Probleme rezolvate Calculul de distante si masuri de unghiuri

Publicat în ianuarie 24, 2017noiembrie 19, 2017 de daniel

Prezentam probleme rezolvate cu distante si masuri de unghiuri, probleme care s-au dat la Evaluarea Nationala.

Paralelipipedul dreptunghic ACDA’B’C’D’ are $AA'=3\sqrt{5}, AB=6 cm, BC=3 cm$ . Fie O mijlocul segmentului [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati ca $OM\perp A'B$

b) Calculati $m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)$

c) Calculati $\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})$

Demonstratie:

Stim ca O este mijlocul lui [BD]
M este mijlocul lui [AB], atunci obtinem ca OM este linie mijlocie in triunghiul ABD, astfel obtinem $OM||AD$

Observam ca AB secanta, asadar $\widehat{OMB}\equiv\widehat{DAB}$ (ca unghiuri corespondente), asadar obtinem $m\left(\widehat{OMB}\right)=90^{0}$ , asadar obtinem ca $OM\perp AB$ . Dar observam ca $OM\perp AA'$ , asadar $OM\perp (A'AB)$ . Daca $OM\perp (A'AB)$ , observam ca $A'B\subset(A'AB)$ obtinem ca $OM\perp A'B$ .

b) Pentru a afla masura unghiului unei drepte cu un plan calculam proiectia dreptei pe planul respectiv $pr_{(ABC)}D'B$

Ca sa aflam mai usor proiectia dreptei, calculam mai intai proiectia fiecarui punct pe planul respectiv, asadar:
$pr_{(ABC)}D'=D$
Si $pr_{(ABC)}B=B$

Asadar $pr_{(ABC)}D'B=DB$
asadar obtinem unghiul $m\left(\widehat{(D'B,((ABC))}\right)=m\left(\widehat{D'B, DB}\right)=m\left(\widehat{D'BD}\right)$

Astfel avem ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, stim ca $DD'=AA'=3\sqrt{5}$

Iar cu Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABD, putem afla BD, astfel avem ca $DB^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=3^{2}+6^{2}\Rightarrow DB^{2}=9+36\Rightarrow DB=\sqrt{45}\Rightarrow DB=3\sqrt{5}$

Asadar observam ca $DB=DD'=3\sqrt{5}$ , adica triunghiul DD’B este isoscel, de mai sus stiind ca este si dreptunghic, obtinem ca DD’B este dreptunghic isoscel, asadar $m\left(\widehat{D'BD}\right)=45^{0}$ .

c) $\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})$
Pentru a afla tangenta unghiului celor doua plane mai intai aflam intersectia celor doua plane, astfel avem ca $(A'DM)\cap (D'DM)=\left\{DM\right\}$

Fie P mijlocul segmentului [A’B’], iar S mijlocul segmentului [DM].

Observam ca in triunghiul A’DM, A’D=AM, iar S fiind mijlocul lui DM, obtinem ca $A'S\perp DM$ , deoarece triunghiul A’DM fiind isoscel, iar S mijlocul bazei, obtinem ca A’S este si inaltime.

Acum pentru a afla perpendiculara din D’ pe DM, am luat P- mijlocul lui A’B’, si observam ca D’PMD este dreptunghi, astfel, fie N mijlocul lui [D’P], obtinem ca $NS\perp DM$ , si astfel avem unghiul

$\tan(\widehat{(A'DM),(D'DM)})=\tan(\widehat{A'S, NS})=\tan\widehat{A'SN}$

Stim ca $SN=NP=AA'=3\sqrt{5}$ , iar triunghiul ANS este dreptunghic in N.

Pentru a afla AN, observam ca triunghiul A’D’P este dreptunghic in A’, stim ca AD’=A’P=3 astfel cu teorema lui Pitagora obtinem $D'P^{2}=3^{2}+3^{2}\rightarrow D'P^{2}=18\Rightarrow D'P=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ , aplicand teorema medianei, obtinem $A'N=\frac{D'P}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Astfel avem ca $\tan\widehat{A'SN}=\frac{A'N}{SN}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}:\frac{3\sqrt{5}}{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{2\cdot 5}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

Problema rezolvata cu Triunghiul dreptunghic

Publicat în martie 13, 2016martie 13, 2016 de daniel

Prezentam o problema in care folosim Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$

Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de $30^{0}$ masoara jumatate din ipotenuza.

