teorema lui Thales

1. Daca M apartine [AB] si AB=18 cm, calculati lungimile segmentelor [AM] si [MB] in situatiile:
a) AM supra MB=2supra 7
Solutie:
$\frac{AM}{MB}=\frac{2}{7}\Rightarrow AM=\frac{2}{7}\cdot MB$
Stim ca $M\in [AB]$
Astfel avem:
$AB=AM+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+\frac{7}{7}MB\Rightarrow 18=\frac{9}{7}\cdot MB\Rightarrow MB=18:\frac{9}{7}\Rightarrow MB=18\cdot\frac{7}{9}^{(9}\Rightarrow MB=2\cdot\frac{7}{1}\Rightarrow MB=2\cdot 7=14\;\; cm$
Si $AM=AB-MB\Rightarrow AM=18-14=4\;\; cm$ .

b) AM supra AB= 2 supra 3
Stim ca
$\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$
Stim ca AB=18 cm
astfel obtinem:
$\frac{AM}{18}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=\frac{2}{3}\cdot 18^{(3}=\frac{2}{1}\cdot 6\Rightarrow AM=2\cdot 6=12\;\; cm$
Cum AM=12 cm
Obtinem:
$AB=AM+MB\Rightarrow 18=12+MB\Rightarrow MB=18-12\Rightarrow MB=6 cm$

2. Daca punctul P apartine [AB] , astfel incat AP supra PB=3 supra 5, calculati
a) AP supra AB
b) PB supra AB
Solutie:
Stim ca:
$\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}$
Din raportul de mai sus obtinem:
$\frac{AP}{3}=\frac{PB}{5}$
Adica
$\frac{AP}{3}=k\Rightarrow AP=3k$
Dar si
$\frac{PB}{5}=k\Rightarrow PB=5\cdot k$
Astfel $AB=AP+PB=3k+5k=8k$
astfel raportul
$\frac{AP}{AB}=\frac{3k}{8k}^{(k}=\frac{3}{8}$
Si
$\frac{PB}{AB}=\frac{5k}{8k}^{(k}=\frac{5}{8}$

3. In triunghiul TLE, se iau punctele A apartine (TL), S apartine (TE), astfel incat AS\\ LE.

a) Daca TA=4 cm , AL=3 cm,TE=14 cm,atunci TS=?

Demonstratie:

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales obtinem segmente proportionale:

$\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}$

Observati ca am folosit proportiile derivate pentru Teorema lui Thales.

Dar mai intai sa aflam TL, astfel $TL=TA+AL\Rightarrow TL=4+3=7\;\; cm$

Si obtinem egalitatea de rapoarte:

$\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}\Rightarrow \frac{4}{7}=\frac{TS}{14}\Rightarrow 7\cdot TS=4\cdot 14\Rightarrow TS=\frac{4\cdot 14}{7}^{(7}=\frac{4\cdot 2}{1}=7$

deci obtinem ca TS=8 cm

b) Daca TA=10 cm, TS=15 cm, SE=6 cm,atunci AL=?

Demonstratie:

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales, obtinem:

$\frac{TA}{AL}=\frac{TS}{SE}\Rightarrow \frac{10}{AL}=\frac{15}{6}\Rightarrow 15\cdot AL=10\cdot 6\Rightarrow AL=\frac{10\cdot 6}{15}=\frac{60}{15}=4\;\; cm$

Si astfel am obtinut AL=4 cm.

Observati ca este destul de important atunci cand aplicam Teorema lui Thales sa avem grija din ce varf pornim si daca folosim proportii derivate sau proportiile directe.

Ca sa intelegem Teorema lui Thales trebuie sa stim cand doua rapoarte sunt proportionale. Mai intai trebuie sa stim ce conditie trebuie sa punem , adica :

Segmentele $\left[AB\right], \left[BC\right], \left[CD\right]$ sunt proportionale cu segmentele $\left[A'B'\right], \left[B'C'\right], \left[C'D'\right]$ , daca lungimile lor exprimate cu aceeasi unitate de masura sunt proportionale.

$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$

Obs: Raportul a doua segmente este raportul lungimilor exprimate cu aceeasi unitate de masura.

Raportul a doua segmente nu depinde de unitatea de masura aleasa.

Teorema lui Thales

O paralelea dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi (sau pe prelungirile acestora) segmente proportionale.

Fie triunghiul ABC si DE|| BC astfel incat $D\in AB, E\in AC$

DE||BC rezulta
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

Obs: Concluzia teoremei lui Thales, scrisa pe baza figurii de mai sus poate fi scrisa folosind proportii derivate. Pentru a le retine mai usor, observati corepondenta punctelor de pe o latura cu cele de pe cealalta latura: $A\rightarrow A, D\rightarrow E, B\rightarrow C$ , astfel se pot forma 6 proportii:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}, \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE},\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC},\frac{DB}{DA}=\frac{EC}{EA}, \frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CE}, \frac{BD}{BA}=\frac{CE}{CA}$ .

Problema:

In triunghiul MNP, $R\in MN, MN=8 cm, MF=10 cm$ si ME=12 cm.

Calculati:

MP, daca MT+MP= 24 cm, MN=14 cm, RN=10 cm

Dem:

Daca aplicam teorema lui Thales cu ajutorul proportiilor derivate obtinem:
$\frac{MR}{MN}=\frac{MT}{MP}$
Stim si ca MT+MP=24 cm, rezulta ca MP=24-MT Stim si ca MN=MR+RN, rezulta ca 14 cm=MR+10 cm, deci MR=14cm- 10 cm, MR=4 cm.
Inlocuind mai sus cu datele pe care le stim obtinem:
$\frac{4}{14}=\frac{MT}{24-MT} \Rightarrow 4\cdot\left(24-MT\right)=14\cdot MT\Rightarrow$
$96-4\cdot MT=14MT\Rightarrow 14MT+4MT=96\Rightarrow 18MT=96 cm$ $\Rightarrow MT=96:18\Rightarrow MT=\frac{96}{18} =\frac{16}{3}cm$ .
Stim ca $MT+MP=24 cm \Rightarrow \frac{16}{3} cm+MP=24 cm\Rightarrow MP=24-\frac{16}{3} cm\Rightarrow MP=\frac{24\cdot 3-1\cdot 16}{3}-\frac{72-16}{3}=\frac{56}{3} cm$
Deci este important sa intelegem cum sa aplicam teorema lui Thales, dar si proportiile derivate.

Mate Pedia

Ne place matematica !

Cum calculam lungimea unor segmente cand stim un raport

Teorema lui Thales