Functii derivabile

Publicat în octombrie 20, 2014 de MATEPEDIA

Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie $f:D\rightarrow R, D\subset R$ si $x_{0}\in D$ un punct de acumulare al multimii D.

Definitie functii derivabile:

Se spune ca functia f are derivata in punctul $x_{0}\in D$ daca exista limita $\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ in $\bar{R}$

Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul $x_{0}$ si se noteaza

$f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$

Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul $x_{0}\in D$ , daca limita

$f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$

exista si este finita.

Definitii

Fie $f:D\rightarrow R, A\subset D$

Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila in fiecare punct al multimii.

Multimea $D_{f^{'}}=\left\{x\in D|\exists f^{'}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{'}\left(x\right)\in R\right\}$ se numeste domeniul de derivabilitate a functiei f.

Derivate laterale

Derivata la stanga

Fie functia $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$ astfel incat $D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi$

Definitii !

Functia f are derivata la stanga in punctul $x_{0}$ , daca limita $\lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $\bar{R}$

Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul $x_{0}$ si se noteaza $f^{'}_{s}\left(x\right)$

Functia f are derivabila la stanga in punctul $x_{0}$ , daca derivata la stanga in $x_{0}$ exista si este finita.

Derivata la dreapta

Fie functia $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$ astfel incat $D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi$

Definitii !

Functia f are derivata la dreapta in punctul $x_{0}$ , daca limita $\lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $\bar{R}$

Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul $x_{0}$ si se noteaza $f^{'}_{d}\left(x\right)$

Functia f este derivabila la dreata in punctul $x_{0}$ , daca derivata la dreapta in $x_{0}$ exista si este finita.

Teorema !

Fie functia $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$

a) Functia f are derivata in $x_{0}$ daca si numai daca f are derivatele laterale in $x_{0}$ si $f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)$

b) Functia f este derivabila in $x_{0}$ daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta in
$x_{0}$ si $f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)$

Derivabilitate si continuitate

Teorema (continuitatea functiilor derivabile)

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Observatie !

Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.

Exemplu:

Functia modul $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x|$ este continua in $x_{0}$ fara a fi derivabila in in acest punct.

Astfel $\lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right)$ , deci functia este continua.

Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului

$R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x}$ in $x_{0}$

Astfel avem $\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1$

$\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1$

Astfel nu exista $\lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}$ , deci functia modul nu este derivabila in punctul $x_{0}$

Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.

Determinarea punctele de inflexiune

Publicat în august 15, 2014august 15, 2014 de MATEPEDIA

Dupa ce am invatat sa determinam intervalele de convexitate si concavitate a functiilor, a venit vremea sa invatam sa determinam punctele de inflexiune, astfel prezentam o teorema cu ajutorul careia gasim punctele de inflexiune:

Teorema:Fie $f:I\rightarrow R$ si $x_{0}$ un punct din interiorul intervalului I, astfel incat:

a) f este de doua ori derivabila in vecinatatea V a lui $x_{0}$

b) exista punctele $a,b\in V$ , astfel incat $x_{0}\in\left(a, b\right)$

c ) $f^{''}\left(x\right)=0$

d) $f^{''}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right)$ si $f^{''}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right)$ sau invers $f^{''}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right)$ si $f^{''}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right)$ .

atunci $x_{0}$ este un punct de inflexiune al functiei f.

Observatie:

1) Conditia $f^{''}\left(x\right)=0$ nu implica intotdeauna ca $x_{0}$ este punct de inflexiune.

2. Conditia ca f sa fie continua in $x_{0}$ este punct de inflexiune.

Exemplu:

Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei $f:D\rightarrow R$ definite prin:

a) $f\left(x\right)=x^{3}-7x^{2}+3x-4$

Aflam mai intai domeniul de definitie, astfel domeniul de definitie al functiei f este R, deoarece functia de mai sus este o functiei polinomiala, deci avem

$f:R\rightarrow R$

Calculam mai intai

$f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-7x^{2}+3x-4\right)^{'}=3x^{2}-14x+3-0$

Calculam acum

$f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(3x^{2}-14x+3\right)^{'}=6x-14+0=6x-14$

Rezolvam acum ecuatia:

$f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-14=0\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=14:6\Rightarrow x=\frac{7}{3}$