Este important sa stim : catetele intr-un triunghi dreptunghic sunt dreptele care formeaza unghiul de $90^{0}$ , iar ipotenuza este dreapta care se opune unghiului de $90^{0}$ .

Daca nu am invatat inca functiile trigonometrice, putem amplica Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ mai sus enuntata dar si Teorema lui Pitagora, iar in cazul in care stim functiile trigonometrice le aplicam.

Foarte important este sa stim si ca functiile trigonometrice le aplicam doar in triunghiurile dreptunghice.

PROBLEMA !

ABC- triunghi dreptunghic m(A) =90° BC=a m(B) =30°

Calculati: AB=? AC=? sin 30° cos 30° tg 30° ctg 30°

Apoi : m(C) =60° sin 60° cos 60° tg 60° ctg 60°

Solutie:

Cum stim ca triunghiul este dreptunghic si avem un unghi de $30^{0}$ putem aplica Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , adica $AC=\frac{BC}{2}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}$ .

Pentru a afla AB, aplicam Teorema lui Pitagora:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow a^{2}=AB^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\Rightarrow AB^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{4a^{2}-a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{3a^{2}}{4}\Rightarrow AB=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Sau in triunghiul ABC dreptunghic in A aplicam functiile trigonometrice: $\sin B=\frac{cateta\;\; opusa}{ipotenuza}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}$

Pentru a afla AB, aplicam $\cos B=\frac{cateta\;\; alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{a}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\sin 30^{0}=\frac{1}{2}; \cos 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

sin 60°= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; cos 60° $=\frac{1}{2}$ ; tg 60°= $\sqrt{3}$ ; ctg 60° $=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Asadar, cu ajutorul functiilor trigonometrice, putem rezolva mai usor triunghiul dreptunghic, dar nu trebuie sa uitam de Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii si teorema Catetei, fiecare avand un rol destul e important.

Unghiul a doua drepte in spatiu. Problema rezolvata.

Publicat în noiembrie 16, 2015 de MATEPEDIA

Despre unghiul a doua drepte in spatiu am scris aici. Astazi vom incerca sa aprofundam printr-o problema rezolvata si explicata.

Exemplu:

Fie cubul ABCDA’B’C’D’, cu AB= 2 cm. Calculati cosinusul unghiului dintre dreptele $A'B$ si DO, unde $\left\{O\right\}=BC^{'}\cap B^{'}C$ .

Pentra a afla unghiul celor doua drepte notam cu P intersectia diagonalelor bazei A’B’C’D’, adica fie $A'C'\cap B'D'=\left\{P\right\}$
Observam ca O este mijlocul segmentului BC’, dar si P mijlocul segmentului A’C’, deci PO e linie mijlocie in triunghiul A’BC’. Conform Teoremei de la linia mijlocie stim ca PO||A’B si $PO=\frac{A'B}{2}$

Astfel obtinem ca cosinusul unghiului dintre cele doua drepte este:
$\cos\left(\widehat{DO,A'B}\right)=$
$\cos\left(\widehat{DO, PO}\right)=$
$\cos\left(\widehat{DOP}\right)$

Pentru a afla cosinusul unghiului stim ca trebuie sa avem triunghi dreptunghic.
Dar mai intai sa vedem ce fel de triunghi avem. Stim ca $PO=\frac{A'B}{2}$
Cum A’B este diagonala in patratul A’B’AB, obtinem ca $A'B=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
Astfel obtinem $PO=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Pentru a afla DO, observam ca $DC'=BC'=DB=2\sqrt{2}$ ( diagonale in patratele DD’CC’; BB’CC’; ABCD), astfel obtinem ca triunghiul DBC’ este echilateral si cum O este mijlocul lui BC’, obtinm ca DO este mediana si cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca DO este si inaltime in triunghiul echilateral DBC’.

Stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ , adica $DO=\frac{DC'\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}\;\; cm$
Acum pentru a afla DP, in triunghiul DD’P, dreptunghi in D’ aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem $DP^{2}=DD'^{2}+D'P^{2}\Rightarrow DP^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow DP^{2}=4+2\Rightarrow DP=\sqrt{6}$

Observam ca $DP=DO=\sqrt{6}$ , adica triunghiul DOP este isoscel de baza PO.

