Ne place matematica !

Notiunea de grup Exemple

Foarte important pentru examenul de Bacalaureat este notiunea de grup. Poate ati vazut ca la Variantele pentru Bacalaureat apar tot timpul exercitii cu grupuri, morfisme de grupuri inele sau corpuri, dar acum  vorbim despre grupuri:

Fie G o multime nevida si  "\ast" o lege de compozitie pe G. Spunem ca \left(G,"\ast"\right)  este grup daca legea ""\ast" este asociativa, are element neutru si orice element din G este simetrizabil in raport  cu "\ast". Daca in plus legea de compozitie este si comutativa atunci \left(G,'\ast\right) se numeste grup abelian sau grup comutativ.

Exemplu cu notiunea de grup :

Pe R se defineste legea de compozitie '' \ast''  astfel:

x\ast y=x+y-xy, pentru orice x, y elemente din multimea numerelor reale

a) Sa se arate ca \ast este asociativa, comutativa si are element neutru. Sa se determine elementele simetrizabile.

b) Daca x\in R sa se arate ca \underbrace{x\ast x\ast x\ast......\ast x}_{n ori}=1-\left(1-x\right)^{n}, \forall n\in N^{*}

Solutie

Aratam ca \ast este asociativa adica

x\ast\left(y\ast z\right)=\left(x\ast y\right)\ast z

Mai mult

x\ast\left(y\ast z\right)=x\ast\left(y+z-yz\right)=x+y+z-yz-x\left(y+z-yz\right)=x+y+z-yz-xy-xz+xyz (1)

Acum aratam

\left(x\ast y\right)\ast z=\left(x+y-xy\right)\ast z=x+y-xy+z-\left(x+y-xy\right)\cdot z=x+y-xy+z-zx-zy+zxy=x+y+z-xy-zx-zy+zxy (2)

Din (1) si (2) rezulta ca legea de compozitie este asociativa.

Acum incercam sa gasim elementul neutru al legii de compozitie

x\ast e=e\ast x=x\forall x\in R

Calculam mai intai x\ast e=x,\forall x\in R\Rightarrow x+e-xe=x, \forall x\in R

\\ \Rightarrow e\left(1-x\right)=x-x, \forall x\in R\Rightarrow e\left(1-x\right)=0\Rightarrow e=0

Calculam acum e\ast x=x\Rightarrow e+x-ex=x

\Rightarrow e-ex=x-x

\Rightarrow e\left(1-x\right)=0 \Rightarrow e=0

Deci elementul neutru al legii de compozitie este 0.

Aratam ca legea de compozitie este comutativa adica:

x\ast y=y\ast x\forall x,y\in R\Rightarrow x+y-xy=y+x-yx,\forall x\in R adevarat deci legea de compozitie este comutativa

Mai avem sa gasim elementele simetrizabile:

Elementele simetrizabile sunt:
U\left(R\right)=\left\{x\in R|\exists x'\in R\;\; cu\;\;x\ast x'=x'\ast x=e\right\}

Deci obtinem:

x\ast x'=e\Rightarrow x+x'-xx'=0,  $latex\forall x\in R, x’\left(1-x\right)=-x\Rightarrow x’=\frac{-x}{1-x}\Rightarrrow x’=\frac{x}{x-1}$

Din comutativitate stim ca x\ast x'=x'\ast x

Daca x=1 obtinem x'\left(1-1\right)=-1\Rightarrow x'\cdot 0=-1, fals deci U\left(R\right)=R-\left\{-1\right\}

Deci x\neq 1 si x'=\frac{x}{x-1}\neq 1 sunt elementele simetrizabile.

Deci am aratat ca legea de compozitie indeplineste toate conditiile ca sa fie un grup abelian.

Important sa invatam cum sa aratam ca  o lege de compozitie este asociativa, comutativa, are element neutru, dar si element simetrizabil.