Prezentam doua probleme rezolvate in care ne reamintim cum folosim cazurile de congruenta, cum aratam ca doua triunghiuri sunt congruente. Dar trebuie sa ne mai reamintim si cum sa calculam distanta de la un punct la un plan cat si cum sa calculam aria unui triunghi oarecare.

In ABC este triunghiul echilateral cu latura de lungime 6 cm. fie M un punct, m nu apartine planului (ABC),astfel incat MA=MB=MC=10 cm iar MO perpendicular planului(ABC) ,O apartine planului (ABC).

A) Demonstrati ca triunghiul \Delta MOA\equiv\Delta MOB\equiv\Delta MOC

B) Calculati distanta de la punctul M la punctul planului (ABC)

Demonstratie:
congruneta triunghiurilor

a). Stim ca
[MA]\equiv[MC] (din ipoteza)
[MO]\equiv[MO] (latura comuna)
Stim ca AP si AQ sunt mediane, mediatoare si inaltimi, deci stim ca AP este inaltime in triunghiul echilateral ABC si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este AP=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

Dar stim ca AP este si mediana si cum stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la 2/3 fata de varf si 1/3 fata de baza.
Deci obtinem: AO=\frac{2}{3}\cdot AO=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\;\; cm
La fel calculam si CO=\frac{2}{3}\cdot CP=\frac{2}{3}\cdot AP=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\;\; cm
Deoarece medianele intr-un triunghi echilateral sunt congrunete.
Deci obtinem si ca [AO]\equiv[CO]
Deci cu cazul de congruenta L.L.L \Delta MOA\equiv\Delta MOC
Tot din ipoteza stim si ca [MA]\equiv[MC]\equiv[MB] MO latura comuna

Dar si [AO]\equiv[BO]\equiv[CO]
Si cu cazul de congruneta L.L.L \Delta MOA\equiv\Delta MOC\equiv\Delta MOB

b) Distanta de la d\left(M,(ABC)\right)=MO, deci distanta de la un punct la un plan este piciorul perpendicularei din punctul dat pe plan.
Iar in cazul triunghiului echilateral distanta de la un punct la un plan este punctul de intersectie al inaltimilor triunghiului echilateral, adica MO, dar din ipoteza stim si ca MO\perp (ABC)
Acum sa aflam MO

In triunghiul MAO aplicam Teorema lui Pitagora m\left(\widehat{MOA}\right)=90^{0}
MO^{2}=MA^{2}-AO^{2}\Rightarrow MO^{2}=10^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow MO^{2}=100-12\Rightarrow MO=\sqrt{88}\Rightarrow MO=2\sqrt{22}\;\; cm
distanta e la un punct la un plan

2. In triunghiul ABC, AB= 10 cm, BC = 16 cm, inaltimea AD= 8 cm. Calculati aria triunghiului.
cum calculam aria unui triunghi oarecare
Stim de la definitia ariei unui triunghi oarecare ca A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 8}{2}=\frac{128}{2}=64\;\; cm^{2}
Iar cei care nu va mai reamintiti click aici.