Acum, pentru a afla cosinusul unghiului, fie aplicam Teorema cosinusului, fie aplicam defintia care am invatat-o in claas a vii-a dar cu conditia sa avem triunghi dreptunghic.

Astfel cu Teorema cosinusului
$DP^{2}=DO^{2}+PO^{2}-2\cdot DO\cdot PO\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \left(\sqrt{6}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)$
Adica $6-6-2= -2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{-2}{-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{12}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{12}^{(2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Acum pentru a afla cu notiunile din clasa a VII-a construim inaltimea din D pe PO, fie $DM\perp PO$ , cum Triunghiul DMO dreptunghic in M si cum triunghiul DOP isoscel de baza PO, obtinem ca DM este si mediana, astfel obtinem $MO=MP=\frac{PO}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$ , deci in triunghiul dreptunghic DOM in M $\cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{cateta.\;\; alaturata}{ipotenuza}=\frac{OM}{DO}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{6}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{2\cdot 6}=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Publicat în octombrie 1, 2015ianuarie 20, 2016 de MATEPEDIA

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca $[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai observam si ca $\widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}$

( unghiuri opuse la varf)

Deci obtinem ca triunghiul $\Delta AOB\equiv\Delta COD$

(caz L.U.L)

De unde obtinem si ca $[AB]\equiv[CD]$

(1)

Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca

$[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai stim si ca $\widehat{AOD}\equiv\widehat{COB}$

(ca unghiuri opuse la varf)

Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca

$\Delta AOD\equiv\Delta COB$

, adica obtinem ca AD=CB (2)

Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.

2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca $DM\perp AC$ si $BN\perp AC$ si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.

Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca $[AD]\equiv[BC]$

Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca

$\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}$

( ca unghiuri alterne interne)

Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca $\Delta ADM\equiv \Delta CBN$

, de unde obtinem si ca

$[DM]\equiv[BN]$

Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor

Publicat în septembrie 20, 2015septembrie 27, 2015 de MATEPEDIA

Propun spre rezolvare mai multe probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, probleme in care folosim Teorema impartirii cu rest, dar si o problema de geometrie in care o sa ne reamintim notiunile invatate in clasa a vi a.
1. Diferenta a 2 numere este 100 catul lor este 6 iar restul 5 . Aflati numerele.
Notam cu a, b numerele
Si avem ecuatia $a-b=100$ dar si $a:b=$ catul 6 si restul 5, adica cu Teorema impartirii cu rest avem:
$a=6\cdot b+5$
Inlocuind in prima ecuatie obtinem $6b+5-b=100\Rightarrow 5b+5=100\Rightarrow 5b=100-5\Rightarrow 5b=95\Rightarrow b=95:5\Rightarrow b=19$
Si $a-19=100\Rightarrow a=100+19\Rightarrow a=119$
2. Suma a 3 numere este 2298. Daca din fiecare numar se scade acelasi numar, se obtin respectiv numerele: 380, 725, 1058. Aflati cele 3 numere.
Solutie
Notam cu x, y, z numerele
Stim ca $x+y+z=2298$
Fie n numarul care se scade, astfel avem ecuatia:
$x-n=380$
Dar si $y-n=725$
Si $z-n=1058$
Acum adunand cele trei relatii obtinem:
$x+y+z-3n=380+725+1058\Rightarrow 2298-3n=2163\Rightarrow 3n=2298-2163\Rightarrow 3n=135\Rightarrow n=135:3\Rightarrow n=45$

Deci numarul care se scade este 45.

Probleme rezolvate cu functiile trigonometrice

Publicat în mai 14, 2015iunie 4, 2015 de MATEPEDIA

Prezentam o problema pe care o rezolvam cu ajutorul functiilor trigonometrice, dar si probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Rombul ABCD are latura AB=10 cm .Daca tg unghiului $\tan\widehat{BAC}=\frac{3}{4}$ ,determinati lungimile diagonalelor .

