Stiu ca deja baremul l-ati vazut pe sit-ul Ministerului, dar nu incercam sa le rezolvam in asa fel incat toti sa le intelegeti.

Astfel incepem cu Subiectul I

1. Avem o progresie aritmetica in care cunoastem primul termen si al doilea, dar trebuie sa aflam ce-l de-al patrulea termen. Astfel avem ca

$latex a_{1}=1, a_{2}=4$, mai intai aflam ratia stim ca ratia intr- progresie aritmetica este $latex r=a_{2}-a_{1}$
adica $latex r=4-1\Rightarrow r=3$
Si folosind formula termenului general obinem
$latex a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r$
Cum noi trebuie sa aflam al patrulea termen obtinem $latex a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r$
adica $latex a_{4}=1+3\cdot 3\Rightarrow a_{4}=1+9=10$

2. Pentru a determina numarul „a”, stim ca punctul $latex A(1, a)$, apartine graficului functiei daca $latex f(1)=a$ si astfel obtinem $latex f(1)=a\Rightarrow 1^{2}+4=a\Rightarrow 1+4=a\Rightarrow a=5$

Asadar numarul obtinut este a=5.

3. Pentru a rezolva ecuatia exponentiala  $latex 9^{x-2}=3^{2-x}$, trebuie sa aducem ecautia la aceiasi baza

Astfel avem ca:

$latex \left(3^{2}\right)^{x-2}=3^{2-x}$, efecutand calculele obtinem $latex 3^{2(x-2)}=3^{2-x}$

Astfel egaland exponentii obtinem $latex 2x-4=2-x\Rightarrow 2x+x=2+4\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=6:2\Rightarrow x=2$.

4. Ca sa calculam probabilitatea stim ca avem $latex P=\frac{numar. cazuri. favorabile}{numar. cazuri posibile}$

Pentru a nu omite niciun caz stim ca avem 10, 11, 12, 13, ……. 99 cazuri posibile, acum pentru a afla numarul lor, consideram sirul de numere ca o progresia aritmetica, unde avem ratia r=1, $latex a_{1}=10, a_{n}=99$

Folosind formula termenului general obtinem:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\Rightarrow 99=10+(n-1)\cdot 1\Rightarrow 99-10=n-1\Rightarrow 89=n-1\Rightarrow 89+1=n\rightarrow n=90$, asadar avem 90 de cazuri posibile, iar pentru a afla cazurile favorabile procedam la fel.

Adica avem cazuri favorabile 10, 11, 12, ….. 30, la fel ca si mai sus consideram $latex a_{1}=10$ si $latex a_{n}=30$, iar r=11-10, adica r=1

$latex 30=10+(n-1)\cdot 1\Rightarrow 30-10=n-1\rightarrow 20=n-1\Rightarrow n=20+1\Rightarrow n=21$

Asadar avem 21 cazuri favorabile, iar probabilitatea este:

$latex P=\frac{21}{90}^{(3}=\frac{7}{30}$