Probleme rezolvate cu functiile trigonometrice

Prezentam o problema pe care o rezolvam cu ajutorul functiilor trigonometrice, dar si probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Rombul ABCD are latura AB=10 cm .Daca tg unghiului $\tan\widehat{BAC}=\frac{3}{4}$ ,determinati lungimile diagonalelor .

Demonstratie:

Stim ca diagonalele intr-un romb sunt perpendiculare astfel avem ca: $AC\cap BD=\left\{O\right\}$

Dar si $AC\perp BD$

Deci avem ca: $\Delta BAO$ este dreptunghic in O, adica putem aplica functiile trigonometrice

$\tan\widehat{BAC}=\tan\widehat{BAO}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{BO}{AO}\Rightarrow BO=\frac{3}{4}\cdot AO$

Dar cu Teorema lui Pitagora avem ca:

$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow 10^{2}=AO^{2}+\left(\frac{3}{4}\cdot AO\right)^{2}\Rightarrow AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{16}{16}AO^{2}+\frac{9}{16}AO^{2}=100\Rightarrow \frac{25}{16}AO^{2}=100\Rightarrow AO^{2}=100:\frac{25}{16}\Rightarrow AO^{2}=100\cdot\frac{16}{25}\Rightarrow AO^{2}=4\cdot 16\Rightarrow AO=\sqrt{4\cdot 16}=2\cdot 4\Rightarrow AO=8\;\; cm$

Iar $AC=2\cdot AO=2\cdot 8=16$

Iar $BO=\frac{3}{4}\cdot 8=\frac{3\cdot 8}{4}=\frac{24}{4}=6\;\; cm$

Iar $BD=2\cdot BO=2\cdot 6=12\;\; cm$

2. Petre citeste o carte in 3 zile.In prima zi el citeste de 2 ori mai mult decat in a doua zi , iar in a treia zi citeste jumatate din numarul de pagini citite in a doua zi . Cartea are 56 de pagini. Afla cate pagini a citit elevul in fiecare zi.

Solutie:

Notam cu x numarul de pagini citite in a doua zi:

In prima zi citeste: 2x

In a trei zi citeste $\frac{x}{2}$