Acum efectuam tabelul de variatie:

Dar mai intai calculam

$f\left(\frac{7}{3}\right)=\left(\frac{7}{3}\right)^{2}-3\left(\frac{7}{3}\right)^{2}+3\cdot\frac{7}{3}-4=\frac{343}{27}-3\cdot \frac{49}{9}+7=frac{343}{27}-\frac{49}{3}+7=\frac{343-9\cdot 49+27\cdot 7 }{27}=\frac{343-441+189}{27}=\frac{-98+189}{27}=\frac{91}{27}$

In concluzie functia f este concava pe intervalul $x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right)$ si este convexa pe intervalul $\left(\frac{7}{3},+\infty\right)$
Astfel pentru $x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right) f^{''}\left(x\right)<0$ si pentru $x\in\left(\frac{7}{3},+\infty\right), f^{''}\left(x\right)>0$ . Atunci punctul $x_{0}=\frac{7}{3}$ este punct de inflexiune.
b) $f\left(x\right)=x^{2}\ln x$
calculam mai intai domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
$x>0\Rightarrow x\in \left(0,+\infty\right)$
Deci functia $f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R$
Calculam
$f^{'}\left(x\right)=\left(x^{2}\ln x\right)^{2}=2x\cdot \ln x+x^{2}\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x$
Calcul acum
$f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(2x\ln x+x\right)^{'}=2\cdot \ln x+2x\frac{1}{x}+1=2\ln x+2+1=2\ln x+3$
Acum rezolvam ecuatia:
$f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\ln x+3=0\Rightarrow 2\ln x=-3\Rightarrow \ln x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=e^{-\frac{3}{2}}$
Calculam acum
$f\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)=\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)^{2}\ln e^{-\frac{3}{2}}=$
$e^{-3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\ln e\right)=-\frac{3}{2}e^{-3}\cdot 1=-\frac{3}{2}e^{-3}$

Acum alcatuim tabelul

Astfel functia f este concava pe intervalul $\left(0,e^{-\frac{3}{2}}\right)$ si convexa pe intervalul $\left(e^{-\frac{3}{2}}, +\infty\right)$ , astfel ca punctul $\left(e^{-\frac{3}{2}}, -\frac{3}{2}e^{3}\right)$ este punct de inflexiune.
c) $f\left(x\right)=\frac{x}{1-x^{2}}$
Aflam mai intai domeniul de defintie:
Astfel punem conditia ca $1-x^{2}\neq 0\Rightarrow -x^{2}\neq -1\Rightarrow x^{2}\neq 1\Rightarrow x\neq\pm 1$
Astfel $x\in R-{\pm 1}$
Adica $D=R-\left\{-1,1\right\}$
Calculam acum
$f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)^{'}=\frac{1\cdot\left(1-x^{2}\right)-x\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}+2x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}$
Calculm acum
$f^{''}\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(1-x^{2}\right)^{2}-\left(1+x^{2}\right)\cdot 2\left(1-x^{2}\right)\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$\frac{2x\left(1-2x^{2}+x^{4}\right)+4x\left(1-x^{4}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$\frac{2x-4x^{3}+2x^{5}+4x-4x^{5}}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$\frac{-2x^{5}-4x^{3}+6x}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$\frac{-2x\left(x^{4}+2x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=$
$\frac{-2x\left(x^{4}+3x^{2}-x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=$
$\frac{-2x\left[x^{2}\left(x^{2}+3\right)+\left(x^{2}+3\right)\right]}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$\frac{-2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}$

Astfel avem ca:

$f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow -2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)=0$

Si astfel obtinem $-2x=0\Rightarrow x=0$

Sau $x^{2}+3=0$ (observam ca ecuatia nu are solutii in multimea numerelor reale)

Sau $x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1$

Acum intocmim tabelul de variatie, dar tinem cont si de domeniul de definitie al functiei, astfel avem:

Calculam acum $f\left(0\right)=\frac{0}{1-0^{2}}=0$

Ca sa stabilim semnul functiei calculam

$f^{''}\left(-2\right)=\frac{-2\cdot\left(-2\right)\left[\left(-2\right)^{2}+3\right]\left[\left(-2\right)^{2}-1\right]}{\left(1-\left(-2\right)^{2}\right)^{4}}=\frac{4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{4\cdot 7\cdot 3}{81}>0$

