}=\frac{BB'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BB'}{6}\Rightarrow BB^{'}=\frac{6\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BB'=3\sqrt{3}$ .

Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABB’, obtinem: $AB^{2}=BB'^{2}+AB'^{2}\Rightarrow 6^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+AB'^{2}\Rightarrow AB'^{2}=36-27\Rightarrow AB'=\sqrt{9}=3\;\; cm$

Cum stim ca AB’=3 cm, putem afla B’C, adica $AB=AB'+B'C\Rightarrow 4=3+B'C\Rightarrow B'C=4-3\Rightarrow B'C=1\;\; cm$

Acum observam ca si triunghiul BB’C este dreptunghi in B’, astfel putem aplica Teorema lui Pitagora, cum BC este ipotenuza obtinem: $BC^{2}=BB'^{2}+B'C^{2}\Rightarrow BC^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+1^{2}\Rightarrow BC^{2}=27+1\Rightarrow BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\;\; cm$

Astfel, perimetrul triunghiului ABC este $P_{\Delta ABC}=AB+BC+CA=6+4+2\sqrt{7}=10+2\sqrt{7}=2\left(5+\sqrt{7}\right)$

Observam ca am aflat inaltimea mai sus. Astfel obtinem aria triunghiului ABC este $A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{AC\cdot BB'}{2}=\frac{4\cdot 3\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}cm^{2}$ .

Stim ca orice triunghi are trei inaltimi. Astfel, pentru a afla inaltimea din A, stiind aria triunghiului, egalam ariile considerand odata baza AC si inca o data baza BC. Astfel stim de mai sus ca $A_{\Delta ABC}=6\sqrt{3}$

Dar mai stim si ca $A_{\Delta ABC}=\frac{BC\cdot h}{2}$

Unde h=inaltimea construita din A

$A_{\Delta}=\frac{3\sqrt{3}\cdot h}{2}$

Egaland cele doua arii obtinem:

$\frac{3\sqrt{3}\cdot h}{2}=6\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{2\cdot 6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=4$

Astfel inaltimea din A este egala cu 4 cm.

Asadar, pentru a rezolva problemele in care apar masuri de unghiuri, de obicei folosim functiile trigonometrice, chiar daca atunci cand le invatam ni se pare mai greu, acestea ne ajuta sa rezolvam problemele mai usor.

Atentie! Functiile trigonometrice se aplica doar intr-un triunghi dreptunghic, daca nu avem un triunghi dreptunghic incercam sa ne construim unul.

Functii trigonometrice. Transformarea sumelor in produs si a produselor in sume

Publicat în aprilie 11, 2018mai 8, 2018 de MATEPEDIA

Pentru a transforma sumele in produs trebuie sa stim urmatoarele formule:

$\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cdot\cos\frac{a-b}{2}$
$\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a-b}{2}\cdot\sin\frac{a+b}{2}$
$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cdot\cos\frac{a-b}{2}$
$\sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}{2}\cdot\cos\frac{a+b}{2}$

Aplicatii!

Sa se descompuna in produs:

a) $\sin 3x+2\sin 2x+\sin x$

Pentru a transforma sumele in produs observam ca trebuie sa avem la suma termeni de numar par, asfel rescriind expresia obtinem $\sin 3x+2\sin 2x+\sin x=(\sin 3x+\sin 2x)+(\sin 2x+\sin x)$

Am scris termenul al doilea ca suma de doi termeni.

