Compararea radicalilor de ordin diferit

Inca din clasele mai mici am invatat compararea radicalilor de ordin doi dar astazi o sa invatam sa comparam si radicalii de alt ordin. Compararea radicalilor nu este o munca foarte usoara, ca sa comparam cat mai repede radicalii, este important sa lucram cat mai multe exercitii in care trebuie sa comparam radicali de ordin diferit, superior, adica ordinul 3, 4 5. Incepem prin cateva exemple simple:

1) Comparati numerele:

a) $2\sqrt{3} \;\; si \; 3\sqrt{2}$
Introducem factorii sub radical si obtinem:

$2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=\sqrt{12} \\3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}\cdot 2}=\sqrt{18}$ .
Cum 12<18, rezulta ca $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$

b)
$3\sqrt[3]{4} \;\; si \;\; 4\sqrt[3]{2}$
Daca introducem factorii sub radical obtinem:
$3\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{3^{3}\cdot 4}=\sqrt[3]{27\cdot 4}=\sqrt[3]{108} \\4\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4^{3}\cdot 2}=\sqrt{64\cdot 2}=\sqrt[3]{128}$

Cum 108 e mai mic decat 128, rezulta ca si $2\sqrt[3]{4}<4\sqrt[3]{2}$ Am introdus factorii sub radical dar am tinut cont ca acesti radicali sunt de ordinul 3.

2)Sa se aseze in ordine crescatoare radicalii
$\sqrt{2}; \sqrt[3]{3}; \sqrt[4]{4} \\\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} \\\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}} \\\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{4}}$

Daca ridicam fiecare numar la puterea $12$ obtinem:
$(2^{\frac{1}{2}})^{12}=2^{\frac{1}{2}\cdot 12}=2^{6}=64 \\\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{12}=3^{\frac{1}{3}\cdot 12}=3^{4}=81 \\\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{4}}=\left(4^{\frac{1}{4}}\right)^{12}=4^{\frac{1}{4}\cdot 12}=4^{3}=64$

Astfel ca sa extragem radicalii de ordin diferit, in cazul nostru radicalul de ordinul 4, incercam sa-l aducem la forma radicalului de ordinul 2 pe care putem sa-l extragem, dupa cum am invatat in clasa a VII-a, exact ca la exemplul de mai sus.

Deci in ordine crescatoare asezam radicalii: $\sqrt{2}=\sqrt[4]{4}<\sqrt[3]{3}$
Altfel daca nu scriem radicalii sub forma de putere, putem sa extragem radicali de la fiecare numar astfel stim din clasa a VII-a ca $\sqrt{2}\cong 1,41 \\\sqrt[4]{4}=\sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{2}\cong 1,41$ si astfel le comparam.

Sau daca va e mai usor putem sa comparam radicalii la fel ca la puteri, adica ordinul la care trebuie adus fiecare radical este cel mai mic multiplu comun a ordinelor lor, astfel cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3, 4 este $\left[2, 3, 4\right]=12$ ( adica luam factori comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare)

Atentie, radicalul care nu are scris niciun ordin este considerat ca fiind de ordinul 2.

Astfel obtinem:

$\sqrt{2}=\sqrt[2]{2}=\sqrt[2\cdot 6]{2^{6}}=\sqrt[12]{2^{6}}=\sqrt[12]{64}$ (il ridicam la puterea a 6 deoarece 12:2=6, adica c.m..m.m.c impartit la ordinul radicalului da numarul cu care trebuie inmultit atat ordinul radicalului car si la ce putere trebuie ridicat numarul de sub radical)

Urmatorul radical

$\sqrt[3]{3}=\sqrt[4\cdot 3]{3^{4}}=\sqrt[12]{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt[12]{81}$

Rationamentul este ca mai sus adica 12:3=4

Iar acum ultimul radical obtinem $\sqrt[4]{4}=\sqrt[3\cdot 4]{4^{3}}=\sqrt[12]{4\cdot 4\cdot 4}=\sqrt[12]{64}$

Astfel am obtinut radicalii $\sqrt[12]{64}, \sqrt[12]{81}\sqrt[12]{64}$

Observam ca $\sqrt[12]{64}=\sqrt[12]{64}$ , adica $\sqrt[2]{2}=\sqrt[4]{4}$ , adica $\sqrt{2}=\sqrt[4]{4}$

Adica obtinem ordonarea crescatoare:

$\sqrt{2}=\sqrt[4]{4}<\sqrt[12]{81}$ , adica $\sqrt{2}=\sqrt[4]{4}<\sqrt[3]{3}$

Si astfel am comparat radicalii de ordin diferit.