Acum calculam

$f^{''}\left(-0,5\right)=\frac{-2\cdot\left(-0,5\right)\left[\left(-0,5\right)^{2}+3\right]\left[\left(-0,5\right)^{2}-1\right]}{\left[1-\left(-0,5\right)^{2}\right]^{4}}=$

$\frac{1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{-2,43}{+0,75^{4}}<0$

Iar apoi

$f^{''}\left(0,5\right)=\frac{-2\cdot 0,5 \left(0,5^{2}+3\right)\left(0,5^{2}-1\right)}{\left(1-0,5\right)^{4}}=$

$\frac{-1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{-1\cdot 3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{+2,43}{+0,75^{4}}>0$

Iar acum calculam

$f^{''}\left(2\right)=\frac{-2\cdot 2\left(2^{2}+3\right)\left(2^{2}-1\right)}{\left(1-2^{2}\right)^{4}}=\frac{-4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{-4\cdot 7\cdot 3}{81}<0$

Astfel pe intervalul

$\left(-\infty; 1\right)\cup\left[0; 1\right)$ functia este convexa iar pe intervalul $\left(-1; 0\right)\cup\left[0; +\infty\right)$ functia este concava

Iar punctele de inflexiune sunt -1; 0; 1.

Reprezentarea grafica a functiilor

Publicat în mai 22, 2014mai 25, 2014 de MATEPEDIA

In reprezentarea grafica a functiilor se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape:

1. Se determina domeniul maxim de definitie al functiei si intersectia graficului functiei cu axele de coordonate.

Astfel pentru functiile irationale de forma $\sqrt{f\left(x\right)}$ si pune conditia ca $f\left(x\right)\geq 0$

– pentru functia logaritimica de forma $\log_{a}{f\left(x\right)}$ se pune conditia ca $f\left(x\right)>0$

– pentru functiile rationale de forma $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right)\neq 0$

2. Intersectia graficului functiei cu axele de coordonate:

Intersectia graficului functiei cu axa Ox se obtine punand conditia $y=0\Rightarrow f\left(x\right)=0$ , adica rezolvam ecuatia de mai sus

Intersectia graficului functie cu axa Oy se obtine punand conditia ca $x=0$ si calculand $f\left(0\right)=y$

3. Determinarea semnului functie si eventualele simetrii

– Daca $f\left(x\right)\geq 0$ , graficul functie este situat deasupra axei Ox in semiplanul pozitiv

– Daca $f\left(x\right)\leq 0$ , atunci graficul functie este situat sub axa Ox semiplanul negativ.

O functie are simetrii daca este para sau impara, o functie para este simetrica fata axa Oy, iar o functie impara este simetrica fata de origine,

4. Asimptotele functiei

Calculam limitele la capetele domeniului de definitie, studiem continuitatea si determinam eventualele asimptote daca exista.

5. Studiul functiei folosind prima derivata

Cu ajutorul derivatei intai determinam intervalele de monotonie si punctelede extrem

6. Studiul functiilor folosind derivata a doua

Cu ajutorul derivatei a doua eterminam intervalele de convexitate sau concavitate si punctele de inflexiune

7. Tabelul de variatie al functiei

Intocmim tabelul de variatie cu datele e lapunctele precendente

8. Trasam graficul functiei

Exemplu:

1) Sa se reprezinte grafic functiile:

a) $f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}-4$

In cazul functiilor polinomiale domeniul maxim de definitie este R, astfel $D=R$

$G_{f}\cap Ox$

Calculam

$f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-4=0\Rightarrow$
$x^{3}-2x^{2}-x^{2}-4=0\Rightarrow$

$x^{2}\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow$
$\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right)=0$

Deci gasim ca

$x-2=0\Rightarrow x=2$

$x^{2}-x-2=0\Rightarrow$
$\Delta =\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-2\right)=1+8=9$

Calculam acum

$x_{1}=\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

Deci ecuatia are doua solutii reale

Dar mai avem si

$x_{2}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

Deci avem

$G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right); B\left(-1,0\right)\right\}$

Calculam acum $G_{f}\cap Oy$ , astfel calculam

$f\left(0\right)=0^{3}-3\cdot 0^{2}+4=4$

Astfel avem $C\left(0, 4\right)$

Determinam eventualele asimptote, astfel calculam

$\lim\limits_{x\to-\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=-\infty$

La fel si pentru

$\lim\limits_{x\to+\infty}{x^{3}-3x^{2}+4}=+\infty$

Deci functia nu are asimptote spre + si -infinit.

