Ne place matematica !

Linia mijlocie in triunghi

Linia mijlocie in triunghi joaca un rol important in rezolvarea problemelor.

Dupa cum bine stiti am invatat si in clasa a VI-a despre linia mijlocie intr-un triunghi. Astfel ne reamintim notiunea de linie mijlocie intr-un triunghi.

Definitie:  Se numeste linia mijlocie intr-un triunghi segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi.
Definim urmatoarele proprietati care ne ajuta sa rezolvam problemele:
Proprietati:
1. Linia mijlocie intr-un triunghi este paralela cu cea de-a treia latura.
2. Intr-un triunghi, lungimea liniei mijlocii este egala jumatate din lungimea celei de-a treia laturi.

Matematic scriem

cum folosim linia mijlocie intr-un triunghi

cum folosim linia mijlocie intr-un triunghi

\Delta ABC  \\ M\in AM, \left[AM\right]\equiv\left[MB\right]  \\ N\in AC, \left[AN\right]\equiv\left[NC\right]\Rightarrow \\MN||BC  \\ MN=\frac{1}{2}\cdot BC
Problema
1) In triunghiul dreptunghic ABC m\left(\prec a\right)=90^{0} si m\left(\prec C\right)=30^{0} se duce mediana AM, M\in \left(BC\right). Stiind ca BD\perp AM, D\in \left(AC\right) si CE\perp AM, E\in \left(AM\right) aratati ca:
ME=\frac{1}{3}AE si 4ME=BC
Demonstratie:

demonstrarea unor egalitati cu ajutorul liniei mijlocii
Stim inca din clasa a VI-a teorema Medianei (Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza), deci in cazul nostru AM=\frac{1}{2}\cdot BC, dar in triunghiul ABC putem sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci AB=\frac{1}{2}\cdot BC

Deci din Teorema Medianei obtinem ca AM=BM, si cum in triunghiul ABM unghiul B este de 60^{0} obtinem ca triunghiul ABM este echilateral.

Notam cu \left\{O\right\}=BD\cap AM

Stim ca BO este inaltime in triunghiul echilateral ABC, rezulta deci cu proprietatea de la triunghiul echilateral ca BO este si mediana (intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid) deci obtinem ca OA=OM.

Stim ca triunghiul MEC este dreptunghic in E, observam ca unghiul EMC este de 60 de grade si astfel obtinem ca unghiul ECM este de 30^{0} si astfel putem aplica  Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci ME=\frac{1}{2}\cdot MC

Observam ca triunghiul

\Delta BMO\equiv\Delta MEC

\left[BM\right]\equiv\left[MC\right]    \\ \prec BMO\equiv\prec CME    \\ \prec OBM\equiv \prec ECM

Rezulta deci cu cazul U.L.U ca triunghiurile sunt congruente deci obtinem ca

OM=ME si astfel ME=\frac{1}{2}\cdot AM

Stim ca

ME=\frac{1}{2}MC\Rightarrow 2ME=MC    \\ ME=\frac{1}{2}AM

Daca adunam cele doua relatii obtinem:

2ME=\frac{1}{2}\left(MC+AM\right)\Rightarrow 2ME=\frac{1}{2}\left(2ME+AM\right)\Rightarrow    4ME=2ME+AM\Rightarrow 4ME-2ME=AM\Rightarrow 2ME=AM\Rightarrow 2ME=AE-ME\Rightarrow 3ME=AE\Rightarrow ME=\frac{AE}{3}
Observatie: Am scris AE=AM+ME de aici am obtinut AM=AE-ME

Acum sa aratam ca BC=4ME
Stim ca BC=BM+MC
Dar mai stim si ca BM=MC=AM
Deci scriem BC=AM+AM, obtinem BC=2AM (*)
Stim din figura ca AM=AE-ME (**)
Din ce am demonstrat mai sus stim ca ME=\frac{AE}{3}\Rightarrow AE=3ME
Daca inlocuim in (**) obtinem:
AM=3ME-ME\Rightarrow AM=2ME
Acum daca inlocuim in (*) obtinem BC=2AM=2\cdot 2ME=4ME ceea ce trebuia sa demonstram.