Astfel folosind formula a treia obtinem $(\sin 3x+\sin 2x)+(\sin 2x+\sin x)=2\sin\frac{3x+2x}{2}\cdot\cos\frac{3x-2x}{2}+2\cdot\sin\frac{2x+x}{2}\cdot\cos\frac{2x-x}{2}=2\sin\frac{5x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}+2\cdot \sin\frac{3x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$

Dand factor comun $2\cos\frac{x}{2}$ obtinem $2\cos\frac{x}{2}\left(\sin\frac{5x}{2}+\sin\frac{3x}{2}\right)$

Aplicand din nou formula obtinem $2\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{\frac{5x}{2}+\frac{3x}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{5x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}\right)$

AsTfel obtinem $2\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{\frac{5x+3x}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{5x-3x}{2}}{2}\right)$

Efectuand calculele obtinem:

$2\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{\frac{8x}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{2x}{2}}{2}\right)$

$2\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{4x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}\right)$

$2\cos\frac{x}{2}\cdot 2\sin 2x\cdot cos\frac{x}{2}$

$4\cos^{2}\frac{x}{2}\cdot sin {2x}$

b) $\sin x+\sin y+\sin\left(x-y\right)$

Asa cum am spus si mai sus, in cazul termenilor din suma trebuie sa avem un numar par, dupa cum bine vedeti noi avem 3 termeni.

Sa nu incercam sa aplicam formula de la diferenta de unghiuri, pentru ca ne complicam, fiind mult prea mult de calculat, astfel stim ca $\sin 0=0$ si astfel rescriind expresia obtinem un numar par de termeni, astfel obtinem:

$\sin x+\sin y+\sin\left(x-y\right)= (\sin x+\sin y)+(\sin\left(x-y\right)+\sin 0)$

Aplicand din nou formulele obtinem: $2\sin\frac{x+y}{2}\cdot\cos\frac{x-y}{2}+2\sin\frac{x-y+0}{2}\cdot\cos\frac{x-y-0}{2}$

Astfel efectuand calculele obtinem: $2\sin\frac{x+y}{2}\cdot\cos\frac{x-y}{2}+2\sin\frac{x-y}{2}\cdot\cos\frac{x-y}{2}$

La fel ca si mai sus dand factor comun pe $2\cos\frac{x-y}{2}$ obtinem: $2\cos\frac{x-y}{2}\left(\sin\frac{x+y}{2}+\sin\frac{x-y}{2}\right)$

Aplicand din nou formula pentru transformarea sumelor in produs obtinem: $2\sin\frac{x-y}{2}\left(2\cdot\sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}}{2}\right)$

Efectuand calcule in paranteza rotunda obtinem: $2\sin\frac{x-y}{2}\left(2\cdot\sin\frac{\frac{x+y+x-y}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{x+y-x+y}{2}}{2}\right)$

Astfel, obtinem: $2\sin\frac{x-y}{2}\left(2\cdot\sin\frac{\frac{2x}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{2y}{2}}{2}\right)$

$2\sin\frac{x-y}{2}\cdot 2\cdot\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{y}{2}$

$4\cdot\sin\frac{x-y}{2}\cdot\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{y}{2}$ .

2. Aratati ca daca $x+y=z$ atunci sunt adevarate relatiile:

$\cos^{2}x+\cos^{2}y+\cos^{z}=1+2\cos x\cdot cos y\cdot\cos z$

Rezolvare!

$x+y=z$ obtinem $\cos(x+y)=cos z$ . Calculand obtinem:

$\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot\sin y$

adica $\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot\sin y=\cos z\Rightarrow \cos x\cdot \cos y-\cos z=\sin x\cdot sin y$

Ridicand la patrat egalitatea obtinem:

$\cos x\cdot \cos y-\cos z=\sin x\cdot sin y|^{2}$

$\Rightarrow \left(\cos x\cdot \cos y-\cos z\right)^{2}=\left(\sin x\cdot\sin y\right)^{2}\Rightarrow$

$\cos^{2}x\cdot\cos^{2}y-2\cdot\cos x\cdot\cos y\cdot\cos z+\cos^{2}z=\sin^{2}x+\cdot\sin^{2}y$

$\cos^{2}x\cdot\cos^{2}y-2\cdot\cos x\cdot\cos y\cdot\cos z+\cos^{2}z=\left(1-\cos^{2}x\right)\cdot\left(1-\cos^{2}y\right)$ .