Studiul functiei folosind derivata intai:

$f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-3x^{2}+4\right)^{'}=3x^{2}-6x$

Acum rezolvam

$f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6x=0\Rightarrow 3x\left(x-2\right)=0$

Astfel obtinem fie

$x=0$

$x-2=0\Rightarrow x=2$

Acum intocmim tabelul de variatie pentru derivata I, astfel avem

Studiul functiei folosind derivata a doua:

Astfel avem
$f^{''}\left(x\right)=\left(3x^{2}-6x\right)^{'}=6x-6$
Rezolvam acum
$f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1$
Intocmim tabelul de variatie pentru derivata a doua

Acum trasam graficul functiei

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor Determinarea intervalelor de convexitate si concavitate

Publicat în mai 11, 2014mai 11, 2014 de MATEPEDIA

Dupa ce am invatat rolul derivatei intai in studiul functiilor dar si a punctelor de extrem, a venit vremea sa discutatm despre rolul derivatei a doua, in studiul functiilor dar si intervalelor de convexitate si concavitate.
Dar mai intai sa definim notiunea de convexitate si concavitate:

a) Functia $f:I\rightarrow R$ , I un interval de numere reale, se numeste functia convexa pe intervalul I, daca pentru oricare $x_{1}, x_{2}\in I$ si oricare $t\in\left[0,1\right]$ are loc inegalitatea
$f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\leq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)$

b) Functia $f:I\rightarrow R$ , I un interval de numere reale, se numeste functia concava pe intervalul I, daca pentru oricare $x_{1}, x_{2}\in I$ si oricare $t\in\left[0,1\right]$ are loc inegalitatea
$f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\geq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)$

Dupa ce am definit notiunile teoretice prezentam un criteriu practic pentu a stabili daca o functie (de doua ori derivabila) este convexa sau concava pe un interval folosind semnul derivatei a doua a functiei.

Teorema

Fie $f:\left[a,b\right]\rightarrow R, a<b$ o functie care verifica conditiile:

a) f este continua pe intervalul inchis $\left[a,b\right]$
b) f este derivabila de doua ori pe intervalul deschis $\left(a, b\right)$

Atunci:

1) daca $f^{''}\left(x\right)\geq 0,\forall x\in\left(a,b\right)$ , rezulta ca functia f este convexa pe intervalul inchis $\left[a,b\right)$
2) daca $f^{''}\left(x\right)\leq 0,\forall x\in\left(a,b\right)$ , rezulta ca functia f este concava pe intervalul inchis $\left[a,b\right)$
Modul practic de determinare a intervalelor de convexitate si de concavitate a functiei $f:\rightarrow R$ este urmatorul:

1) Se calculeaza derivata a doua $f^{''}$ pe domeniul de existenta $D_{f^{''}}\subset D$
2) Se rezolva ecuatia $f^{''}\left(x\right)=0$ pe multimea $D_{f^{''}}$
3) Se descompune domeniul de definitie al functiei in intervalele disjuncte pe care $f^{''}$ nu se anuleaza(prin intermediul zerourilor derivatei a doua si eventual al punctelor in care functia f nu se anuleaza de doua ori)
4) Se determina semnul derivatei a doua pe fiecare interval obtinut la 3)

Astfel daca $f^{''}>0$ pe un interval, rezulta ca functia este convexa pe acel interval
Daca $f^{''}<0$ pe un interval, rezulta ca functia este concava pe acel interval

Exemplu:

1) Sa se determine intervalele de convexitate/ concavitate pentru
a) $f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}-1}{x-2}$
Stabilim mai intai domeniul de definitie, astfel avem:
$x-2\neq 0\Rightarrow x\neq 2$
Deci $D=R-\left\{2\right\}$
Calculam acum
$f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x^{1}-1}{x-2}\right)^{'}=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{'}\cdot\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot\left(x-2\right)^{'}}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot 1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x^{2}-4x-x^{2}+1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}$
Acum calculam:

$f^{''}\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}\right)^{'}=$
$\frac{\left(2x-4\right)\cdot\left(x-2\right)^{2}-\left(x^{2}-4x+1\right)\cdot\left[2\left(x-2\right)\cdot 1\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=$
$\frac{\left(x-2\right)\cdot\left[\left(2x-4\right)\left(x-2\right)-2\left(x^{2}-4x+1\right)\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=$
$\frac{2x^{2}-4x-4x+8-2x^{2}+8x-2}{\left(x-2\right)^{3}}=\frac{6}{\left(x-2\right)^{3}}$

Deci obtinem ca $f^{''}\left(x\right)\neq 0, \forall x\in R-\left\{2\right\}$
Mai calculam si
$\lim\limits_{x\to -\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{2x}{1}}=-\infty$
Ca sa calculam limita de mai sus am aplicat regula lui L’Hospital.

Calculam acum si $\lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{2x}{1}}=+\infty$

Dar si $\lim\limits_{x\to 2\;\;x<2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{-}_0}=-\infty$
$\lim\limits_{x\to 2\;\;x>2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{+}_0}=+\infty$
Tabelul pentru studiul convexitatii/ concavitatii functiei f este:

Astfel observam ca functia f este
convexa pe intervalul $\left(2,+\infty\right)$ si concava pe intervalul $\left(-\infty,2\right)$
b) $f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\ln x+\frac{x^{2}}{2}$
Aflam mai intai domeniul e definitie al functiei, astfel punem conditia ca
$x>0\Rightarrow x\in\left(0,+\infty\right)$
Astfel functia f este definita pe $f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R$
Acum calculam:
$f^{'}\left(x\right)=\left(\ln x+\frac{x^{2}}{2}\right)^{'}=\frac{1}{x}+\frac{2x\cdot 2-x^{2}\cdot 0}{4}=\frac{1}{x}+\frac{4x}{x}=\frac{1}{x}+x$

Ca sa calculam prima derivata am folosit regula de calul $\left(\frac{f}{g}\right)^{'}=\frac{f^{'}\cdot g-f\cdot g^{'}}{g^{2}}$
unde $f=x^{2}$ si g=2
Calculam acum
$f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{1}{x}+x\right)^{'}=-\frac{1}{x^{2}}+1=\frac{-1+x^{2}}{x^{2}}$
La derivata a doua la fel am alicat formula de mai sus sau mai stim si direct ca $\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^{2}}$
Acum calculam
$f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow -1+x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1$
Cum domeniul de definitie este $\left(0,+\infty\right)$ rezulta ca doar x=1 este solutie a ecuatiei.
Calculam acum
$\lim\limits_{x\to 0 x>0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0 x>0}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=-\infty$
Dar si
$\lim\limits_{x\to +\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=+\infty$

Acum realizam tabelul de variatie:
Calculam acum
$f^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{-1+\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-4+1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{-3}{4}\cdot\frac{4}{1}=-3$
Deci pe intervalul $\left(0,1\right) f^{''}\left(x\right)<0$ , deci finctia este concava
Acum calculam:
$f^{''}\left(2\right)=\frac{-1+2}{4}=\frac{1}{4}>0$
Deci pe intervalul $\left(1,+\infty\right), f^{''}\left(x\right)>0$ , functia este convexa.

Rolul derivatei intai in studiul functiilor

Publicat în aprilie 7, 2014aprilie 7, 2014 de MATEPEDIA

O aplicatie utila a derivatei intai a unei functii o constituie determinarea intervalelor de monotonie.
Astfel:
Teorema. Fie $f:I\rightarrow R$ o functie derivabila pe un interval I. Atunci:
a) functia f este monoton crescatoare pe intervalul I daca si numai daca $f^{'}\left(x\right)\geq, \forall x\in I$
b) functia f este monoton descrescatoare pe intervalul I daca si numai daca $f^{'}\left(x\right)\leq, \forall x\in I$
Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei functii $f:D\rightarrow R$ se procedeaza astfel:
– se calculeaza derivata $f^{'}$ a functiei pe domeniul de derivabilitate $D_{f^{'}}\subset D_{f}$
– se rezolva ecuatia $f^{'}\left(x\right)=0,x\in D_{f^{'}}$
– se determina semnul functiei $f^{'}$ pe intervalele pe care functia nu se anuleaza
– se stabilesc intervalale de monotonie in functie de semnele derivatei
Exemplu:
Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f:

