Lucrare scrisa la matematica
Clasa a VII a
Semestrul al II-lea
Completati enunturile cu raspunsul corect:(40 puncte)
1. Rezultatul calculului este…….
2. In si , atunci BC=….
3.Daca un triunghi dreptunghic are catetele de lungime egala cu 3 cm, respectiv 4 cm, atunci lungimea ipotenuzei este de …… cm.
4. Solutiile reale ale ecuatiei sunt ….. si……
5. Ionel cheltuieste 30% din suma de bani pe care o avea si astfel ramane cu 84 de lei. Ionel aveam ….. lei
6. Daca si , atunci valoarea sumei este….
7. Aria unui triunghi dreptunghic ABC cu BC=10 cm si AB=8 cm este….
8. Descompunerea in factori a expresia este……
9.Consideram A si B doua puncte pe un cerc de centru O si raza r=8 cm, astfel incat . Atunci masura arcului mic AB este…….
Subiectul II
La urmatoarele probleme se cer rezolvari complete
1. Aratati ca numarul este intreg
2. Rezolvati ecuatia
3. Calculati
4.Trapezul dreptunghic ABCD are AB||CD si
a) Aratati ca inaltimea trapezului este egala cu 3 cm
b) Perimetrul si aria trapezului, dar si
c) Calculati Perimetrul triunghiului MAB unde
1. b)Cum rezolvam in multimea numerelor reale ecuatia?
Mai intai aducem in ambii membrii la acelasi numitor, astfel ecuatia devine:
Cum avem acelasi numitor putem egala numaratorii, astel ecuatia devine:
Apoi doar am aplicat formulele de calcul prescurtat si am efectuat calculele, de unde am obtinut solutia ecuatiei
3. In cazul acestei probleme avem un triunghi dreptunghic in care stim doar mediana si cosinusul unui unghi, astfel cu teorema medianei stim ca
Cum stim ipotenuza triunghiului dreptunghic putem sa aflam o cateta deoarece:
Cum stim o cateta si ipotenuza putem sa aflam cu teorema lui Pitagora cealalta cateta:
Deci putem afla perimetrul
b) Ca sa aflam aria unui triunghi dreptunghic stim ca
c) Acum ca sa aflam cat la suta din aria triunghiului ADC reprezinta ABD, mai intai afla aria ficarui triunghi, dar mai intai inatimea triunghiului ABC
si cu inaltimea triunghiului ABC o stim AD=9, stim ca avem doua triunghiuri dreotunghice deci putem aplica formula
Ca sa aflam BD stim ca , deci masura unghiului B este de 60 de grade si unghiul C este de 30 de grade.
Stim ca triunghiul ABM este isoscel cu un unghi de 60 de grade deci echilateral, deci si masura unghiului AMB este de 60 e grade
Astel in triunghiul
stim ca
Deci obtinem ca
deci in triunghiul ADM dreptunghic in D, aplicam teorema 30-60-90
Despre aria unui triunghi am mai invatat si in clasa a VI-a, dar intuitiv, astazi o sa vorbim atat despre aria unui triunghi cat si despre aria patrulaterelor pe care le-am invatat pana acum, adica paralelogramul, dreptunghiul, rombul, patratul dar si trapezul.
Incepem cu aria triunghiului
Aria triunghiului este egala cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi si inaltimea corespunzatoare ei.
unde b este baza sau lungimea unei laturi si
h este inaltimea corespunzatoare ei
Daca avem un triunghi dreptunghic atunci aria sa este egala cu semiprodusul celor doua catete.
Iar daca aplicam si prima formula in triunghiului dreptunghic obtinem ca
pentru ca stim inca din clasa a VI-a ca intr-un triunghi dreptunghic putem duce trei inaltimi doua dintre ele coincid cu cele doua catete, iar cea de-a treia inaltime este AD cea corespunzatoare ipotenuzei, in cazul nostru BC.
Egaland cele doua relatii (cele doua formule ale ariei ) de mai sus obtinem
Deci putem spun ca lungimea inaltimii intr-un triunghi dreptunghic este egala cu raportul dintre produsul celor doua catete si ipotenuza.
Dar aria unui triunghi putem sa o calculam si cu alte formule:
-Formula lui Heron
unde este semiperimetrul triunghiului, iar a este o latura a triunghiului, b cealalta latura, iar c cea de-a treia latura.
Problema!
1) In triunghiul ABC si AB= 8 cm. Calculati:
a) aria triunghiului ABC
b) distanta e la C la latura AB
Solutie!
Ca sa aflam aria triunghiului ducem inaltimea din varful unghiului A, deci fie AD perpendiculara pe BC
Cum AD este perpendiculara pe BC rezulta ca , stim ca si deci
Si astfel in triunghiul ABD, dreptunghic in D aplicam Teorema , deci .
Acum aplicam formula pentru arie .
b) Ca sa aflam distanta de la un punct la o dreapta trebuie sa stim ca este piciorul perpendicularei de la punctul respectiv la dreapta respectiva, in cazul nostru:
Dupa ce am aflat care este segmentul trebuie sa aflam lungimea segmentului.
Daca stim deja aria triunghiului, ne gandim ca sa aplicam din nou formula pentru aria triunghiului daca consideram baza AB si inaltimea CE, care este si lungimea segmentului nostru. Deci
Egalam cu aria pe care am gasit-o la primul subpunct, adica rezultatul care l-am gasit si obtinem:
Ca sa ne simplificam calculele, am simplificat pe unde am putut.