Triunghiul. Elemente.Perimetrul. Clasificarea. Unghi exterior unui triunghi

Publicat în ianuarie 29, 2020 de daniel

Triunghiul este o notiune noua pentru elevii de clasa a v-a dar si pentru cei de-a 6-a. Nu stiu cati dintre voi va mai reamintiti notiunile introductive pe care le-ati invatat. Sau, unii dintre voi mai curiosi din fire ati studiat singuri.

Astfel, in acest curs o sa definesc notiunea de triunghi, o sa scriu elementele importante ale unui triunghi, o sa va prezint cum se clasifica triunghiurile, dar si care sunt cele mai importante notiuni pe care trebuie sa le stiti.

Definitie: Se numeste triunghi figura geometrica notata $\Delta ABC$ , formata din reuniunea segmentelor [AB], [BC] si [CA], unde A, B, C sunt 3 puncte necoliniare.

Elementele lui triunghi sunt:
– varfuri: A, B, C
– laturile triunghiului ABC, adica segmentelele:[AB], [BC], [CA].
– unghiurile triunghiului ABC: $\widehat{ABC}; \widehat{BAC}, \widehat{ACB}$ , numite unghiurile interioare ale triunghiului ABC.

Cum avem unghiuri interioare, evient ca o sa avem si unghiuri exterioare. Astfel, daca [CX este semidreapta opusa semidreptei[CB, atunci unghiul $\widehat{ACX}$ se numeste unghiul exterior triunghiului ABC.

Asadar, se numeste unghi exterior unui triunghi, unghiul format de o latura a unui triunghi cu prelungirea altei laturi.

Astfel stim ca un triunghi are 3 unghiuri interioare si evident o sa aiba sase unghiuri exterioare, cate doua unghiuri in fiecare varf al unui triunghi.

Intre laturie unui triunghi si unghiurile interioare se pot stabili anumite pozitionari, astfel:

– unghiul opus unei laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ se opune laturii AC)
– latura opusa unui unghi ( de exemplu putem spune ca AC se opune unghiului $\widehat{ABC}$ , dar si BC se opune unului $\widehat{BAC})$
– unghiul cuprins intre doua laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ este cuprins intre laturile AB si BC)
– unghiuri alaturate unei laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ si $\widehat{ACB}$ sunt alaturate laturii BC)

Notiunile prezentate mai sus sunt foarte importante deoarece constituie baza pentru a intelege teoremele care vor urma.

Despre perimetrul unui triunghi am mai auzit astfel stim ca:

Definitie: Se numeste perimetrul unui triunghi suma lungimilor tuturor laturilor. Astfel perimetrul unui triunghi ABC este
$P_{\Delta ABC}=AB+BC+CA$

Uneori lungimile laturilor unui triunghi se noteaza cu literele mici ale alfabetului, corespunzatoare varfului unghiului care se opune acelei laturi.

Astfel in triunghiul ABC observam ca AB=c, deoarece latura AB se opune unghiului c AC=b, latura AC se opune unghiului B si latura BC=a se opune unghiului a.

Clasificarea triunghiurilor

Triunghiurile se clasifica dupa doua criterii:

-dupa lungima laturilor
– dupa masura unghiurilor

Dupa lungimea laturilor triunghiurile se clasifica in :

Triunghiul oarecare (sau scalen) este triunghiul cu laturile de lungimi diferite. $AB\neq BC\neq CA$

Triunghiul isoscel este triunghiul cu doua laturi de lungimi egale, adica congruente. $AB=AC$ sau $[AB]\equiv[AC]$

Triunghiul echilateral este triunghiul cu toate laturile congruente, adica de aceiasi lungime $AB=BC=CA$ sau $[AB]\equiv[AC]\equiv[BC]$

Dupa masurile unghiurilor avem:

– triunghiul ascutitunghic, are toate unghiurile ascutie, adica masura mai mica de $90^{0}$

– triunghiul obtuzunghic, are un unghi obtuz, adica masura mai mare de $90^{0}$

– triunghiul dreptunghic, are un unghi drept, adica masura este de $90^{0}$

Laturile care formeaza unghiul de $90^{0}$ se numesc catete, iar latura care se opune unghiului de $90^{0}$ se numeste ipotenuza, astfel AB si AC se numesc catete, iar BC este ipotenuza triunghiului dreptunghic.