a) $f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{3}-6x$
Stabilim domeniul de definitie, astfel D=R
Calculam derivata intai
$f^{'}\left(x\right)=\left(x^{3}-6x\right)^{'}=3x^{2}-6$
Rezolvam ecuatia
$f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^{2}-6=0\Rightarrow 3x^{2}=6\Rightarrow x^{2}=6:3\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$
Determinam semnul functiei pe intervalele pe care functia se anuleaza.

Calculam acum $f\left(-\sqrt{2}\right)=\left(-\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

$f\left(\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-6\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$
Astfel obtinem ca:
Pe intervalele $\left(-\infty, -\sqrt{2}\right]$ si $\left[\sqrt{2},+\infty\right)$ este strict crescatoare iar pe intervalul $\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$ , functia este strict descrescatoare.

b) $f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$
Mai intai aflam domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
$x>0$ , deci gasim ca $x\in \left(0,\right)$ , deci domeniul de definitie este $D=\left(0,+\infty\right)$ , adica
$f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R$
Acum calculam derivata functiei $f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{'}=\frac{\left(\ln x\right)\cdot x-\ln x\cdot x^{'}}{x^{2}}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$
Astfel avem ca
$f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e$
Acum avem tabelul de variatie:
$f\left(e\right)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}$

Astfel pe intervalul
$\left(0,e\right], f^{'}\left(x\right)\geq 0$ deci functia este monoton crescatoare, iar pentru $x\in\left[e,+\infty\right), f^{'}\left(x\right)\leq 0$ deci functia este descrescatoare.

c) $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$
Solutie
Observam ca functia este periodica de perioada principala $T=2\pi$
Astfel cand avem functii trigonometrice se recomanda sa efectuam studiul doar pe un interval de lungime egala, egal ca perioada principala, iar apoi rezultatele se extind la tot domeniul de definitie, adaugand multipli de $2\phi$ la capetele intervalelor de monotonie.
Astfel efectuam studul pe intervalul $\left[0,2\pi\right]$
Acum calculam
$f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)^{'}=\frac{\left(\sin x\right)^{'}\cdot\left(2+\cos x\right)-\sin x\cdot\left(2+\cos x\right)^{'}}{\left(2+\cos x\right)^{2}}=\frac{\cos x\left(2+cos x\right)-\sin x\cdot\left(0-\sin x\right)}{\left(2+cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+cos^{2} x+\sin^{2} x}{\left(2\cos x\right)^{2}}=\frac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^{2}}$
Acum avem ca
$f^{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\cos x+1=0\Rightarrow 2\cos x=-1\Rightarrow \cos x=\frac{-1}{2}$
Iar solutiile din $\left[0, 2\phi\right]$ sunt $x_{1}=\frac{2\pi}{3}, x_{2}=\frac{4\pi}{3}$
Realizam tabelul de variatie

Astfel
f este crescatoare pe intervalele de forma $\left[0, 2k\pi, \frac{2\pi}{3}\right]$ si $\left[\frac{4\pi}{3}+2k\pi, 2k\pi\right], k\in Z$ si strict descrescatoare pe intervalele de forma $\left[\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right], k\in Z$

S-a publicat baremul la bacalaureat-2014-la-matematica-simulare

Publicat în martie 5, 2014aprilie 13, 2014 de MATEPEDIA

Dupa ce ati dat simularea pentru bacalaureat la matematica nu mai ramane decat sa asteptati sa vedeti ce note ati luat. Inainte de asta puteti sa vedeti baremul de corectare publicat pe site-ul Ministerului Invatamantului.

Rezolvare subiecte simulare matematica cls. a XI-a Stiintele naturii

Publicat în martie 5, 2014martie 5, 2014 de MATEPEDIA

Prezentam rezolvarea pentru subiecte simulare matematica clasa a XI-a. Stiintele naturii.

1) Determinati numarul real x stiind ca numerele x, 36 si 4 sunt in progresie geometrica.