3) Sa se afle care numar din perechile de numere urmatoare este mai mare:

a)
$\\5^{\sqrt{3}}\;\;si\;\; 5^{\sqrt{2,5}}$
b) $\\ \sqrt[11]{6^3}\;\; si\;\; \sqrt[15]{6^7}$

c) $\\ \left(\sqrt{3}\right)^{-6}\;\; si\;\;\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}$

d) $\\ \sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}\;\; si \;\;\;\sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}$

e) $\\2^{-\sqrt{5}}\;\; si\;\; 2^{-\sqrt{3}}$

Rezolvare:

Ca si la exercitiul de mai sus incercam sa scriem radicalii sub forma exponentiala, astfel: $5^{\sqrt{3}}=5^{\frac{1}{3}}$
$5^{\sqrt{2,5}}=5^{\frac{1}{2,5}}=5^{\frac{1}{\frac{25}{10}}}=5^{\frac{1}{\frac{5}{2}}}=5^{\frac{2}{5}}$

Dupa ce am adus radicali la forma exponentiala ridicam la o putere comuna astfel incat sa ne dispara numitorul de la cele doua numere, ca sa putem simplifica:
$\\5^{\frac{1}{3}} \;\; si \;\;5^{\frac{2}{5}} |^{15} \\5^{\frac{1}{3}\cdot 15}=5^{5}$ si
$5^{\frac{2}{5}\cdot 15}=5^{3}$

Am simplificat primul numar prin 3, iar cel de-al doilea prin 5 si astfel am adus cele doua numere la aceeasi baza si dupa cum stim din clasa a V-a, stiind ca avem aceiasi baza comparam exponentii si cum 3 $5^{3}<5^{5} \\5^{\sqrt{3}}>5^{\sqrt{2,5}}$

Urmatorul exercitiu:

$\\ \sqrt[11]{6^3}\;\; si\;\; \sqrt[15]{6^7}$
La fel ca si la exercitiul anterior scriem radicalii sub forma exponentiala astfel:

$\sqrt[11]{6^{3}}=6^{\frac{3}{11}}= \\ \sqrt[15]{6^{7}}=6^{\frac{7}{15}}$

Ridicam la un numar comun ca sa ne dispara numitorul. Trebuie sa fie divizibil si cu 11 dar si cu 5 si 3, astfel numarul ar putea fi 55, dar nu este divizibil cu 3 si astfel, daca calculam cel mai mic multiplu comun al numerelor gasim $\left[11, 15\right]=11\cdot 5\cdot 3=165$

$\sqrt[11]{6^{3}}=6^{\frac{3}{11}}|^{165}=6^{\frac{3}{11}\cdot 165}=6^{3\cdot 5}=6^{15}$
$\sqrt[15]{6^{7}}=6^{\frac{7}{15}}|^{165}=6^{\frac{7}{15}\cdot 165}=6^{7\cdot 11}=6^{77}$

Am ajuns la aceiasi baza asa ca putem compara exponentii:

$6^{15}<6^{77}$ si obtinem $\sqrt[11]{6^{3}}<\sqrt[15]{7}$

Dar acum sa vedem cum putem sa comparam cad avem si un numar negativ:

$\left(\sqrt{3}\right)^{-6}$ si $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}$
In cazul primului numar stim inca din clasele mai mici ca $a^{-1}=\frac{1}{a}$ , dar si $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

Deci obtinem $\left(\sqrt{3}\right)^{-6}=\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^{6}}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}$

De unde obtinem ca cele doua numere sunt egale, adica

$\left(\sqrt{3}\right)^{-6}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{6}$

d) $\\ \sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}\;\; si \;\;\;\sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}$

Gasind cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 si 6 si obtinem $\left[5;6\right]=5\cdot 6=30$

Iar pentru fiecare din numere obtinem:

$\sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}=$

$\sqrt[5\cdot 6]{\left[\left(\frac{7}{8}\right)^{38}\right]^{5}}=$

$\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38\cdot 5}}=$

$\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{190}}$

Acum avem si $\sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}=\sqrt[5\cdot 6]{\left[\left(\frac{7}{8}\right)^{33}\right]^{6}}=\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33\cdot 6}}=\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{198}}$

Astfel avem ca $\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{190}}<\sqrt[30]{\left(\frac{7}{8}\right)^{198}}$ , adica $\sqrt[6]{\left(\frac{7}{8}\right)^{38}}<\sqrt[5]{\left(\frac{7}{8}\right)^{33}}$