Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Observati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie.

Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.

Astfel stim ca $latex ABCD$ trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca $latex EF=\frac{B+b}{2}=\frac{AB+CD}{2}$ unde AB este baza mare si CD- baza mica.

Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.

ABCD trapez, EF linie mijlocie
$latex AC\cap BD=\left\{O\right\}$
Rezulta ca $latex GH=\frac{|AB-CD|}{2}$

Problema!
1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD $latex \left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}$ se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza:

ABCD trapez dreptunghic
AB|| CD, AB>CD
$latex \left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}$
PQ=8 cm
Concluzie:
AB=?
CD=?
$latex P_{\Delta ABC}=?$
Demonstratie!

 Stim din ipoteza ca PQ= 8 cm

Conform teoremei de mai sus avem ca: $latex PQ=\frac{AB-CD}{2}\Rightarrow AB-CD=16 cm\Rightarrow BE=16 cm$, Deoarece stim ca $latex AB=AE+EB\Rightarrow EB=AB-AE$ si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca $latex DC= 16 cm$

Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are $latex 60^{0}$, mai stim si ca unghiul E este de $latex 90^{0}$, si astfel gasim ca unghiul ECB este de $latex 30^{0}$ si astfel aplicam teorema $latex 30^{0}-60^{0}-90^{0}$, astfel obtinem ca $latex EB=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot EB=BC\Rightarrow BC=2\cdot 16 cm\Rightarrow BC=32 cm$

In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca $latex m\left(\prec B\right)=60^{0}$, deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.

Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica.
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem $latex 16=AE+8\Rightarrow AE=32-16\Rightarrow AE=16 cm$
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel $latex AE=DC$.
Deci DC=16 cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.

Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem:
$latex P_{\Delta ABC}=3\cdot l=3\cdot 32=96 cm$.