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunile prezentate mai sus, deoarece sunt notiuni esentiale pentru ceea ce o sa invatam mai departe.

Uneori lungimile laturilor unui triunghi se noteaza cu literele mici corespunzatoare cu varfurile unghiului care se opune acelei laturi, asttfel avem ca BC=a, AB=c, AC=b.

Stim inca de pe semestrul intai ca distanta dintre doua puncte este lungimea segmentului cu extremitatile in cele doua puncte si in acelasi timp, distanta este drumul cel mai scurt, atunci in $\Delta ABC$ au loc inegalitatile

– $BC<AC+AB$ sau $a<b+c$

– $AC<BC+AB$ sau $b<a+c$

– $AB<BC+AC$ sau $c<a+b$

In orice triunghi lungimea fiecarei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua laturi. Acesta concluzie este cunoscuta sub denumirea de inegalitatea triunghiului si este un criteriu pentru a stabili daca trei segmente de lungimi date pot fi laturile unui triunghi.

Aplicatii:

Calculati perimetrul triunghiului isoscel ABC, daca AB=4 cm si BC=5 cm .
Demonstratie:

Stim ca triunghiul isoscel are doua laturi egale sau congruente, astfel avem cazurile:

1. Daca AB=4 cm, atunci si AC=4 cm, deci din ipoteza BC=5 cm si astfel obtinem ca perimetrul triunghiului ABC este $P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=4+4+5=13 cm$
2. Daca BC=5 cm, atunci si AC=5 cm si din ipoteza AB=4 cm si astfel obtinem ca $P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=4+5+5=14 cm$ .

2. Daca AB=8 cm AC=11 cm si BC=3 cm, stabiliti pozitia punctelor A, B, C.

Demonstratie:

Folosind inegalitatea triunghiului obtinem ca

AC=AB+BC, adica 11=8+3, asadar 11=11. De unde obtinem ca punctele A, B, C sunt coliniare.

Subiecte rezolvate Bacalaureat Sesiunea speciala 2016

Publicat în ianuarie 20, 2020 de daniel

Stiu ca deja baremul l-ati vazut pe sit-ul Ministerului, dar nu incercam sa le rezolvam in asa fel incat toti sa le intelegeti.

Astfel incepem cu Subiectul I

Avem o progresie aritmetica in care cunoastem primul termen si al doilea, dar trebuie sa aflam ce-l de-al patrulea termen. Astfel avem ca

$a_{1}=1, a_{2}=4$ , mai intai aflam ratia stim ca ratia intr- progresie aritmetica este $r=a_{2}-a_{1}$
adica $r=4-1\Rightarrow r=3$
Si folosind formula termenului general obinem
$a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r$
Cum noi trebuie sa aflam al patrulea termen obtinem $a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r$
adica $a_{4}=1+3\cdot 3\Rightarrow a_{4}=1+9=10$

2. Pentru a determina numarul „a”, stim ca punctul $A(1, a)$ , apartine graficului functiei daca $f(1)=a$ si astfel obtinem $f(1)=a\Rightarrow 1^{2}+4=a\Rightarrow 1+4=a\Rightarrow a=5$

Asadar numarul obtinut este a=5.

3. Pentru a rezolva ecuatia exponentiala $9^{x-2}=3^{2-x}$ , trebuie sa aducem ecautia la aceiasi baza

Astfel avem ca:

$\left(3^{2}\right)^{x-2}=3^{2-x}$ , efecutand calculele obtinem $3^{2(x-2)}=3^{2-x}$

Astfel egaland exponentii obtinem $2x-4=2-x\Rightarrow 2x+x=2+4\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=6:2\Rightarrow x=2$ .

4. Ca sa calculam probabilitatea stim ca avem $P=\frac{numar. cazuri. favorabile}{numar. cazuri posibile}$

Pentru a nu omite niciun caz stim ca avem 10, 11, 12, 13, ……. 99 cazuri posibile, acum pentru a afla numarul lor, consideram sirul de numere ca o progresia aritmetica, unde avem ratia r=1, $a_{1}=10, a_{n}=99$

Folosind formula termenului general obtinem:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\Rightarrow 99=10+(n-1)\cdot 1\Rightarrow 99-10=n-1\Rightarrow 89=n-1\Rightarrow 89+1=n\rightarrow n=90$ , asadar avem 90 de cazuri posibile, iar pentru a afla cazurile favorabile procedam la fel.