Efectuand produsul in membrul drept obtinem: $\cos^{2}x\cdot\cos^{2}y-2\cdot\cos x\cdot\cos y\cdot\cos z+\cos^{2}z=1-\cos^{2}y-\cos^{2}x+\cos^{2}x\cdot\cos^{2}y$

$\cos^{2}x\cdot\cos^{2}y-2\cdot\cos x\cdot\cos y\cdot\cos z+\cos^{2}z-1+\cos^{2}y+\cos^{2}x-\cos^{2}x\cdot\cos^{2}y=0$

Dupa ce am redus termenii asemenea obtinem:

$\cos^{2} x+\cos^{2} y+\cos^{2} z=1+2\cos x\cdot\cos y\cdot cos z$ .

Si astfel am demonstrat egalitatea.

3. Se consideră triunghiul ABC. Să se demonstreze că $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cdot\cos\frac{B}{2}\cdot\cos\frac{C}{2}$ , unde, A,B,C sunt masurile unghiurilor unui triunghi.

Demonstratie:

Stim ca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este de $180^{0}$ sau $\pi$ , astfel avem ca $A+B+C=\pi$ , de unde obtinem $C=\pi-(A+B)$

Astfel in relatia de mai sus obtinem:

$\sin A+\sin B+\sin C=\sin A+\sin B+\sin(\pi-(A+B))$

Dar stim $\sin(\pi-(A+B))=\sin (A+B)$

$\sin A+\sin B+\sin (A+B)+\sin 0=2\cdot\sin\frac{A+B}{2}\cdot\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B+0}{2}\cdot\frac{A+B-0}{2}$

$\sin A+\sin B+\sin (A+B)+\sin 0=2\cdot\sin\frac{A+B}{2}\cdot\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B}{2}\cdot\cos\frac{A+B}{2}$

Astfel, dand factor comun in membrul drept al egalitatii, obtinem:

$2\cdot\sin\frac{A+B}{2}\cdot\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B}{2}\cdot\cos\frac{A+B}{2}=$

$2\cdot\sin\frac{A+B}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}\right)$

Aplicand din nou formula pentru transformarea sumei in produs obtinem:

$2\cdot\sin\frac{A+B}{2}\left(2\cdot\cos\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2} \right)$

Astfel obtinem $4\cdot\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{\frac{2A}{2}}{2}\cdot\cos\frac{\frac{-2B}{2}}{2}$

Functia cos, fiind functie para, obtinem $4\cdot\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A}{2}\cdot\cos\frac{B}{2}$

Stim ca $A+B=\pi-C$

Si astfel avem ca $\sin\frac{\pi-C}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)=\cos\frac{C}{2}$

Asadar obtinem $4\cdot\cos\frac{C}{2}\cdot\cos\frac{A}{2}\cdot\cos\frac{B}{2}$

4. Demonstrati ca daca intre elementele unui triunghi exista relatia $\frac{a+b}{c}=\cot\frac{C}{2}$ , atunci triunghiul este dreptunghic.

Solutie:

Din teorema sinusului stim ca $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ , unde a, b ,c sunt laturile triunghiului, astfel avem ca $a=2R\cdot \sin A$ , $B=2R\cdot \sin B$ , $c=2R\cdot \sin C$

Rescriind relatia obtinem:

$\frac{2R\sin A+2R\sin B}{2R\sin C}=\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$

$\frac{2R\left(\sin A+\sin B\right)}{2R\sin C}=\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$

$\frac{\sin A+\sin B}{\sin C}=\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$

Folosind transformarea sumei in produs obtinem:

$\frac{2\cdot\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}{2\cdot\sin\frac{C}{2}\cdot\cos\frac{C}{2}}\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$

Dar stim ca $A+B+C=\pi\Rightarrow A+B=\pi-C$

$\frac{2\cdot\cos\frac{C}{2}\cdot\cos\frac{A-B}{2}}{2\cdot\sin\frac{C}{2}\cdot\cos\frac{C}{2}}\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$

Si astfel obtinem $\frac{\cos\frac{A-B}{2}}{\sin \frac{C}{2}}=\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$

$\cos\frac{A-B}{2}=\cos\frac{C}{2}\Rightarrow A-B=C\Rightarrow C=A-B\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)=\frac{\pi}{2}$ .

