Prisma regulata

Dupa ce am invatat sa calculam Aria laterala, Aria totala si volumul unei Prisme drepte, Paralelipipedului dreptunghic dar si a Cubului, a venit vremea sa discutam despre Prisma regulata.
Incepem prin a defini notiunea de Prisma regulata:
Definitie: Se numeste prisma regulata prisma dreapta cu baza poligon regulat.
Incepem prin a invata sa calculam Aria laterala, Aria totala si volumul unor cazuri particulare de prisme:
Prisma patrulatera regulata este prisma dreapta cu baza un patrat.
Notam cu:
– $P_{b}$ – perimetrul bazei prismei
– $A_{b}$ – aria bazei prismei
– $A_{l}$ – aria laterala a prismei
– $A_{t}$ – aria totala a prismei
– $V$ – volunul prismei
– l lungimea laturii poligonului regulat de baza
– h inaltimea prismei

$P_{b}=4\cdot l=4l$
$A_{b}=l^{2}$
$A_{l}=P_{b}\cdot h=4l\cdot l=4lh$
$A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=4lh+2l^{2}=2l\left(2h+l\right)$
$V=A_{b}\cdot h=l^{2}\cdot h$ .
Prisma triunghiulara regulata este prisma dreapta care are baza un triunghi echilateral.

$P_{b}=3\cdot l=3l$
$A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$
$A_{l}=P_{b}\cdot h=3l\cdot l=3lh$
$A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=3lh+2\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$
$V=A_{b}\cdot h=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h$ .
Problema
Prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’ are $AB=12\sqrt{}3 cm$ si $AA’18 cm$.
Calculati aria totala si volumul

Demonstratie
Stim ca
$l=12\sqrt{3}cm$
si h=18 cm
Calculam aria laterala mai intai
$A_{l}=p_{b}\cdot h=3\cdot 12\sqrt{3}\cdot 18=648\sqrt{3}cm^{2}$
Acum aria totala
$A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=648\sqrt{3}+2\cdot\frac{\left(12\sqrt{3}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=648\sqrt{3}+2\frac{144\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=648\sqrt{3}+2\frac{36\cdot 3\sqrt{3}}{1}=648\sqrt{3}+216\sqrt{3}=864\sqrt{3}cm^{2}$ .
Iar acum volumul
$V=A_{b}\cdot h=108\sqrt{3}\cdot 18=1944\sqrt{3}$
Aria bazei am aflat-o cu formula pe care o stiam inca din clasa a VII-a de la triunghiul echilateral, astfel avem:
$A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(12\sqrt{3}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{144\cdot 3\sqrt{3}}{4}=\frac{432\sqrt{3}}{4}^{(4}=108\sqrt{3}$ .
2) Prisma dreapta ABCDA’B’C’D’ are baza patratul ABCD cu latura 4 cm , iar diagonala BD’ face cu planul $\left(A'AD\right)$ un unghi cu masura de 30 de grade. Determinati:
a) lungimea inaltimii prismei
b) volumul prismei
c) aria laterala a prismei

Demonstratie:

Cum stim ca latura bazei este de 4 cm, iar baza este patrat, AC diagonala in patratul ABCD, deci $AC=l\sqrt{2}=4\sqrt{2}=BD$ , mai stim ca $m\left(\widehat{DBD'}\right)=30^{0}$ , observam de asemenea ca $m\left(\widehat{BDD'}\right)=90^{0}$ , cum triunghiul BDD’ este dreptunghic, aplicam functiile trigonometrice
$\cos\widehat{DBD'}=\frac{BD}{BD'}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{4\sqrt{2}}{BD'}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{BD'}\Rightarrow BD'\sqrt{3}=4\sqrt{2}\cdot 2\Rightarrow BD'=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow BD'=\frac{8\sqrt{6}}{3}$ .
Iar acum aplicam $\sin 30^{0}$ , astfel gasim ca
$\sin\widehat{DBD'}=\frac{DD'}{BD'}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{DD'}{\frac{8\sqrt{6}}{3}}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{DD'}{\frac{8\sqrt{6}}{3}}\Rightarrow DD'=\frac{8\sqrt{6}}{3\cdot 2}\Rightarrow DD'=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ .
Sau putem aplica tangenta de 30 de grade
$\tan\widehat{DBD'}=\frac{DD'}{BD}\Rightarrow \tan 30^{0}=\frac{DD'}{4\sqrt{2}}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{DD'}{4\sqrt{2}}\Rightarrow DD'=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow DD'=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ .
b) Volumul prismei
$V=A_{b}\cdot h=4^{2}\frac{4\sqrt{6}}{3}=16\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{64\sqrt{6}}{3} cm^{3}$ .
c) $A_{l}=P_{b}\cdot h=4\cdot 4\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{64\sqrt{6}}{3}cm^{2}$

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii