Triunghiul. Elemente.Perimetrul. Clasificarea. Unghi exterior unui triunghi

Triunghiul este o notiune noua pentru elevii de clasa a v-a dar si pentru cei de-a 6-a. Nu stiu cati dintre voi va mai reamintiti notiunile introductive pe care le-ati invatat. Sau, unii dintre voi mai curiosi din fire ati studiat singuri.

Astfel, in acest curs o sa definesc notiunea de triunghi, o sa scriu elementele importante ale unui triunghi, o sa va prezint cum se clasifica triunghiurile, dar si care sunt cele mai importante notiuni pe care trebuie sa le stiti.

Definitie: Se numeste triunghi figura geometrica notata $\Delta ABC$ , formata din reuniunea segmentelor [AB], [BC] si [CA], unde A, B, C sunt 3 puncte necoliniare.

Elementele lui triunghi sunt:
– varfuri: A, B, C
– laturile triunghiului ABC, adica segmentelele:[AB], [BC], [CA].
– unghiurile triunghiului ABC: $\widehat{ABC}; \widehat{BAC}, \widehat{ACB}$ , numite unghiurile interioare ale triunghiului ABC.

Cum avem unghiuri interioare, evient ca o sa avem si unghiuri exterioare. Astfel, daca [CX este semidreapta opusa semidreptei[CB, atunci unghiul $\widehat{ACX}$ se numeste unghiul exterior triunghiului ABC.

Asadar, se numeste unghi exterior unui triunghi, unghiul format de o latura a unui triunghi cu prelungirea altei laturi.

Astfel stim ca un triunghi are 3 unghiuri interioare si evident o sa aiba sase unghiuri exterioare, cate doua unghiuri in fiecare varf al unui triunghi.

Intre laturie unui triunghi si unghiurile interioare se pot stabili anumite pozitionari, astfel:

– unghiul opus unei laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ se opune laturii AC)
– latura opusa unui unghi ( de exemplu putem spune ca AC se opune unghiului $\widehat{ABC}$ , dar si BC se opune unului $\widehat{BAC})$
– unghiul cuprins intre doua laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ este cuprins intre laturile AB si BC)
– unghiuri alaturate unei laturi (de exemplu $\widehat{ABC}$ si $\widehat{ACB}$ sunt alaturate laturii BC)

Notiunile prezentate mai sus sunt foarte importante deoarece constituie baza pentru a intelege teoremele care vor urma.

Despre perimetrul unui triunghi am mai auzit astfel stim ca:

Definitie: Se numeste perimetrul unui triunghi suma lungimilor tuturor laturilor. Astfel perimetrul unui triunghi ABC este
$P_{\Delta ABC}=AB+BC+CA$

Uneori lungimile laturilor unui triunghi se noteaza cu literele mici ale alfabetului, corespunzatoare varfului unghiului care se opune acelei laturi.

Astfel in triunghiul ABC observam ca AB=c, deoarece latura AB se opune unghiului c AC=b, latura AC se opune unghiului B si latura BC=a se opune unghiului a.

Clasificarea triunghiurilor

Triunghiurile se clasifica dupa doua criterii:

-dupa lungima laturilor
– dupa masura unghiurilor

Dupa lungimea laturilor triunghiurile se clasifica in :

Triunghiul oarecare (sau scalen) este triunghiul cu laturile de lungimi diferite. $AB\neq BC\neq CA$

Triunghiul isoscel este triunghiul cu doua laturi de lungimi egale, adica congruente. $AB=AC$ sau $[AB]\equiv[AC]$

Triunghiul echilateral este triunghiul cu toate laturile congruente, adica de aceiasi lungime $AB=BC=CA$ sau $[AB]\equiv[AC]\equiv[BC]$

Dupa masurile unghiurilor avem:

– triunghiul ascutitunghic, are toate unghiurile ascutie, adica masura mai mica de $90^{0}$

– triunghiul obtuzunghic, are un unghi obtuz, adica masura mai mare de $90^{0}$

– triunghiul dreptunghic, are un unghi drept, adica masura este de $90^{0}$

Laturile care formeaza unghiul de $90^{0}$ se numesc catete, iar latura care se opune unghiului de $90^{0}$ se numeste ipotenuza, astfel AB si AC se numesc catete, iar BC este ipotenuza triunghiului dreptunghic.

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunile prezentate mai sus, deoarece sunt notiuni esentiale pentru ceea ce o sa invatam mai departe.

Uneori lungimile laturilor unui triunghi se noteaza cu literele mici corespunzatoare cu varfurile unghiului care se opune acelei laturi, asttfel avem ca BC=a, AB=c, AC=b.

Stim inca de pe semestrul intai ca distanta dintre doua puncte este lungimea segmentului cu extremitatile in cele doua puncte si in acelasi timp, distanta este drumul cel mai scurt, atunci in $\Delta ABC$ au loc inegalitatile

– $BC<AC+AB$ sau $a<b+c$

– $AC<BC+AB$ sau $b<a+c$

– $AB<BC+AC$ sau $c<a+b$

In orice triunghi lungimea fiecarei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua laturi. Acesta concluzie este cunoscuta sub denumirea de inegalitatea triunghiului si este un criteriu pentru a stabili daca trei segmente de lungimi date pot fi laturile unui triunghi.

Aplicatii:

Calculati perimetrul triunghiului isoscel ABC, daca AB=4 cm si BC=5 cm .
Demonstratie:

Stim ca triunghiul isoscel are doua laturi egale sau congruente, astfel avem cazurile:

1. Daca AB=4 cm, atunci si AC=4 cm, deci din ipoteza BC=5 cm si astfel obtinem ca perimetrul triunghiului ABC este $P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=4+4+5=13 cm$
2. Daca BC=5 cm, atunci si AC=5 cm si din ipoteza AB=4 cm si astfel obtinem ca $P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=4+5+5=14 cm$ .