Adica avem cazuri favorabile 10, 11, 12, ….. 30, la fel ca si mai sus consideram $a_{1}=10$ si $a_{n}=30$ , iar r=11-10, adica r=1

$30=10+(n-1)\cdot 1\Rightarrow 30-10=n-1\rightarrow 20=n-1\Rightarrow n=20+1\Rightarrow n=21$

Asadar avem 21 cazuri favorabile, iar probabilitatea este:

$P=\frac{21}{90}^{(3}=\frac{7}{30}$

Teorema lui Menelaus

Publicat în noiembrie 19, 2018 de daniel

Teorema lui Menelaus ofera posibilitatea studierii coliniaritatii, astfel daca avem un triunghi ABC si o dreapta d care nu trece prin niciun varf al triunghiului ABC (dreapta care nu trece prin niciun varf al triunghiului se numeste transversala a triunghiului ABC) putem demonstra ca trei puncte sunt coliniare sau putem afla lungimea unor segmente..

Teorema. Fie triunghiul ABC si trei puncte $M\in BC, N\in CA, P\in AB$ , diferite de varfurile triunghiului ABC, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) punctele M, N, P sunt coliniare

b) Are loc relatia $\frac{MB}{MC}\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=1$

Astfel, cu teorema lui Menelaus, putem sa demonstram ca trei puncte sunt coliniare sau putem sa aflam si lungimea unor segmente.

Observam ca transversala care intersecteaza laturile triunghiului se poate afla in urmatoarele situatii:

transversala poate intersecta laturile triunghiului in doua puncte, iar al treilea punct se afla pe prelungirea laturii corespunzatoare(prima figura)
toate cele trei puncte ale transversalei se afla pe prelungirile laturilor triunghiului (figura doi)

Pentru a putea retine mai usor Teorema lui Menelaus, observam ca, pornim cu produsul rapoartelor de la prelungirea laturii pe care am construit-o si cu litera cu care am terminat primul raport (numitorul primei fractii) cu aceeasi litera se termina si numaratorul celui de-al doilea raport.

Dar teorema putem sa o folosim si pentru calculul vectorial, adica:

Teorema. Fie triunghiul ABC si trei puncte $M\in BC-\left\{A;B\right\}, N\in CA-\left\{C;A\right\}, P\in-\left\{A;B\right\}$ , diferite de varfurile triunghiului ABC, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) punctele M, N, P sunt coliniare

b) Are loc relatia $\frac{\vec{MB}}{\vec{MC}}\frac{\vec{NC}}{\vec{NA}}\cdot\frac{\vec{PA}}{\vec{PB}}=1$

Observam ca relatia din Teorema lui Menelaus se poate scrie incepand cu oricare dintre punctele M, N, P, adica

$\frac{\vec{PB}}{\vec{PA}}\cdot\frac{\vec{NA}}{\vec{NC}}\cdot\frac{\vec{MC}}{\vec{MB}}=1$ sau

$\frac{\vec{NA}}{\vec{NC}}\cdot\frac{\vec{MC}}{\vec{MB}}\cdot\frac{\vec{PB}}{\vec{PA}}=1$ .

Aplicatie!

Fie triunghiul ABC si $M\in [BC]$ astfel incat $BC=3\cdot MC$ , fie N, Q mijloacele segmentelor [AB] si [CN]. Aratati ca A, Q,M coliniare.

Demonstram coliniaritatea punctelor prin doua metode:

Mai intai folosim Teorema lui Menelaus in triunghiul BCN cu transversala AM.

Astfel observam din ipoteza problemei ca BC=3MC, astfel obtinem ca $BM+MC=BC\Rightarrow BM+MC=3\cdot MC\Rightarrow BM=2MC$ , astfel avem ca $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{2}$ (N mijlocul segmentului [AB]).

Mai avem si ca $\frac{MB}{MC}=\frac{2MC}{MC}=2$ ., Dar si $\frac{QC}{QN}=\frac{\frac{CN}{2}}{\frac{CN}{2}}$ (Q mijlocul lui CN)

Astfel, aplicand reciproca Teoremei lui Menelaus, avem ca $\frac{AN}{AB}\cdot\frac{MB}{MC}\cdot\frac{QC}{QN}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$ , astfel obtinem ca A, Q, M coliniare.

Dar demonstrand vectorial obtinem:

$AQ=\alpha MQ$ (Stim ca trei puncte A,B, C sunt coliniare daca si numai daca exista $\alpha \in R$ astfel incat $\vec{AB}=\alpha\cdot \vec{AC}$ ).

Astfel, stim ca Q este mijlocul segmentului [CN], astfel folosind Vectorul de pozitie al mijlocului unui segment obtinem ca $\vec{AQ}=\frac{\vec{AN}+\vec{AC}}{2}$ , dar stim si ca N este mijlocul segmentului [AB], astfel avem ca

$\vec{AQ}=\frac{\frac{\vec{AB}}{2}+\vec{AC}}{2}\Rightarrow\vec{AQ}=\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{AB}}{2}+\vec{AC}\right)\Rightarrow$
$\vec{AQ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{2}\Rightarrow$
$\vec{AQ}=\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{4}$ (1)

Acum, aplicand regula triunghiului in triunghiul MCQ, avem ca $\Vec{MQ}=\Vec{MC}+\Vec{CQ}$

Stim ca $\Vec{BC}=\Vec{BM}+\Vec{MC}$ , astfel avem ca $\Vec{BC}=\Vec{BM}+\Vec{MC}$ , stim ca

$\vec{BM}=2\cdot\Vec{MC}$ , astfel obtinem ca

$\Vec{BC}=2\Vec{MC}+\Vec{MC}\Rightarrow\Vec{BC}=2\cdot\Vec{MC}\Rightarrow \vec{MC}=\frac{\vec{BC}}{3}$

Reluand relatia obtinem:

$\Vec{MQ}=\Vec{MC}+\Vec{CQ}\Rightarrow \Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{\vec{CN}}{2}$ , stim ca CN este mediana in triunghiul ABC, astfel aplicand din nou vectorul de pozitie al mijlocului unui segment obtinem $CN=\frac{1}{2}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$

$\Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{\vec{CN}}{2}\Rightarrow \Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)\Rightarrow\Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{1}{4}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$

Observam ca $\Vec{MQ}=\frac{\vec{-CB}}{3}+\frac{1}{4}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$ (vectorii sunt de sens opus)

Aducand la acelasi numitor obtinem:

$\vec{MQ}=\frac{4\vec{-CB}+3\vec{CB}+3\vec{CA}}{12}$ , astfel obtinem ca $\vec{MQ}=\frac{\vec{-CB}+3\vec{CA}}{12}\Rightarrow \vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(-\vec{CB}+3\vec{CA}\right)\Rightarrow\vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BC}+3\vec{CA}\right)$

Dar stim ca $\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}$

Astfel obtinem $\Vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+\vec{AC}+3\vec{CA}\right)$

Adica:

$\Vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+\vec{-CA}+3\vec{CA}\right) \Rightarrow\vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+2\vec{CA}\right)\Rightarrow \vec{MQ}=\frac{-1}{12}\left(\vec{AB}+2\vec{AC}\right)$ (2)

Astfel din (1) si (2)obtinem ca $\vec{MQ}=\frac{-1}{3}\cdot\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{4}$ , astfel obtinem $\vec{MQ}=\frac{-1}{3}\cdot\vec{AQ}$ , astfel punctele A,Q, M coliniare.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Publicat în aprilie 13, 2018 de daniel

Pentru a rezolva triunghiul dreptunghic putem folosi atat teoremele invatate, adica Teorema Catetei, Teorema inaltimii, dar si Teorema lui Pitagora. Fiecare dintre ele atunci cand trebuie dar si notiunile trigonometrice, adica functiile trigonometrice.

Dar pentru majoritatea dintre voi, mai intai trebuie sa va reamintiti care sunt catetele intr-un triunghi dreptunghic si care este ipotenuza. Dupa cum bine stiti notiunile trigonometrice folosesc aceste notiuni.

Astfel, avem triunghiul CDE, dreptunghic in C. L-am notat asa pentru a ne da seama, nu doar triunghiul ABC, in care avem CE si CD catete, adica dreptele care formeaza unghiul de 90 de grade se numesc catete, iar DE ipotenuza. Adica dreapta care se opune unghiului de $90^{0}$ se numeste ipotenuza.

Aplicatii!

Fie triunghiul ABC cu laturile AB= 6 cm AC= 4 cm si $m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}$ . Aflati aria, perimetrul si lungimea inaltimii din A a triunghiului.

Demonstratie:
Pentru a afla BC, construim perpendiculara, inaltimea din B pe AC. Fie $BB'\perp AC$

Observam ca triunghiul astfel construit este un triunghi dreptunghic, in care cunoastem ipotenuza si masura unghiului A, care este de $60^{0}$ . Astfel, cum avem triunghi dreptunghic, aplicam sin de $60^{0}$

Astfel, in triunghiul dreptunghic ABB’, aplicam $\sin A=\frac{cateta\;\; opusa}{ipotenuza}$ .

Adica $\sin 60^{0}=\frac{BB'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BB'}{6}\Rightarrow BB^{'}=\frac{6\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BB'=3\sqrt{3}$ .

Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABB’, obtinem: $AB^{2}=BB'^{2}+AB'^{2}\Rightarrow 6^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+AB'^{2}\Rightarrow AB'^{2}=36-27\Rightarrow AB'=\sqrt{9}=3\;\; cm$

Cum stim ca AB’=3 cm, putem afla B’C, adica $AB=AB'+B'C\Rightarrow 4=3+B'C\Rightarrow B'C=4-3\Rightarrow B'C=1\;\; cm$

Acum observam ca si triunghiul BB’C este dreptunghi in B’, astfel putem aplica Teorema lui Pitagora, cum BC este ipotenuza obtinem: $BC^{2}=BB'^{2}+B'C^{2}\Rightarrow BC^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+1^{2}\Rightarrow BC^{2}=27+1\Rightarrow BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\;\; cm$

Astfel, perimetrul triunghiului ABC este $P_{\Delta ABC}=AB+BC+CA=6+4+2\sqrt{7}=10+2\sqrt{7}=2\left(5+\sqrt{7}\right)$

Observam ca am aflat inaltimea mai sus. Astfel obtinem aria triunghiului ABC este $A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{AC\cdot BB'}{2}=\frac{4\cdot 3\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}cm^{2}$ .

Stim ca orice triunghi are trei inaltimi. Astfel, pentru a afla inaltimea din A, stiind aria triunghiului, egalam ariile considerand odata baza AC si inca o data baza BC. Astfel stim de mai sus ca $A_{\Delta ABC}=6\sqrt{3}$

Dar mai stim si ca $A_{\Delta ABC}=\frac{BC\cdot h}{2}$

Unde h=inaltimea construita din A

$A_{\Delta}=\frac{3\sqrt{3}\cdot h}{2}$

Egaland cele doua arii obtinem:

$\frac{3\sqrt{3}\cdot h}{2}=6\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{2\cdot 6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=4$

Astfel inaltimea din A este egala cu 4 cm.

Asadar, pentru a rezolva problemele in care apar masuri de unghiuri, de obicei folosim functiile trigonometrice, chiar daca atunci cand le invatam ni se pare mai greu, acestea ne ajuta sa rezolvam problemele mai usor.

Atentie! Functiile trigonometrice se aplica doar intr-un triunghi dreptunghic, daca nu avem un triunghi dreptunghic incercam sa ne construim unul.

Proprietatile generale ale functiilor

Publicat în noiembrie 19, 2017noiembrie 19, 2017 de daniel

La proprietatile generale ale functiilor o sa discutam despre:

functii marginite
functii pare si functii impare
functii periodice
functii monotone

Asadar incepem cu functiile marginite:

Definitie: Fie $f:A\rightarrow R$ , o functie numerice. Spune ca functia f este marginita, daca exista numerele reale a si b, astfel incat $a\leq f\left(x\right)\leq b$

Sau functia $f:A\rightarrow R$ este marginita, daca imaginea functiei (multimea valorilor functiei) este inclusa intr-un interval de numere reale.

Adica f marginita, daca $\exists a, b\in R, a\leq b$ , astfel incat $Im f\subset [a, b]$ .

De asemenea putem afirma ca o functie este marginita, daca exista $M>0$ astfel incat $|f(x)|\leq M$ .

Dar si cu ajutorul graficului functii, spune ca o functie este marginita daca graficul sau este cuprins intre doua drepte paralele cu axa OX.

Aplicatii:

Studiati marginirea functiilor:

a) $f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}$

Asadar calculam

$f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1$

$f(0)=(-1)^{0}=1$

$f(1)=(-1)^{1}=-1$

Astfel obtinem ca $Im f=\left\{-1, 1\right\}\subset\left[-1, 1\right]$ , adica este inclusa intr-un interval de numere reale si astfel obtinem ca $f(n)=(-1)^{n}$ este o functie marginita.

b) $f:N^{*}\rightarrow N, f(n)=u(2^{n})$ , unde $u(2^{n})$ este ultima cifra a numarului $2^{n}$

Asadar calculam

$f(1)=u(2^{1})=2$

$f(2)=u(2^{2})=u(4)=4$

$f(3)=u(2^{3})=u(8)=8$

$f(4)=u(2^{4})=u(16)=6$

$f(5)=u(2^{5})=u(32)=2$

$f(6)=u(2^{6})=u(64)=4$

$f(7)=u(2^{7})=u(128)=8$

Asadar obtinem ca $Im f=\left\{2, 4, 6, 8\right\}\subset\left[2, 8\right]$ , adica functia este marginita.

Functii pare si functii impare.

O multime $A\subset R$ se numeste simetrica fata de originea axei reale, daca oricare ar fi $x\in A$ , atunci si $-x\in A$ .

Exemplu $(-2, 2)$ sunt simetrice fata de originea axei reale.

Fie $A\subset R$ o multime simetrica fata de origine si fie $f:A\rightarrow R$ o functie numerica.

Functia f se numeste functie impara, daca $f(-x)=-f(x)$

Graficul functie impare este simetric fata de origine reperului, adica originea O este centru de simetrie pentru graficul functiei.

Functia f se numeste functie para, daca $f(-x)=f(x)$

Graficul functiei pare este simetric fata de axa OY, adica axa OY este axa de simetrie pentru graficul sau.

Simetria graficului fata de drepte de forma x=m

Fie $f:A\rightarrow R$ o functei numeric si dreapta de ecuatie $x=m$

Dreapta $x=m$ este axa de simetrie a graficului functiei f, daca si numai daca $f(x)=f(2m-x), \forall x\in A$

Simetria graficului fata de puncte oarecare in plan.

Graficul functiei f este simetric fata de punctul $A\left(a, b\right)$ , daca si numai daca $f(x)+f(2a-x)=2b, \forall x\in A$ .

Aplicatii:

Care dintre urmatoarele functii sunt pare si care sunt impare:
a) $f(x)=x^{3}-2x$

Pentru stabili daca functia este para sau impara calculam:

$f(-x)=\left(-x\right)^{3}-2\cdot\left(-x\right)=-x^{3}+2x=-\left(x^{3}-2x\right)=-f(x)$ , adica functia este impara.

Stim ca orice numar negativ ridicat la o putere impara ne da tot un numar negativ, adica $\left(-x\right)^{3}=-x^{3}$

Observati ca sus pentru a obtine functia $f(x)$ am dat factor comun fortat un – si astfel am obtinut ca functia estye impara.

b) $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}$

Astfel calculam:

$f(-x)=\frac{\left(-x\right)^{2}}{\left(-x\right)^{6}+1}=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}=f(x)$ , adica functei para.

Observati ca in cazul de sus am avut numar negativ ridicat la putere para si am obtinut un numar pozitiv.

Functii periodice

Definitie: Fie $f:A\rightarrow R$ o fuctie numerica. Functai f se numeste functie periodica, daca exista $T\in R^{*}$ , astfel incat $f(x+T)=f(x),\forall x\in A$ .

Numarul T se numeste perioada functiei f.

Daca printre perioadele strict pozitive ale lui f, exista un cel mai mic $T_{0}$ m atunci $T_{0}$ se numeste perioada principala a functiei f.

Teorema:

Fie $f:R\rightarrow R$ , o functie care are perioada principala $T_{0}, k\in Z$ . Atunci:

– numarul $kT_{0}$ este perioada a functiei f

– oricare ar fi perioada $T$ a functiei f, exista $n\in Z$ , astfel incat $T=n\cdot T_{0}$

Aplicatii:

Aflati perioada principala pentru urmatoarele functii:

a) $f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}$

Asadar calculam:

$f(-2)=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^{2}}=\frac{1}{4}$

$f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1$

$f(0)=(-1)^{0}=1$

$f(1)=(-1)^{1}=-1$

$f(2)=(-1)^{2}=1$

Observam ca valorile functiei se repeta din 2 in doi.

