Dupa cum bine stiti am mai calculat distanta dintre un punct si o dreapta, distanta dintre un punct si un plan, distanta de dintre doua plane, distanta dintre o dreapta si un plan, dar am calculat si masuri de unghiuri, adica masura dintre doua drepte, masura dintre o dreapta si un plan, dar si masura dintre doua plane, cat si unghiul diedru. Pe site gasiti informatii despre toate acestea.

Astfel prezentam probleme rezolvate in care o sa folosim notiunile prezentate mai sus, astfel:

1. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are $latex AA’=3\sqrt{5}, AB=6 cm$ si BC=3 cm. Fie O mijlocul lui [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati $latex OM\perp A’B$
b) Calculati $latex m\left(\widehat{D’B,(ABC)}\right)$

Demostratie:

Stim ca M este mijlocul segmentului AB, astfel $latex AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3 cm$
In triughiul ABD aplican Teorema lui Pitagora obtinem:
$latex BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow BD^{2}=6^{2}+3^{2}\Rightarrow BD=\sqrt{36+9}\Rightarrow BD=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Astfel: $latex BO=DO=\frac{BD}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$

Stim ca O este mijlocul lui BD si M mijlocul lui AM, astfel OM este linie mijlocie in triunghiul ADB, astfel avem ca $latex MO=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$

Astfel avem ca : $latex MO^{2}+BM^{2}=BO^{2}$

Adica $latex \frac{9}{4}+9=\frac{45}{4}$, adica cu reciproca lui Pitagora Triunghiul BOM este dreptunghic in M, adica $latex OM\perp AB$, dar $latex OM\perp AA’$ astfel obtinem ca $latex OM\perp\left(AA’B\right)$

Observam ca $latex A’B\subset\left(AA’B\right)$ si obtinem ca $latex OM\perp A’B$ (daca o dreapt este perpendiculara pe un plan atunci ea este perpendiculara pe orice drepata din acel plan).

b) Ca sa calculam masura unghiului dintre o dreapta si un plan, calculam mai intai proiectia dreptei pe plan astfel avem ca $latex pr_{(ABC)}D’B$

Ca sa fi mai usor de aflat proiectia dreptei pe plan calculam mai intai: $latex pr_{(ABC)}D’=D$
Dar si $latex pr_{(ABC)}B=B$

Si astfel am aflat ca $latex pr_{(ABC)}D’B=DB$

Astfel avem unghiul: $latex m\left(\widehat{D’B,DB}\right)=m\left(\widehat{D’BD}\right)$

Ca sa aflam acum masura unghiului observam ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, astfel aplicand functiile trigonometrice obtinem ca: $latex \tan\left(\widehat{D’BD}\right)=\frac{c.o}{c.a}=\frac{DD’}{DB}=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=1$

Astfel obtinem ca masura unghiului este de $latex 45^{0}$

2. Piramida ABCD are toate muchiile congrunete si inaltimea $latex AO=4\sqrt{3} cm$. Punctele M si N sunt mijloacele muchiilor AB si CD.
a) Calculati lungimea muchiei piramidei
b) Aratati ca $latex MN\perp AB$
c) Calculati sinusul unghiului dintre dreapta MN si planul (BCD)
Problema data la Testarea Nationala din 2006.
Demonstratie:
Stim ca daca piramida are toate muchiile congruente, practic avem un tetraedru regulat, cel care nu va mai reamintiti click aici .

Observam ca stim doar inaltimea AO, stim ca triunghiul ABC este echilateral, la fel si triunghiul BCD, astfel stim ca $latex BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}$, astfel aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul AOB obtinem:
$latex AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow l^{2}=\left(4\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{l\sqrt{3}}{3}\right)^{2}\Rightarrow l^{2}=16\cdot 3+\frac{l^{2}\cdot 3}{9}^{(3}\Rightarrow l^{2}=48+\frac{l^{2}}{3}$

Astfel separand termenii asemenea obtinem $latex l^{2}-\frac{l^{2}}{3}=48$, Astfel aducand la acelasi numitor obtinem: $latex \frac{3l^{2}-l^{2}}{3}=\frac{48\cdot 3}{3}\Rightarrow 2l^{2}=144\Rightarrow l^{2}=144:2\Rightarrow l^{2}=72\Rightarrow l=\sqrt{72}\Rightarrow l=6\sqrt{2}cm$, de unde obtinem $latex AB=6\sqrt{2}cm$.

b) Pentru a arata ca $latex MN\perp AB$, folosim toate informatiile din ipoteza problemei, astfel stim ca M mijlocul AB si N mijlocul lui CD, astfel observam ca BM este mediana in triunghiul echilateral BCD si AN mediana in triunghiul echilateral ACD, de unde obtinem ca BN si AN sunt si inaltimi, conform proprietatilor triunghiului echilateral, observam ca $latex BN=AN=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{6}}{2}^{(2}=3\sqrt{6}$., de unde obtinem ca triunghiul ANB este isoscel, cum M mijlocul lui AB, obtinem ca MN este si inaltime in triunghiul ABN, astfel obtinem ca $latex MN\perp AB$.

c) $latex \sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)$
Pentru a afla sinusul unghiului calculam mai intai calculam $latex pr_{(BCD)}MN$, astfel avem
$latex pr_{(BCD)}M=P$, construim $latex MP\perp BN, P\in BN$, observam ca $latex pr_{(BCD)}AB=BO, M\in AB$ $latex pr_{(BCD)}N=N$, deoarece $latex N\in (BCD)$ Asadar obtinem $latex pr_{(BCD)}MN=NP$
Astfel obtinem $latex \sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)=\sin\left(\widehat{MN, NP}\right)=\sin\left(\widehat{MNP}\right)$

Ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa avem triunghi dreptunghi astfel stim ca $latex MP\perp BN$, astfel MPN dreptunghic in P, stim ca M mijlocul lui AB, dar si $latex MP\perp BN$ si $latex AO\perp BN$, astfel obtinem ca MN||AO si astfel obtinem ca MP este linie mijlocie in triunghiul ABO si astfel obtinem $latex MP=\frac{AO}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm$ stim si ca P mijlocul lui BO si astfel obtinem ca $latex PO=\frac{BO}{2}$

Stim ca $latex BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{6}$.

Si astfel obtinem ca $latex PO=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$.

Dar si $latex NO=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\sqrt{6}$
si obtinem ca $latex NP=NO+OP=\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}$.
Aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MPO obtinem $latex MN^{2}=MP^{2}+PN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2\sqrt{6}\right)^{2}\Rightarrow MN^{2}=4\cdot 3+4\cdot 6\Rightarrow MN^{2}=12+24\Rightarrow MN=\sqrt{36}=6 cm$

Astfel obtinem ca $latex \sin\left(\widehat{MNP}\right)=$
$latex \frac{MP}{MN}=\frac{2\sqrt{3}}{6}^{(2}=$
$latex \frac{\sqrt{3}}{3}$