Autor: MATEPEDIA

Unghiul a doua drepte in spatiu. Problema rezolvata.

Publicat în de MATEPEDIA

Despre unghiul a doua drepte in spatiu am scris aici. Astazi vom incerca sa aprofundam printr-o problema rezolvata si explicata.

Exemplu:

Fie cubul ABCDA’B’C’D’, cu AB= 2 cm. Calculati cosinusul unghiului dintre dreptele A'B si DO, unde \left\{O\right\}=BC^{'}\cap B^{'}C.
cum aflam unghiul a doua drepte in spatiu

Pentra a afla unghiul celor doua drepte notam cu P intersectia diagonalelor bazei A’B’C’D’, adica fie A'C'\cap B'D'=\left\{P\right\}unghiul a doua drepte in spatiu
Observam ca O este mijlocul segmentului BC’, dar si P mijlocul segmentului A’C’, deci PO e linie mijlocie in triunghiul A’BC’. Conform Teoremei de la linia mijlocie stim ca PO||A’B si PO=\frac{A'B}{2}

Astfel obtinem ca cosinusul unghiului dintre cele doua drepte este:
\cos\left(\widehat{DO,A'B}\right)=
\cos\left(\widehat{DO, PO}\right)=
\cos\left(\widehat{DOP}\right)

Pentru a afla cosinusul unghiului stim ca trebuie sa avem triunghi dreptunghic.
Dar mai intai sa vedem ce fel de triunghi avem. Stim ca PO=\frac{A'B}{2}
Cum A’B este diagonala in patratul A’B’AB, obtinem ca A'B=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}
Astfel obtinem PO=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

Pentru a afla DO, observam ca DC'=BC'=DB=2\sqrt{2}( diagonale in patratele DD’CC’; BB’CC’; ABCD), astfel obtinem ca triunghiul DBC’ este echilateral si cum O este mijlocul lui BC’, obtinm ca DO este mediana si cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca DO este si inaltime in triunghiul echilateral DBC’.

Stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este \frac{l\sqrt{3}}{2}, adica DO=\frac{DC'\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}\;\; cm
Acum pentru a afla DP, in triunghiul DD’P, dreptunghi in D’ aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem DP^{2}=DD'^{2}+D'P^{2}\Rightarrow DP^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow DP^{2}=4+2\Rightarrow DP=\sqrt{6}

Observam ca DP=DO=\sqrt{6}, adica triunghiul DOP este isoscel de baza PO.

Acum, pentru a afla cosinusul unghiului, fie aplicam Teorema cosinusului, fie aplicam defintia care am invatat-o in claas a vii-a dar cu conditia sa avem triunghi dreptunghic.

Astfel cu Teorema cosinusului
DP^{2}=DO^{2}+PO^{2}-2\cdot DO\cdot PO\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \left(\sqrt{6}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)
Adica 6-6-2= -2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{-2}{-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{12}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{12}^{(2}=\frac{\sqrt{3}}{6}

unghiul a doua drepte in spatiu
Acum pentru a afla cu notiunile din clasa a VII-a construim inaltimea din D pe PO, fie DM\perp PO, cum Triunghiul DMO dreptunghic in M si cum triunghiul DOP isoscel de baza PO, obtinem ca DM este si mediana, astfel obtinem MO=MP=\frac{PO}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}, deci in triunghiul dreptunghic DOM in M \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{cateta.\;\; alaturata}{ipotenuza}=\frac{OM}{DO}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{6}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{2\cdot 6}=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}
unghiul a doua drepte in spatiu

Doua modele de teste de geometrie. Operatii cu vectori

Publicat în de MATEPEDIA

Numarul 1.
1. Se considera triunghiul ABC. Calculati:
a) \vec{AB}+\vec{BC}=.....
b) \vec{CA}+\vec{CB}=.....
c) \vec{BC}+\vec{CA}=....
d) \vec{CA}+\vec{AB}=....

2.Se considera dreptunghiul ABCD de centru O. Calculati:
a) \vec{AB}+\vec{AD}=....
b) \vec{AB}+\vec{OD}=....
c) \vec{OA}+\vec{OC}=....
d) \vec{BC}+\vec{OA}=....

