Ne place matematica !

Ecuatii si inecuatii exponentiale

Dupa ce am invatat despre functiile logaritimice si functiile exponentiale, astazi o sa vorbim despre ecuatii si inecuatii exponentiale.

Incepem cu ecuatiile exponentiale:

Ecuatiile exponentiale sunt ecuatiile in care necunoscuta este exponent.

Probabil ca despre ecuatii exponentiale ati ma invatat si in gimnaziu, dar nu ati stiut ca sunt ecuatii exponentiale. Propun sa rezolvam cateva ecuatii in care sa stim care modalitatile de rezolvare:

1) Sa se rezole ecutiile:
a 2^{2x}=64  \\2^{2x}=2^{6}\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am scris numarul 64 in baza 2 si astfel gasim 64=2^{6}, dupa ce am adus ambele parti la aceiasi baza, egalam exponetii si rezolvam ecautia asa cum stiam inca din clasele mai mici.

b) 5^{x^{2}-x-2}=625  \\5^{x^{2}-x-2}=5^{4}  \\x^{2}-x-2=4 \Rightarrow x^{2}-x-6=0  \\\Delta=b^{2}-4\cdot a \cdot c=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)  \\\Delta= 1+24  \\\Delta=25  \\x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1+5}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3  \\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1-5}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2
Am gasit solutiiile ecuatiei.
Ca sa rezlvam ecuatia de mai sus  am adus numarul 625 la aceiasi baza ca si membrul stang, iar apoi am egalat exponentii, obtinand o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o cum am invatat in clasele mai mici.

c) 3^{2\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus notam 3^{x}=y si obtinem
\left(3^{x}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0    \\y^{2}-4y+3=0  \\\Delta=16-4\cdot 3  \\\Delta=16-12  \\\Delta=4  \\y_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3  \\y_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1
Cum stim ca am notat 3^{x}=y obtinem
3^{x}=3\Rightarrow x=1  \\3^{x}=1\Rightarrow x=0
Dupa ce am facut substiutia am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o iar solutiile pe care le-am gasit le-am inlocuit in substitutia pe care am facut-o si astfel am gasit solutiile ecuatiei.

Inecuatiile exponentiale

Rezolvarea inecuatilor exponentiale se bazeaaza pe proprietatile de monotonie ale functiilor exponentiale. Stiti ca functiile exponetiale sunt crescatoare cand au bazele supraunitare si descrescatoare cand bazele sunt subunitare.
Exemplu:

2) Sa se rezolve inecuatiile:
a) 2^{x}>8
Inecutia de mai sus putem sa o scriem 2^{x}>2^{3}, iar daca studiem monotonia functiei f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2^{x} obtinem ca functia este crescatoare, deoarece baza este mai mare decat 1. Si astfel obtinem: x>3