Demonstratie:

Stim ca diagonalele intr-un romb sunt perpendiculare astfel avem ca: $AC\cap BD=\left\{O\right\}$

Dar si $AC\perp BD$

Deci avem ca: $\Delta BAO$ este dreptunghic in O, adica putem aplica functiile trigonometrice

$\tan\widehat{BAC}=\tan\widehat{BAO}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow BO=\frac{3}{4}\cdot AO$

Dar cu Teorema lui Pitagora avem ca:

$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow 10^{2}=AO^{2}+\left(\frac{3}{4}\cdot AO\right)^{2}\Rightarrow AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{16}{16}AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{25}{16}AO^{2}=100\Rightarrow AO^{2}=100:\frac{25}{16}\Rightarrow AO^{2}=100\cdot\frac{16}{25}\Rightarrow AO^{2}=4\cdot 16\Rightarrow AO=\sqrt{4\cdot 16}=2\cdot 4\Rightarrow AO=8\;\; cm$

Iar $AC=2\cdot AO=2\cdot 8=16$

Iar $BO=\frac{3}{4}\cdot 8=\frac{3\cdot 8}{4}=\frac{24}{4}=6\;\; cm$

Iar $BD=2\cdot BO=2\cdot 6=12\;\; cm$

2. Petre citeste o carte in 3 zile.In prima zi el citeste de 2 ori mai mult decat in a doua zi , iar in a treia zi citeste jumatate din numarul de pagini citite in a doua zi . Cartea are 56 de pagini. Afla cate pagini a citit elevul in fiecare zi.

Solutie:

Notam cu x numarul de pagini citite in a doua zi:

In prima zi citeste: 2x

In a trei zi citeste $\frac{x}{2}$

Astfel avem: $2x+x+\frac{x}{2}=56\Rightarrow \frac{4x}{2}+\frac{2x}{2}+\frac{x}{2}=56\Rightarrow$

$\frac{7x}{2}=56\Rightarrow x=56:\frac{7}{2}\Rightarrow$

$x=56\cdot\frac{2}{7}\Rightarrow x=8\cdot 2=16$

Deci in a doua zi 16 pagini.

Iar in prima zi $2\cdot x=2\cdot 16=32$

Iar in a treia zi $\frac{x}{2}=\frac{16}{2}=8$

3. Suma a 5 nr consecutive este egala cu 5 sa sa afle nr

Solutie:

Fie n, n+1, n+2, n+3, n+4 numerele consecutive

n+n+1+n+2+n+3+n+4=5

De unde obtinem: 5n+10=5

Adica obtinem 5n=5-10

Adica

5n=-5

Iar n=-1

Adica primul numar este -1

Al doilea numar este: n+1=-1+1=0

Al treilea numar este n+2=-1+2=1

Al patrulea n+3=-1+3=2

Iar la V lea n+4=-1+4=3

Deci numerele sunt: -1; 0; 1; 2; 3;

Cum aflam inaltimea intr-un trapez

Publicat în aprilie 1, 2015aprilie 1, 2015 de MATEPEDIA

Sa ne reamintim cum se afla inaltimea intr-un trapez, printr-o problema rezolvata pentru un vizitator al MatePedia.ro.

Aflati inaltimea unui trapez ABCD (AB//CD€ cand se cunosc:

a) AB=13cm, BC=5cm, AC=12cm

Demonstratie:

a) Observam ca am obtinut triunghiul ABC si daca aplicam reciporoca lui Pitagora obtinem ca $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}\Rightarrow 13^{2}=12^{2}+5^{2}$

Astfel obtinem ca triunghiul ABC e dreptunghic in C.

Astfel daca construim inaltimea trapezului din varfulul unghiului C care coincide cu inaltimea in triunghiul dreptunghic ABC si obtinem:
fie $CE\perp AB$ . Astfel cu Teorema inaltimii obtinem $CE=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12\cdot 5}{13}=\frac{60}{13}\;\; cm$

Mate Pedia

Ne place matematica !

probleme rezolvate

Probleme rezolvate Calculul de distante si masuri de unghiuri

Problema rezolvata cu Triunghiul dreptunghic

Unghiul a doua drepte in spatiu. Problema rezolvata.

Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor

Probleme rezolvate cu functiile trigonometrice

Cum aflam inaltimea intr-un trapez