3. Se considera vectorii \vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{j}, \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}. Determinati coordonatele vectorilor:
a) \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
b) 2\vec{a}-2\vec{c}
c) \vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}

4. Determinati m\in R, astfel incat vectorii \vec{u} si \vec{v} sa fie coliniari:
a) \vec{u}=m\vec{i}+\vec{j} si \vec{v}=\vec{i}-\vec{j}
b) \vec{u}=\left(m+1\right)\vec{i}+8\vec{j} si v=\left(m-1\right)\vec{i}-4\vec{j}

5. Fie triunghiul ABC de varfuri: A(-1;0); B(2;0);C(-1; 5)
a) Reprezentati in reperul cartezian (O,\vec{i},\vec{j}) punctele A, B, C
b) Determinati vectorii \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
c) Determinati lungimile vectorilor \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
d) Stabiliti natura triunghiului.

 

 

Numarul 2.
1. Se considera triunghiul ABC. Calculati :
a) \vec{AB}+\vec{AC}=.....
b) \vec{BA}+\vec{BC}=.....
c) \vec{BC}+\vec{CA}=....
d) \vec{CA}+\vec{AB}=....

2. Se considera dreptunghiul ABCD de centru O. Calculati:
a) \vec{AO}+\vec{OB}=....
b) \vec{DC}+\vec{OA}=....
c) \vec{OB}+\vec{OD}=....
d) \vec{AD}+\vec{OB}=....

3. Se considera vectorii \vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}, \vec{b}=\vec{i}-\vec{j}, \vec{c}=4\vec{j}. Determinati coordonatele vectorilor:
a) \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
b) \vec{a}-2\vec{b}
c) \vec{a}-\vec{b}+2\vec{c}

4. Determinati m\in R, astfel incat vectorii \vec{u} si \vec{v} sa fie coliniari:
a) \vec{u}=m\vec{i}+2\vec{j} si \vec{v}=8\vec{i}+m\vec{j}
b) \vec{u}=\left(m-2\right)\vec{i}+2\vec{j} si v=\vec{i}+\left(m-3\right)\vec{j}

5. Fie triunghiul ABC de varfuri: A(0;-2); B(0;-4);C(-\sqrt{3}; -3)
a) Reprezentati in reperul cartezian (O,\vec{i},\vec{j}) punctele A, B, C
b) Determinati vectorii \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
c) Determinati lungimile vectorilor \vec{AB}, \vec{BC}; \vec{AC}
d) Stabiliti natura triunghiului ABC.

Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Publicat în de MATEPEDIA

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

diagonelele intr-un paraleogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca [AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai observam si ca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD} ( unghiuri opuse la varf)
Deci obtinem ca triunghiul \Delta AOB\equiv\Delta COD (caz L.U.L)
De unde obtinem si ca [AB]\equiv[CD] (1)
Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca
[AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai stim si ca  \widehat{AOD}\equiv\widehat{COB} (ca unghiuri opuse la varf)
Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca
\Delta AOD\equiv\Delta COB, adica obtinem ca AD=CB  (2)
Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.
 
2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

cum aratam ca un patrulater convex este paralelogram

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca DM\perp AC si BN\perp AC si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.
Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca [AD]\equiv[BC]
Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca
\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}( ca unghiuri alterne interne)
Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca \Delta ADM\equiv \Delta CBN, de unde obtinem si ca
[DM]\equiv[BN]
Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor

Publicat în de MATEPEDIA

Propun spre rezolvare mai multe probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, probleme in care folosim Teorema impartirii cu rest, dar si o problema de geometrie in care o sa ne reamintim notiunile invatate in clasa a vi a.
1. Diferenta a 2 numere este 100 catul lor este 6 iar restul 5 . Aflati numerele.
Notam cu a, b numerele
Si avem ecuatia a-b=100 dar si a:b= catul 6 si restul 5, adica cu Teorema impartirii cu rest avem:
a=6\cdot b+5
Inlocuind in prima ecuatie obtinem 6b+5-b=100\Rightarrow 5b+5=100\Rightarrow 5b=100-5\Rightarrow 5b=95\Rightarrow b=95:5\Rightarrow b=19
Si a-19=100\Rightarrow a=100+19\Rightarrow a=119
2. Suma a 3 numere este 2298. Daca din fiecare numar se scade acelasi numar, se obtin respectiv numerele: 380, 725, 1058. Aflati cele 3 numere.
Solutie
Notam cu x, y, z numerele
Stim ca x+y+z=2298
Fie n numarul care se scade, astfel avem ecuatia:
x-n=380
Dar si y-n=725
Si z-n=1058
Acum adunand cele trei relatii obtinem:
x+y+z-3n=380+725+1058\Rightarrow 2298-3n=2163\Rightarrow 3n=2298-2163\Rightarrow 3n=135\Rightarrow n=135:3\Rightarrow n=45

Deci numarul care se scade este 45.

