Prezentam o problema rezolvata

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

In triunghiul isoscel ABC cu $latex \left[AB\right]=\left[AC\right]$ , masura unghiului $latex m\left(\prec BAC\right)= 36^{0}$ . Fie $latex \widehat{ABD}\equiv\widehat{CBD}$ , unde $latex D\in \left[AC\right]$ .Aratati ca triunghiul BCD este isoscel.

Demonstratie:

Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel, dar mai stim si ca unghiul BAC are masura de $latex 36^{0}$, mai stim ca intr-un triunghi isoscel unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica $latex m\left(\widehat{ABC}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=x$ deci avem ca
$latex m\left(\widehat{BAC}\right)+m\left(\widehat{ABC}\right)+m\left(\widehat{ACB}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+x+x=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+2x=180^{0}\Rightarrow 2x=180^{0}-36^{0}\Rightarrow x=\frac{144^{0}}{2}=72^{0}$, deci am gasit ca
$latex m\left(\widehat{ABC}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=72^{0}$.

Mai stim si din ipoteza ca $latex \widehat{ABD}\equiv\widehat{CBD}$, adica
$latex m\left(\widehat{ABD}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=\frac{m\left(\widehat{ABC}\right)}{2}=\frac{72^{0}}{2}=36^{0}$.

Observam ca triunghiul ABD este isoscel de baza AB (este isoscel deoarece unghiurile alaturate bazei sunt congruente, conform proprietatii triunghiului isoscel)

Deci putem afla masura unghiului ADB
$latex m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ABD}\right)+m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+36^{0}+m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}-72^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ADB}\right)=108^{0}$.

Acum ca stim ca masura unghiului ADB este de 108 grade putem afla masura unghiului BDC
$latex 180^{0}=m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow 180^{0}=102^{0}+m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow 180^{0}-108^{0}=m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{BDC}\right)=72^{0}$.

Deci observam ca $latex \widehat{CDB}\equiv\widehat{BCD}\Rightarrow$ triunghiul BCD isoscel (deoarece conform proprietatii triunghiului isoscel: Daca un triunghi are doua unghiuri congruente atunci triunghiul este isoscel).