Dupa ce am invatat notiunea de functie inca din clasa a VIII-a, (cum am definit-o, cum sa calculam graficul unei functii si asa mai departe )acum o sa invatam despre functii injective, functii surjective si functii bijective.
Incepem cu functiile injective
Fie A si B doua multimi nevide
Def:O functie $latex f:A\rightarrow B$ se numeste injectiva (injectie) daca $latex \forall x_{1}, x_{2}\in A, x_{1}\neq x_{2}$ avem $latex f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)$
Observatie: Faptul ca f este injectiva mai poate fi exprimat si astfel:
1) daca $latex x_{1}$ si $latex x_{2}$ sunt elemente oarecare din A cu proprietatea ca $latex f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$, atunci rezulta ca $latex x_{1}=x_{2}$
2) Functia $latex f:A\rightarrow B$ este injectiva daca $latex \forall y\in B$ ecuatia $latex f\left(x\right)=y$ are cel mult o solutie $latex x\in A$.
Functii surjective
Def: O functie $latex f:A\rightarrow B$ este o functie surjectiva (surjectie) daca pentru oricare $latex y\in B$ exista $ cel putin un $latex x\in A$ astfel incat $latex f\left(x\right)=y$
Observatie: O functie $latex f:A\rightarrow B$ este o functie surjectiva, daca $latex \forall y\in B$ ecuatia $latex f\left(x\right)=y$ are cel putin o solutie $latex x\in A$.
Functii bijective
Def: O functie $latex f:A\rightarrow B$ care este simultan si injectiva, dar si surjectiva se numeste bijectiva (bijectie).
Exemplu:
1) Fie functia $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+3$ sa se arate ca f este bijectie.
Solutie: Pentru a arata ca functia este bijectiva aratam mai intai ca functia f este injectiva si surjectiva.
Injectia: $latex \forall x_{1}, x_{2}\in A$ fie $latex x_{1}\neq x_{2}$ trebuie sa obtinem ca $latex f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)$
Astfel obtinem: $latex f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow 2x_{1}+3-2x_{2}-3=2\left(x_{1}-x_{2}\right)\neq 0$ deci f este injectiva.
Surjectivitatea
Fie $latex y\in R$ exista cel putin un $latex x\in R$ astfel incat $latex f\left(x\right)=y\Rightarrow 2x+3=y\Rightarrow 2x=y-3\Rightarrow x=\frac{y-3}{2}$. Deci $latex \forall \in R \exists x=\frac{y-3}{2}\in R$ si astfel obtinem ca f este surjectiva.
Cum f este simultan si injectiva si surjectiva rezulta ca f este bijectiva.
2) Sa se arate ca functia $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-5x+2$ este inversabila si sa i se determine inversa.
Ca sa aratam ca o functie este inversabila trebuie sa stim ce inseamna.
Def: O functi $latex f: A\rightarrow B$ se numeste inversabila daca exista o functie $latex g:B\rightarrow A$ astfel incat $latex g\circ f= 1_{A}$ si $latex f\circ g=1_{B}$. Functia g, daca exista este unica si se numeste inversa functiei f si se noteaza $latex f^{-1}$.
Teorema: O functie $latex f:A\rightarrow B$ este inversabila daca si numai daca este bijectiva.
Ca sa aratam ca este inversabila aratam ca functia este bijectiva, astfel aratam mai intai ca functia este injectiva:
Fie $latex x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+2-\left(-5x_{2}+2\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+5x_{2}+2-2\neq 0\Rightarrow 5\left(x_{2}-x_{1}\right)\neq 0$ deci f este injectie
Sau mai putem arata ca f este injectie astfel:
Fie $latex x_{1}, x_{2}\in R$ cu proprietatea ca $latex f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ sa rezulte ca $latex x_{1}=x_{2}$ aratam ca:
$latex f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\Rightarrow -5x_{1}+2=-5x_{2}+2\Rightarrow x_{1}=x_{2}$, deci f este injctie.
Surjectivitatea:
Fie $latex y\in R, f\left(x\right)=y$
$latex \Rightarrow -5x+2=y\Rightarrow -5x=y-2$
$latex \Rightarrow x=\frac{y-2}{-5}\Rightarrow x=\frac{2-y}{5}$.
Deci f este injectiva, surjectiva si astfel rezulta ca f este bijectiva.
Cu teorema pe care am enuntat-o mai sus, daca o functie este bijectiva rezulta ca functia este inversabila, iar inversa sa este $latex f^{-1}=\frac{2-y}{5}$.
