Prezentam exercitii rezolvate in care studiem paritatea functiilor, dar prezentam si notiuni teoretice despre Functii periodice

1) Studiati care din urmatoarele functii sunt pare, care sunt impare si care sunt fara paritate:

a) $latex f\left(x\right)=x^{3}-2x$

b) $latex f\left(x\right)=x^{2010}-3x^{2008}$

c) $latex f\left(x\right)=x^{4}-x$

d) $latex f\left(x\right)=x|x|$

Solutie

a) R fiind o multime simetrica fata de origine, calculam

$latex f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{3}-2\cdot\left(-x\right)=-x^{3}+2x=-\left(x^{3}+2x\right)=-f\left(x\right)$

Deci functia f este impara

b) Calculam

$latex f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2010}-3\left(-x\right)^{2008}=x^{2010}-3x^{2008}=f\left(x\right)$

deci functia este para.

c) Calculam

$latex f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{4}-\left(-x\right)=x^{4}+x\neq f\left(x\right)\neq -f\left(x\right)$

Deci functia nu este nici para nici impara si astfel observam ca functia nu are paritate.

d) $latex f\left(-x\right)=-x\cdot |-x|=-x\cdot x=-f\left(x\right)$

Si astfel gasim ca functia este impara.

Functii periodice

O functie $latex f:D\rightarrow R, D\subset R$ se numeste periodica, daca exista $latex T\neq 0$ astfel incat $latex x+T\in D$ si $latex f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ pentru oricare $latex x\in D$.

Observatie

Numarul T se numeste perioada pentru f.

Cea mai mica perioada daca exista se numeste perioada principala.

Exemple:

2) Aratati daca urmatoarele functii sunt periodice specificand de fiecare data perioada lor principala:

a) $latex f:Z\rightarrow Z, f\left(n\right)=\left(-1\right)^{n}$

b) $latex f:N\rightarrow N, f\left(n\right)=$ ultima cifra a lui $latex 9^{n}$

c) $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left\{x\right\}$

Solutie:

a) Punem conditia ca

$latex f\left(n+T\right)=f\left(n\right)\Rightarrow$

$latex f\left(n+T\right)=\left(-1\right)^{n+T}=f\left(n\right)

\\ \left(-1\right)^{n+T}=\left(-1\right)^{n}\Rightarrow \left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{T}=\left(-1\right)^{n}$

Deci T trebuie sa fie o putere para astfel incat sa ne ramana  decat $latex f\left(n\right)$, astfel pentru T=2, obtinem:

$latex f\left(n+2\right)=\left(-1\right)^{n+2}=\left(-1\right)^{n}$.

Observam ca $latex T=2\neq 0$, dar si $latex n+2\in Z$ si $latex f\left(n+2\right)=f\left(n\right)$.

b) Calculam:

$latex f\left(n+T\right)=U\left(9^{n+T}\right)$

Si punem conditia ca $latex f\left(n+T\right)=f\left(n\right)$

$latex U\left(9^{n+T}\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow

U\left(U\left(9^{n}\right)\cdot U\left(9^{T}\right)\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow

U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left[U\left(9\right)^{T}\right]=U\left(9^{n}\right)$

Astfel trebuie sa gasim T astfel incat $latex f\left(n+T\right)=f\left(n\right)$ pentru T=2 obtinem:

$latex U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left[U\left(9\right)^{2}\right]=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow

U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left(81\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow

U\left(9\right)^{n}\cdot 1=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow f\left(n+2\right)=f\left(n\right)$

Deci pentru T=2 $latex f\left(n+T\right)=f\left(n\right)$.

Am gasit $latex T\neq 0$ astfel incat $latex n+T=n+2\in N$

c)$latex f\left(x\right)=\left\{x\right\}$

Fie $latex x+T\in R$ si

$latex f\left(x+T\right)=f\left(x\right)\Rightarrow

\left\{x+T\right\}=\left\{x\right\}$

Astfel avem

$latex \left\{x+T\right\}=\left\{x\right\}\Rightarrow

\\ \left\{x\right\}=\left\{x\right\}$

Deci pentru T=1 se verifica 1 fiind si perioada principala.