Solutie:

$36=\sqrt{4\cdot x}\Rightarrow 36^{2}=4\cdot x\Rightarrow\frac{36\cdot 36}{4}=x\Rightarrow$

$x=\frac{9\cdot 36}{1}\Rightarrow x=324$

2) Fie functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x+a, \in R$ Determinati a stiind ca $\left(f 0 f\right)\left(x\right)=x$

Solutie

$\left(f 0f\right)\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x+a\right)=x+a+a=x+2a$

Deci $x+2a=x\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0$

3) Rezolvati ecuatia

$3^{-x+2}=\sqrt{3}\Rightarrow 3^{-x+2}=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow -x+2=\frac{1}{2}\Rightarrow -x=\frac{1}{2}-2\Rightarrow -x=\frac{1-4}{2}\Rightarrow -x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$

Observati ca pentru $x=\frac{3}{2}$ ecuatia se verifica

$3^{-\frac{3}{2}+2}=3^{\frac{-3+4}{2}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

Numărul submulţimilor cu cel mult 3 elemente ale mulţimii M este $C^{0}_{4}+C^{1}_{4}+C^{2}_{4}+C^{3}_{4}=\frac{4!}{\left(4-0\right)\cdot 0!}+\frac{4!}{\left(4-1\right)!\cdot 1!}+\frac{4!}{\left(4-2\right)!\cdot 2!}+\frac{4!}{\left(4-3\right)!\cdot 3!}=\frac{4!}{4!}+\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!\cdot 2!}+\frac{4!}{1!\cdot 3!}=1+4+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=5+3\cdot 2+4=5+6+4=15$ .

4) In reperul cartezian XOY se considera punctul $A\left(2,-3\right)$ si dreapta $d:2x+y-5=0$ . Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendiculara pe dreapta d.

Solutie :

Gasim mai intai ecuatia dreptei d’ care trece prin punctul $A\left(2, -3\right)$ , astfel avem $y-\left(-3\right)=m'\left(x-2\right)\Rightarrow y+3=m'\left(x-2\right)$ , unde

m este panta dreptei d si m’ este panta dreptei d’, unde $m_{d}=m'_{d'}$

Conditia ca dreptele sa fie perpendiculare este $m\cdot m'=-1$

Acum sa aflam panta dreptei d.

$2x+y-5=0\Rightarrow y=-2x+5$

Astfel panta dreptei este $m_{d}=-2$

Acum din conditia de mai sus avem :

$m_{d}\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow -2\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow m'_{d'}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$ .

Astfel ecuatia dreptei este :

$y+3=m'\left(x-2\right)\Rightarrow$

$y+3=\frac{1}{2}\left(x-2\right)\Rightarrow$

$2y+6=x-2$

$\Rightarrow 2y+6-x+2=0\Rightarrow -x+2y+8=0\Rightarrow x-2y-8=0$

5) Calculati $\sin 2x$ stiind ca $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ si $\cos x=\frac{3\sqrt{5}}{7}$

Solutie:

Stim ca :

$\sin^{2} x+\cos^{2} x=1$

Astfel gasim ca :

$\sin^{2} x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^{2}=1\Rightarrow \sin^{2} x=1-\frac{9\cdot 5}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{49-9\cdot 5}{49}=\frac{49-45}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{4}{49}\Rightarrow \sin x=\pm \sqrt{\frac{4}{49}}\Rightarrow \sin x=\pm \frac{2}{7}$

Astfel avem ca :

$\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x=2\cdot \frac{2}{7}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{7}=\frac{2\cdot 2\cdot 3\sqrt{5}}{7\cdot 7}=\frac{12\sqrt{5}}{49}$

Acum am luata sinusul pozitiv deoarece suntem in cadranul I, iar sinusul este pozitiv

Mate Pedia

Ne place matematica !

clasa a XI -a

Functii derivabile

Determinarea punctele de inflexiune

Reprezentarea grafica a functiilor

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor Determinarea intervalelor de convexitate si concavitate

Rolul derivatei intai in studiul functiilor

S-a publicat baremul la bacalaureat-2014-la-matematica-simulare

Rezolvare subiecte simulare matematica cls. a XI-a Stiintele naturii