Dupa ce am discutat despre Functiile continue intr-un punct, dar si despre continuitatea laterala a venit vremea sa discutam despre Punctele de discontinuitate, deoarece exista si punct de discontinuitate pentru anumite functii.

Astfel discutam despre Puncte de discontinuitate

Fie $latex f:D\rightarrow R$, o functie de variabila reala si $latex x_{0}\in D$.

Definitie: Un punct de discontinuitate $latex x_{0}\in D$ este punct de discontinuitate de prima speta pentru functia f, daca limitele laterale al functiei f in punctul $latex x_{0}$ exista si este finita.

Definitie: Un punct de discontinuitate $latex x_{0}\in D$ este punct de discontinuitate de a doua speta pentru functia f, daca cel putin una din limitele laterale al functiei f in punctul $latex x_{0}$ nu este finita sau nu exista.

Discontinuitatile functiilor monotone

Teorema : Fie $latex f:D\rightarrow R$ o functie monotona pe D si $latex x_{0}\in D$ un punct de discontinuitate pentru functia f, atunci $latex x_{0}$ este punct de discontinuitate de prima speta.

Exemplu:

1) Sa se studieze continuitatea functiei  $latex f: R\rightarrow R$,

$latex f\left(x\right)=2x+1$ pentru $latex x\leq 1$

Si

$latex f\left(x\right)= 3x-1$, pentru $latex x<1$

In punctul $latex x_{0}=1$ avem

$latex f\left(1,-0\right)=\lim\limits_{x\to 1\\x<1}{2x+1}=2\cdot 1+1=2+1=3$

Calculam acum

$latex f\left(1,+0\right)=\lim\limits_{x\to 1\\ x>1}{3x-1}=3\cdot 1-1=3-1=2$

Si calculam

$latex f\left(1\right)=2\cdot 1+1=2+1=3$

Deci

$latex f\left(1,-0\right)=f\left(1\right)\neq f\left(1,+0\right)$

Obsevam ca limitele laterale ale functiei f in punctul $latex x_{0}=1$ exista si sunt  finite, deci $latex x_{0}=1$ este punct de discontinuitate de prima speta.

b) $latex f\left(x\right)=\frac{\sin x}{|x|}$ pentru $latex x\neq 0$

Si

$latex 0$, pnetru  $latex x=0$

Solutie:

In punctul $latex x_{0}=0$ avem:

$latex f\left(0,-0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{\sin x}{-x}}=-\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{\sin x}{x}}=-1$

$latex f\left(0, +0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x>0}{\frac{\sin x}{x}}=1$

Calculam

$latex f\left(0\right)=0$

Stim ca

$latex f\left(0,-0\right)\neq f\left(0,+0\right)\neq f\left(0\right)$

Deci avem discontinuitate in punctul $latex x_{0}=0$ de prima speta, exista limitele laterale si sunt finite.

c) $latex f\left(x\right)=\frac{1}{|x|}$ pentru $latex x\neq 0$

Si

$latex f\left(x\right)=0$, pentru $latex x=0$

In punctul $latex x_{0}=0$ avem:

$latex f\left(0,-0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{1}{-x}}=-\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{1}{x}}=-\frac{1}{0_{-}}=-\left(-\infty\right)=+\infty$

$latex f\left(0, +0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x>0}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{0_{+}}=+\infty$

Acum calculam

$latex f\left(0\right)=0$

Dreapta x=0 este asimptota verticala bilaterala. Rezulta ca punctul $latex x_{0}=0$ este punct de discontinuitate de a doua speta (limitele laterale nu sunt finite).