Ne place matematica !

Probleme rezolvate Unghiul diedru Unghiul plan corespunzator diedrului Unghiul a doua plane

Probleme rezolvate unghiul diedru

Dupa cum bine stiti teoria am prezentat-o intr-un alt articol, acum prezentam Probleme rezolvate Unghiul diedru Unghiul plan corespunzator diedrului Unghiul a doua plane pentru  a intelege mai bine cea ce am spus

1) Pe planul patratului ABCD cu AB=6 cm se ridica pependicularele AA'=3\sqrt{6} si CC'=\sqrt{6}. Calculati masurile diedrelor: a) \left(\prec \prec\left(A'BD\right),\left(ABD\right)\right) b) \left(\prec\left(C'BD\right),\left(CBD\right)\right) c) \left(\prec \left(A'BD\right),\left(C'BD\right)\right)

Demonstratie: Cum calculam unghiul diedru Observam ca BD este muchia comuna celor doua plane deci ducem perpendicularele pe dreapta de intersectie a celor doua plane. Deci \left(A'BD\right)\cap\left(ABD\right)=BD \\AE\perp BD, AE,BD\subset \left(ABD\right) \\A'E\perp BD, A'E, BD\subset \left(A'BD\right)\Rightarrow m\left(\prec\left(ABD\right), \left(A'BD\right)\right)=m\left(\prec AE, A'E\right)=m\left(\prec AEA'\right)= Acum ca sa aflam masura unghiului trebuie sa aflam lungimea laturilor triunghiului care s-a format, astfel: AE este jumatate din diagonala patratului stim ca diagonala intr-un patrat este d_{patrat}=l\sqrt{2}=6\sqrt{2}, iar jumatate din diagonala este AE=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}, cum pe AA’ il stim stim ca triunghiul AA’E este dreptunghic in A, putem sa aplicam functiile trigonometrice, astfel aplicam tangenta unghiului A’EA \tan\prec A'EA=\frac{cat. opusa}{cat. alaturata}=\frac{AA'}{AE}=\frac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\sqrt{3}=60^{0}. b)  \left(\prec\left(C'BD\right),\left(CBD\right)\right)

Ca sa calculam unghiul diedru dintre cele doua plane observam ca intersectia dintre cele doua plane este o dreapta Deci \left(CBD\right)\cap\left(C'BD\right)=BD Astfel ducem perpendiculara din C pe dreapta BD, iar din C’ tot pe dreapta BD si astfel formam unghiul CEC’ Unghiul diedru a doua plane CE\perp BD, CE, BD\subset \left(CBD\right) \\C'E\perp BD, C'E, BD\subset\left(C'BD\right)\Rightarrow \left(\prec\left(C'BD\right),\left(CBD\right)\right)= m\left(\prec C'E, CE\right)=m\left(\prec C'EC\right) Stim din ipoteza ca CC'=\sqrt{6}, CE=3\sqrt{2} si cu triunghiul CC’T este dreptunghic calculam tangenta unghiului C’EC \prec \tan C'EC=\frac{cat. opusa}{cat, alaturata}=\frac{CC'}{CE}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=30^{0} c) m\left(\prec \left(A'BD\right),\left(C'BD\right)\right)= Observam ca BD este muchia comuna celor doua plane,astfel intersectia dintre cele doua plane este \left(A'BD\right)\cap \left(C'BD\right)=BD Ducem acum perpendiculara din A’ pe BD si din C’pe BD unghiul a doua plane Observam ca A'E\perp BD, A'E, BD\subset\left(A'BD\right) \\C'E\perp BD, C'E, BD\subset\left(C'BD\right)\Rightarrow m\left(\prec \left(A'BD\right),\left(C'BD\right)\right)=m\left(\prec A'E, C'E\right)=m\left(\prec A'EC'\right)= Observam ca m\left(\prec AEC\right)=m\left(\prec AEA'\right)+m\left(\prec A'EC'\right)+m\left(\prec C'EC\right)\Rightarrow 180^{0}=60^{0}+m\left(\prec A'EC'\right)+30^{0}\Rightarrow m\left(\prec A'EC'\right)=180^{0}-90^{0}\Rightarrow m\left(\prec A'EC'\right)=90^{0}. Stim ca unghiul AEA’ are masura de 60 de grade din a), iar unghiul C’EC are masura de 30 de grade din punctul b).