Functii injective. Functii surjective. Functii bijective

Dupa ce am invatat notiunea de functie inca din clasa a VIII-a, (cum am definit-o, cum sa calculam graficul unei functii si asa mai departe )acum o sa invatam despre functii injective, functii surjective si functii bijective.

Incepem cu functiile injective

Fie A si B doua multimi nevide

Def:O functie $f:A\rightarrow B$ se numeste injectiva (injectie) daca $\forall x_{1}, x_{2}\in A, x_{1}\neq x_{2}$ avem $f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)$

Observatie: Faptul ca f este injectiva mai poate fi exprimat si astfel:

1) daca $x_{1}$ si $x_{2}$ sunt elemente oarecare din A cu proprietatea ca $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ , atunci rezulta ca $x_{1}=x_{2}$

2) Functia $f:A\rightarrow B$ este injectiva daca $\forall y\in B$ ecuatia $f\left(x\right)=y$ are cel mult o solutie $x\in A$ .

Functii surjective

Def: O functie $f:A\rightarrow B$ este o functie surjectiva (surjectie) daca pentru oricare $y\in B$ exista $ cel putin un $x\in A$ astfel incat $f\left(x\right)=y$

Observatie: O functie $f:A\rightarrow B$ este o functie surjectiva, daca $\forall y\in B$ ecuatia $f\left(x\right)=y$ are cel putin o solutie $x\in A$ .

Functii bijective

Def: O functie $f:A\rightarrow B$ care este simultan si injectiva, dar si surjectiva se numeste bijectiva (bijectie).

Exemplu:

1) Fie functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+3$ sa se arate ca f este bijectie.

Solutie: Pentru a arata ca functia este bijectiva aratam mai intai ca functia f este injectiva si surjectiva.

Injectia: $\forall x_{1}, x_{2}\in A$ fie $x_{1}\neq x_{2}$ trebuie sa obtinem ca $f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)$

Astfel obtinem: $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow 2x_{1}+3-2x_{2}-3=2\left(x_{1}-x_{2}\right)\neq 0$ deci f este injectiva.

Surjectivitatea

Fie $y\in R$ exista cel putin un $x\in R$ astfel incat $f\left(x\right)=y\Rightarrow 2x+3=y\Rightarrow 2x=y-3\Rightarrow x=\frac{y-3}{2}$ . Deci $\forall \in R \exists x=\frac{y-3}{2}\in R$ si astfel obtinem ca f este surjectiva.

Cum f este simultan si injectiva si surjectiva rezulta ca f este bijectiva.

2) Sa se arate ca functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-5x+2$ este inversabila si sa i se determine inversa.

Ca sa aratam ca o functie este inversabila trebuie sa stim ce inseamna.

Def: O functi $f: A\rightarrow B$ se numeste inversabila daca exista o functie $g:B\rightarrow A$ astfel incat $g\circ f= 1_{A}$ si $f\circ g=1_{B}$ . Functia g, daca exista este unica si se numeste inversa functiei f si se noteaza $f^{-1}$ .

Teorema: O functie $f:A\rightarrow B$ este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Ca sa aratam ca este inversabila aratam ca functia este bijectiva, astfel aratam mai intai ca functia este injectiva:

Fie $x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+2-\left(-5x_{2}+2\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+5x_{2}+2-2\neq 0\Rightarrow 5\left(x_{2}-x_{1}\right)\neq 0$ deci f este injectie

Sau mai putem arata ca f este injectie astfel:

Fie $x_{1}, x_{2}\in R$ cu proprietatea ca $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ sa rezulte ca $x_{1}=x_{2}$ aratam ca:

$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\Rightarrow -5x_{1}+2=-5x_{2}+2\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ , deci f este injctie.

Surjectivitatea:

Fie $y\in R, f\left(x\right)=y$

$\Rightarrow -5x+2=y\Rightarrow -5x=y-2$

$\Rightarrow x=\frac{y-2}{-5}\Rightarrow x=\frac{2-y}{5}$ .

Deci f este injectiva, surjectiva si astfel rezulta ca f este bijectiva.

Cu teorema pe care am enuntat-o mai sus, daca o functie este bijectiva rezulta ca functia este inversabila, iar inversa sa este $f^{-1}=\frac{2-y}{5}$ .