Un exercitu rezolvat de urgenta pentru un prieten Mate Pedia
Exercitiul de rezolvat:
1. Pe R se definesc legile de compozitie „x” si „o” astfel:
x*y=x+y-6
xoy=xy-6x-6y+42
a.) Rezolvati ecuatia xox=36*1
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai calculam
Observati ca pentru a calcula am folosit prima lege de compozitie, iar x a luat valoarea lui x, iar cel de-al doilea x a luat valoarea lui y
Dar calculam si
Mai sus am folosit cea de-a doua lege de compozitie, unde x ia valoarea lui 36 si 1 valoarea lui y
Acum ecuatia devine:
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al doilea si calculam
Si obtinem
Dar si
b.) Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa
Ca sa aratam ca legea de compozitie este comutativa calculam
Adica: x*y=x+y-6
Stim ca adunarea numerelor reale este comutativa si astfel obtinem ca legea de compozitie de mai sus este comutativa.
c.) Determinati elementul neutru al legii de compozitie „*”
Stim ca si trebuie sa calculam
Cum legea de compozitie este comutativa este suficient sa calculam doar
La fel obtinem si pentru
Deci obtinem ca elementul neutru al legii de compozitie este 6.
d.) Gasiti simetricul lui 2014 in raport cu legea de compozitie „*”
Ca sa gasim simetricul lui 2014, notam simetricul sau cu x si calculam:
x*2004=e unde e este elementul neutru al legii de compozitie.
Si obtinem: x=-2002
Si astfel am obtinut ca simetricul lui 2014 este -2002
si dupa cum am spus si mai sus este suficient sa calculam:
e.) Demonstrati ca xo(y*z)=(xoy)*(xoz) oricare ar fi x,y,z apartin lui R.
Solutie:
Acum trebuie sa demonstram distributivitatea celei de-a doua legi in functie de prima. Astfel calculam mai intai (1)
Observati ca mai sus am folosit ambele legi.
Iar acum calculam:
Dar si
Si acum: (2)
Din (1) si (2) observam ca cele doua relatii se verifica.