5. Demonstrati ca daca intr-un triunghi ABC, are loc relația $(b^{2}+c^{2})\cdot\sin(C-B)=(c^{2}-b^{2})\cdot\sin(C+B)$ atunci triunghiul este isoscel sau dreptunghic.

Demonstrație:

$(b^{2}+c^{2})\cdot\sin(C-B)=(c^{2}-b^{2})\cdot\sin(C+B)$

$\Rightarrow (c^{2}-b^{2})\left(\sin C\cdot\cos B+\sin B\cdot\cos C\right)=\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(\sin C\cdot\cos B+\sin B\cdot\cos C\right)$

$\Rightarrow \left(2R\sin B\right)^{2}\cdot\sin C\cdot\sin B=\left(2R\sin C\right)^{2}\sin B\cdot \cos C\Rightarrow \sin B\cdot\cos B=\sin C\cdot\cos C\Rightarrow\sin 2B=\sin 2C\Rightarrow 2sin (B-C)\cdot\cos(B+C)=0\Rightarrow \sin(B-C)\cdot\cos A=0$

Egalitatea are loc daca B=C sau $m\left(\widehat{A}\right)=\frac{\pi}{2}$

6. Demonstrati ca daca $x+y+z=2\pi$ atunci este adevarata relatia $\sin x+\sin y+\sin z=4\sin\frac{x}{2}\cdot\sin\frac{y}{2}\cdot\sin\frac{z}{2}$

Demonstratie:

$\sin x+\sin y+\sin z=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}-\sin\left(x+y\right)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}-\sin\left(x+y\right)+\sin 0=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}-2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}=2\sin\frac{x+y}{2}\left(\cos\frac{x-y}{2}-\cos\frac{x+y}{2}\right)=2\sin\frac{2\pi-z}{2}\cdot\left[-2\sin\left(\frac{-y}{2}\right)\cdot\sin\frac{x}{2}\right]=2\sin\frac{z}{2}\cdot 2\sin\frac{y}{2}\cdot\sin\frac{x}{2}=4\cdot\sin\frac{x}{2}\cdot\sin\frac{y}{2}\cdot\frac{z}{2}$ .

7. Aratati ca $\cot2^{k-1} x-\cot2^{k}x=\frac{1}{\sin 2^{k}x}$

Demonstratie:

Stim ca $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ , astfel obtinem ca $\cot2^{k-1} x-\cot2^{k}x=\frac{\cos 2^{k-1}x}{\sin 2^{k-1}x}-\frac{\cos 2^{k}x}{\sin 2^{k}x}$

Aducand la acelasi numitor obtinem:

$\frac{\cos 2^{k-1}x}{\sin 2^{k-1}x}-\frac{\cos 2^{k}x}{\sin 2^{k}x}=\frac{\sin 2^{k}x\cdot\cos 2^{k-1}x-\sin 2^{k} x\cdot\cos 2^{k-1}x}{\sin 2^{k-1}x\cdot\sin 2^{k}x}$

$\frac{\sin\left(2^{k}x-2^{k-1}x\right)}{\sin 2^{k-1}x\cdot\sin 2^{k}x}=$

$\frac{\sin 2^{k-1}x}{\sin 2^{k-1}x\cdot\sin 2^{k}x}=\frac{1}{\sin 2^{k}x}$

Probleme rezolvate cu vectori

Publicat în ianuarie 14, 2018 de MATEPEDIA

1. Fie triunghiul ABC, cu M mijlocul segmentului [BC] si G centru de greutate al triunghiului ABC.
a) Aratati ca $\vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$
b) Aratati ca $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$
c) aratati ca pentru orice punct O din plan are loc egalitatea $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}$
Demonstratie:

