Ne place matematica !

Puncte de discontinuitate Discontinuitatile functilor monotone

Dupa ce am discutat despre Functiile continue intr-un punct, dar si despre continuitatea laterala a venit vremea sa discutam despre Punctele de discontinuitate, deoarece exista si punct de discontinuitate pentru anumite functii.

Astfel discutam despre Puncte de discontinuitate

Fie f:D\rightarrow R, o functie de variabila reala si x_{0}\in D.

Definitie: Un punct de discontinuitate x_{0}\in D este punct de discontinuitate de prima speta pentru functia f, daca limitele laterale al functiei f in punctul x_{0} exista si este finita.

Definitie: Un punct de discontinuitate x_{0}\in D este punct de discontinuitate de a doua speta pentru functia f, daca cel putin una din limitele laterale al functiei f in punctul x_{0} nu este finita sau nu exista.

Discontinuitatile functiilor monotone

Teorema : Fie f:D\rightarrow R o functie monotona pe D si x_{0}\in D un punct de discontinuitate pentru functia f, atunci x_{0} este punct de discontinuitate de prima speta.

Exemplu:

1) Sa se studieze continuitatea functiei  f: R\rightarrow R,

f\left(x\right)=2x+1 pentru x\leq 1

Si

f\left(x\right)= 3x-1, pentru x<1

In punctul x_{0}=1 avem

f\left(1,-0\right)=\lim\limits_{x\to 1\\x<1}{2x+1}=2\cdot 1+1=2+1=3

Calculam acum

f\left(1,+0\right)=\lim\limits_{x\to 1\\ x>1}{3x-1}=3\cdot 1-1=3-1=2

Si calculam

f\left(1\right)=2\cdot 1+1=2+1=3

Deci

f\left(1,-0\right)=f\left(1\right)\neq f\left(1,+0\right)

Obsevam ca limitele laterale ale functiei f in punctul x_{0}=1 exista si sunt  finite, deci x_{0}=1 este punct de discontinuitate de prima speta.

Cum aflam daca o functie este continua sau nu

b) f\left(x\right)=\frac{\sin x}{|x|} pentru x\neq 0

Si

0, pnetru  x=0

Solutie:

In punctul x_{0}=0 avem:

f\left(0,-0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{\sin x}{-x}}=-\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{\sin x}{x}}=-1

f\left(0, +0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x>0}{\frac{\sin x}{x}}=1

Calculam

f\left(0\right)=0

Stim ca

f\left(0,-0\right)\neq f\left(0,+0\right)\neq f\left(0\right)

Deci avem discontinuitate in punctul x_{0}=0 de prima speta, exista limitele laterale si sunt finite.

c) f\left(x\right)=\frac{1}{|x|} pentru x\neq 0

Si

f\left(x\right)=0, pentru x=0

In punctul x_{0}=0 avem:

f\left(0,-0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{1}{-x}}=-\lim\limits_{x\to 0\\x<0}{\frac{1}{x}}=-\frac{1}{0_{-}}=-\left(-\infty\right)=+\infty

f\left(0, +0\right)=\lim\limits_{x\to 0\\x>0}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{0_{+}}=+\infty

Acum calculam

f\left(0\right)=0

Dreapta x=0 este asimptota verticala bilaterala. Rezulta ca punctul x_{0}=0 este punct de discontinuitate de a doua speta (limitele laterale nu sunt finite).

Cum calculam punctele de discontinuitate