Intr-adevar:

$f(2k)=(-1)^{2k}=1$

$f(2k+1)=(-1)^{2k+1}=-1$

Asadar obtinem ca $f(n+2)=f(n)$

Adica

$f(n+2)=\left(-1\right)^{n+2}=\left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{2}=\left(-1\right)^{n}\cdot 1=\left(-1\right)^{n}=f(n)$

Astfel obtinem ca functia f este periodica cu perioada principala $T_{0}=2$

b) Se considera functia $f:N\rightarrow N, f(n)=u(7^{n})$ .

a)Este periodica functia?

b)Care este multimea perioadelor functiei f?

Solutie:

a) Asadar calculam:

$f(0)=u(7^{0})=u(1)=1$

$f(1)=u(7^{1})=u(7)=7$

$f(2)=u(7^{2})=u(49)=9$

$f(3)=u(7^{3})=u(343)=3$

$f(4)=u(7^{4})=u(2401)=1$

$f(5)=u(7^{5})=u(16807)=7$

Observam ca acum cifrele incep sa se repete, astfel obtinem ca

$f(n+4)=f(n)$ , adica $T_{0}=4$

Astfel calculam

$f(n+4)=u(7^{n+4})=u(7^{n}\cdot 7^{4})=u(7^{n})\cdot u(7^{4})=u(7^{n})\cdot 1=u(7^{n})=f(n)$

Astfel obtinem ca functia este periodica cu perioada principala $T_{0}=4$

b) Multimea perioadelor functiei este $T\in\left\{4\cdot k|k\in N^{*}\right\}$ .

Functii monotone:

Fie functia numerica $f:A\rightarrow R$ .

Spunem ca functia f este crescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Spunem ca functia f este strict crescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})< f(x_{2})$

Spunem ca functia f este descrescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe A, daca pentru orice $x_{1}, x_{2}\in A$ , cu $x_{1}<x_{2}$ , rezulta si ca $f(x_{1})>f(x_{2})$ .

Functia $f:A\rightarrow R$ este monotona pe A, daca este crescatoare sau descrescatoare pe A.

Functia $f:A\rightarrow R$ estestrict monotona pe A, daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe A.

Modalitati de demonstrare ca o functia $f:A\rightarrow R$ este monotona:

Fie $x_{1}, x_{2}$ elemente oarecare din A cu $x_{1}<x_{2}$
a) Daca $f(x_{1})-f(x_{2})\leq 0$ , atunci functia este crescatoare
b) Daca $f(x_{1})-f(x_{2})\geq 0$ , atunci functia este descrescatoare
a)Daca $\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\geq 0, x_{1}\neq x_{2}$ , atunci functia este crescatoare.
b) Daca $\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\leq 0, x_{1}\neq x_{2}$ , atunci functia este descrescatoare.

Aplicatii:

Studiati monotonia frunctiilor:

a) $f:\left\{-1, 0, 1, 2\right\}\rightarrow R, f(x)=x+1$

Solutie:

Calculam:

Observam ca $x_{1}=-1<x_{2}=0\Rightarrow f(-1)<f(0)$ , adica obtinem ca functia este strict crescatoare.

Dar putem sa aratam si astfe:

Fie $x_{1}, x_{2}\in\left\{-1, 0, 1, 2\right\}, x_{1}<x_{2}$ , atunci:

$f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+1-(x_{2}+1)=x_{1}+1-x_{2}-1=x_{1}-x_{2}<0$ , deoarece $x_{1}<x_{2}$ , atunci functia este crescatoare.

b) $f:(0,+\infty)\rightarrow R, f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+|x|}}$

Solutie:

Calculam:

$f(1)=\frac{1}{\sqrt{1+|1|}}=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=^{\sqrt{2})}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(2)=\frac{1}{\sqrt{2+|2|}}=\frac{1}{\sqrt{2+2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$

Astfel avem ca $x_{1}=1$ si $x_{2}=2$ , cu $x_{1}<x_{2}$

Si avem ca $f(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1, 41}{2}\approx 0, 70$

Iar

$f(2)=\frac{1}{2}=0,5$ , adica obtinem ca: $f(1)>f(2)$ , adica functia este strict descrescatoare.

Probleme rezolvate Calculul de distante si masuri de unghiuri

Publicat în ianuarie 24, 2017noiembrie 19, 2017 de daniel

Prezentam probleme rezolvate cu distante si masuri de unghiuri, probleme care s-au dat la Evaluarea Nationala.

Paralelipipedul dreptunghic ACDA’B’C’D’ are $AA'=3\sqrt{5}, AB=6 cm, BC=3 cm$ . Fie O mijlocul segmentului [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati ca $OM\perp A'B$

b) Calculati $m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)$

c) Calculati $\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})$

Demonstratie:

Stim ca O este mijlocul lui [BD]
M este mijlocul lui [AB], atunci obtinem ca OM este linie mijlocie in triunghiul ABD, astfel obtinem $OM||AD$

Observam ca AB secanta, asadar $\widehat{OMB}\equiv\widehat{DAB}$ (ca unghiuri corespondente), asadar obtinem $m\left(\widehat{OMB}\right)=90^{0}$ , asadar obtinem ca $OM\perp AB$ . Dar observam ca $OM\perp AA'$ , asadar $OM\perp (A'AB)$ . Daca $OM\perp (A'AB)$ , observam ca $A'B\subset(A'AB)$ obtinem ca $OM\perp A'B$ .

b) Pentru a afla masura unghiului unei drepte cu un plan calculam proiectia dreptei pe planul respectiv $pr_{(ABC)}D'B$

Ca sa aflam mai usor proiectia dreptei, calculam mai intai proiectia fiecarui punct pe planul respectiv, asadar:
$pr_{(ABC)}D'=D$
Si $pr_{(ABC)}B=B$

Asadar $pr_{(ABC)}D'B=DB$
asadar obtinem unghiul $m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)=m\left(\widehat{D'B, DB}\right)=m\left(\widehat{D'BD}\right)$

Astfel avem ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, stim ca $DD'=AA'=3\sqrt{5}$

Iar cu Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABD, putem afla BD, astfel avem ca $DB^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=3^{2}+6^{2}\Rightarrow DB^{2}=9+36\Rightarrow DB=\sqrt{45}\Rightarrow DB=3\sqrt{5}$

Asadar observam ca $DB=DD'=3\sqrt{5}$ , adica triunghiul DD’B este isoscel, de mai sus stiind ca este si dreptunghic, obtinem ca DD’B este dreptunghic isoscel, asadar $m\left(\widehat{D'BD}\right)=45^{0}$ .

c) $\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})$
Pentru a afla tangenta unghiului celor doua plane mai intai aflam intersectia celor doua plane, astfel avem ca $(A'DM)\cap (D'DM)=\left\{DM\right\}$

Fie P mijlocul segmentului [A’B’], iar S mijlocul segmentului [DM].

Observam ca in triunghiul A’DM, A’D=AM, iar S fiind mijlocul lui DM, obtinem ca $A'S\perp DM$ , deoarece triunghiul A’DM fiind isoscel, iar S mijlocul bazei, obtinem ca A’S este si inaltime.

Acum pentru a afla perpendiculara din D’ pe DM, am luat P- mijlocul lui A’B’, si observam ca D’PMD este dreptunghi, astfel, fie N mijlocul lui [D’P], obtinem ca $NS\perp DM$ , si astfel avem unghiul

$\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})=\tan(\widehat{A'S, NS})=\tan\widehat{A'SN}$

Stim ca $SN=NP=AA'=3\sqrt{5}$ , iar triunghiul ANS este dreptunghic in N.

Pentru a afla AN, observam ca triunghiul A’D’P este dreptunghic in A’, stim ca AD’=A’P=3 astfel cu teorema lui Pitagora obtinem $D'P^{2}=3^{2}+3^{2}\rightarrow D'P^{2}=18\Rightarrow D'P=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ , aplicand teorema medianei, obtinem $A'N=\frac{D'P}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Astfel avem ca $\tan\widehat{A'SN}=\frac{A'N}{SN}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}:\frac{3\sqrt{5}}{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{2\cdot 5}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

Dreapta perpendiculara pe un plan. Problema rezolvata

Publicat în noiembrie 15, 2016ianuarie 20, 2018 de daniel

Fie ABC un ∆ echilateral cu latura de 3 cm. În punctul A se construiește perpendiculara pe planul ∆ pe care se considera punctul D astfel incat AD=4 cm. Aflati perimetrul ∆DBC.

Cum triunghiul ABC este echilateral stim ca AB=AC=BC (triunghiul echilateral are toate laturile egale)

Stim ca $DA\perp (ABC)$ astfel avem si ca $DA\perp AB$ , adica $m\left(\widehat{DAB}\right)=90^{0}$ . Si cu teorema lui Pitagora obtinem ca :