Calculul de arii si volume in prisme

Publicat în de MATEPEDIA

Dupa ce au fost introduse  notiunea de arie laterala, arie totala si volumul unei prisme, rezolvam probleme care in care avem sa calculam arii si volume in prisme diferite. Pentru cei care nu va mai reamintiti formulele pentru arii si volume click aici .

Dar in acest articol ne reamintim cum sa calculam masurii de unghiuri, dar si distanta de la un puncrt la o dreapta, cat si distanta de la un punct la un plan intr-o prisma regulata.

1. Un acvariu care are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ fara capac, este confectionat din sticla. Se stie ca AB=50 cm, BC=30 cm si inaltimea este AA’=40 cm.

a) Aflati distanta dintre A si C’

b) Cati litri de apa trebuie sa punem in acvariu, pentru ca acesta sa se ridice la o inaltime egala de 30 cm?

c) Cate acvarii putem construi di 10 m^{2} de sticla?

Demonstratie:

diagonala intr-un paralelipiped
Astfel stin ca diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic este
d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}=\sqrt{50^{2}+30^{2}+40^{2}}=\sqrt{2500+900+1600}=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}\;\; cm
b) Mai intai calculam volulul acvariului cu inaltimea de 30 cm
V=A_{b}\cdot h=L\cdot l+\cdot h=50\cdot 30\cdot 30=45000\;\; cm^{3}
Dar stim ca 1 dm^{3}=1 l, foarte important pentru cei care sunteti in clasa a VIII sa tineti minte aceasta formula.
Astfel mai intai transformam din 45000 cm^{3}=45 dm^{3}=45 l
Asadar trebuie asa punem 45 l de apa pentru ca inatimea apei sa fie de 30 cm.
c) Pentru a afla cate acvarii putem construi, calculam mai intai suparafata unui acvariu si obtinem:
A_{Acvariu}=A_{l}+A_{b}=P_{b}\cdot h+L\cdot l=2\cdot \left(50+30\right)\cdot 40+50\cdot 30=2\cdot 80\cdot 40+1500=160\cdot 40+1500=6400+1500=7900\;\; cm^{2}
Astfel suprafata unui acvariu este de 7900\;\; cm^{2}=0,79\;\; m^{2}
Si din 10\;\; m^{2} obtinem 10\;\; m^{2}:0,79\;\; m^{2}=12, 65, adica 12 acvarii.
2. Consideram prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’, cu A_{l}=144\;\; cm^{2} si A_{t}=18\left(8+\sqrt{3}\right)\;\; cm^{2}
Calculati:
a) Lungimea inaltimii pismei
b) Volumul prismei

Demonstratie:
Stim ca A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}\Rightarrow 18\left(8+\sqrt{3}\right)=144+2\cdot\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 144+18\sqrt{3}-144=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 18\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2\cdot 18\sqrt{3}=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=2\cdot 18\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\;\; cm
Acum ca stim lungimea laturii patratului putem sa aflam inaltimea astfel stim ca
A_{l}=P_{b}\cdot h\Rightarrow 3l\cdot h=144\Rightarrow 3\cdot 6\cdot h=144\Rightarrow 18\cdot h=144\Rightarrow h=144:18\Rightarrow h=8
si astfel am aflat si inaltimea prismei adica AA’=8 cm
b) Acum putem afla si volumul prismei, astfel avem
V=A_{b}\cdot h=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=36\sqrt{3}\cdot 2=72\sqrt{3}\;\; cm^{3}
Observati ca baz prismei triunghiulare regulate este un triunghi echilatera de unde am obtinut ca aria bazei este A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunea de calcul de arii si volume in prisme, deoarece dupa cum bine observati aceste notiuni ne ajuta si in viata e zi cu zi.