a) In triunghiul ABM, aplicand regul triunghiului (Relatia lui Chasles) obtinem $\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}$ , dar si in triunghiul AMC obtinem cu regula triunghiului $\vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CM}$
Adunand cele doua relatii obtinem
$\vec{AM}+\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}+\vec{AC}+\vec{CM}$
Astfel obtinem $2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}$
Observam ca vectorii BM si CM au sensuri opuse adica $\vec{BM}=\frac{\vec{BC}}{2}$ , dar $\vec{CM}=\frac{\vec{CB}}{2}=\frac{\vec{-BC}}{2}$
Si astfel obtinem $\vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$
b) Stim ca M este mijlocul lui BC, consideram N mijlocul lui AC si P mijlocul AB. G fiind centru de greutate al triunghiului stim ca punctul G este situat pe fiecare mediana la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza, astfel obtinem ca

$\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AM}\Rightarrow\vec{GA}=-\frac{2}{3}\vec{AM}$ , dar si
$\vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BN}\Rightarrow\vec{GB}=-\frac{2}{3}\vec{BN}$ ,
$\vec{CG}=\frac{2}{3}\vec{CP}\Rightarrow\vec{GC}=-\frac{2}{3}\vec{CP}$
astfel obtinem ca
$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=$
$-\frac{2}{3}\vec{AM}+\left(-\frac{2}{3}\vec{BN}\right)+(-\frac{2}{3}\vec{CP})=$
$\frac{-2}{3}\left(\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}\right)$
Stim ca $\vec{AM}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$
Dar si $\vec{BN}=\frac{1}{2}\left(\vec{BA}+\vec{BC}\right)$
$\vec{CP}=\frac{1}{2}\left(\vec{CA}+\vec{CB}\right)$
Inlocuind in relatia de mai sus obtinem
$\frac{-2}{3}\left(\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}\right)=-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)+\frac{1}{2}\left(\vec{BA}+\vec{BC}\right)+\frac{1}{2}\left(\vec{CA}+\vec{CB}\right)\right)$
Dand factor comun pe $\frac{1}{2}$ obtinem
$\frac{-2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{CA}+\vec{CB}\right)=\frac{-2}{6}\cdot 0=0$
si astfel am demonstrat.
c) Fie O un punct in plan. Stim ca $\vec{AG}=2\cdot\vec{GM}$ , iar pentru orice punct O din plan avem ca $OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}$ (am folosit vectorul de pozitie al unui punct care imparte un segment intr-un raport dat, stim ca daca AB este un segment si M un punct in plan care imparte segmentul AB in raportul k, obtinem ca $\vec{OM}=\frac{1}{k+1}\cdot\vec{OA}+\frac{k}{k+1}\cdot\vec{OB}$ )

Analog:

$OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OC}$

Dar si

$OG=\frac{1}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}$

Adunand toate cele trei relatii obtinem:

$\vec{OG}+\vec{OG}+\vec{OG}=\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{1}{3}\cdot\vec{OC}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}$

Grupand fractiile care au acelasi vector obtinem:

$3\vec{OG}=\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}\right)+\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OB}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OB}\right)+\left(\frac{1}{3}\cdot\vec{OA}+\frac{2}{3}\cdot\vec{OA}\right)=\frac{3}{3}\vec{OA}+\frac{3}{3}\vec{OB}+\frac{3}{3}\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$

Asadar obtinem:

$3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$

$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}$

Mate Pedia

Ne place matematica !

Triunghiul. Elemente.Perimetrul. Clasificarea. Unghi exterior unui triunghi

Clasificarea triunghiurilor

Subiecte rezolvate Bacalaureat Sesiunea speciala 2016

Rezolvare subiecte BAC partea a III a

Teorema lui Menelaus

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Functii trigonometrice. Transformarea sumelor in produs si a produselor in sume

Probleme rezolvate cu vectori