Cercul. Elemente in cerc Unghi la centru

Publicat în de MATEPEDIA

Foarte important! La notiunile despre cerc pentru a rezolva probleme cat mai complexe trebuie sa stapanim cat mai bine notiunile teoretice. Astfel mai intai definim notiunea de raza.

Definitie: Se numeste raza segmentul care uneste centrul cercului cu un punct de pe cerc.  [AO] raza

Dar si notiunea de coarda.

Segmentul care uneste doua puncte de pe cerc se numeste coarda.
[CB] coarda

Coarda care trece prin centrul cercului se numeste diametrul cercului, iar capetele diametrului se numesc diametral opuse.
[CE], C si E diametral opuse
Portiunea dintr-un cerc determinata de doua puncte distincte ale cercului se numeste arc de cerc.
In figura e mai jos avem arcul de cerc BC.

elemtneltele cercului
Doua puncte distincte care nu sunt diametral opuse detrmina doua arce de cerc:
– arcul mic AB
– arcul mare AB, dar pentru a nu exista pericol de confuzie se foloseste inca un punct pentru arcul mare, de exemplu arcul mare ACB
cum arata un arc de cerc
Daca extremitatile unui arc de cerc sunt diamatral opuse, artunci arcul se numeste semicerc.

Punctele care detrmina capetele arcului de cerc se numesc capetele (extremitatile) arcului de cerc.

O alta notiune destul de interesanta este si unghiul la centru

Se numeste unghi la centru unghiul cu varful in centrul cercului. Notiune destul de importanta deoarece cu ajutorul masurii unghiului la centru puntem sa aflam si masura arcului mic cat si masura arcului mare.

Masura unui arc mic de cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator.
Masura arcului mic AB se noteaza m\left(AB\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)(masura arcului mic AB este egala cu masura unghiului la centru AOB)
unghiul la centru
Masura unui arc mare de cerc este egala cu diferenta dintre 360^{0} si masura unghiului la centru corespunzator.
Adica: m\left(ACB\right)=360^{0}-m\left(\widehat{AOB}\right)
Observatie. Trebuie sa avem grija sa nu confundam masura unui arc de cerc (exprimate in grade) cu lungimea arcului de cerc exprimat in unitati de lungime.
De exemplu daca avem doua sau mai multe cercuri concentrice (doua cercuri se numesc concentrice daca au aceiasi raza)
cum comparam masura unui arc de cerc cu lungimr=ea unui arc de cerc
Observam ca m(AB)=m(CD)=m\left(\widehat{AOB}\right)
Dar lungimile arcului de cerc sunt diferite adica AB\neq CD

Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc se numesc arce congruente daca au aceiasi masura.
doua arce sunt congrunete daca au aceiasi masura
Adica, arcul AB este congruent cu arcul CD, daca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}
Sau mai scriem si ca
AB\equiv CD\Leftrightarrow m\left(AB\right)\equiv m\left(CD\right)

Aplicatii !

Fie cercul de centru O si raza 4 cm si coarda [MN] o coarda de lungime 4\sqrt{2}\;\; cm. Calculati lungimile arcelor de cerc determinate de coarda [MN].

Demonstratie:

lungimile arcelor de cerc

Observam ca OM si ON sunt raze, cum stim ca OM=ON=4 cm si MN=4\sqrt{2}\;\; cm
Cu Reciproca Teoremei lui Pitagora obtinem ca OM^{2}+ON^{2}=MN^{2}
Adica triunghiul MNO estre dreptunghic in O. Adica m\left(\widehat{MON}\right)=90^{0}
Si astfel aflam ca masura arcului mic MN este de 90^{0} Iar masura arcului mare este de 360^{0}-m\left(\widehat{MON}\right)=360^{0}-90^{0}=270^{0}
Iar pentru a afla lungimea arcelor folosim formula
\frac{\pi\cdot u^{0}\cdot r}{180^{0}}, unde
u^{0} este masura arcului de cerc, r este raza cercului.
Astfel obtinem ca lungimea arcului mic MN este
\frac{\pi\cdot 4\cdot 90^{0}}{180^{0}}^{(90}=\frac{4\pi}{2}=2\pi
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunile elementare ale cercului, deoarece constituie elementele esentiale in notiunile care vor fi introduse.