Despre unghiul a doua drepte in spatiu am scris aici. Astazi vom incerca sa aprofundam printr-o problema rezolvata si explicata.

Exemplu:

Fie cubul ABCDA’B’C’D’, cu AB= 2 cm. Calculati cosinusul unghiului dintre dreptele $latex A’B$ si DO, unde $latex \left\{O\right\}=BC^{‘}\cap B^{‘}C$.

Pentra a afla unghiul celor doua drepte notam cu P intersectia diagonalelor bazei A’B’C’D’, adica fie $latex A’C’\cap B’D’=\left\{P\right\}$
Observam ca O este mijlocul segmentului BC’, dar si P mijlocul segmentului A’C’, deci PO e linie mijlocie in triunghiul A’BC’. Conform Teoremei de la linia mijlocie stim ca PO||A’B si $latex PO=\frac{A’B}{2}$

Astfel obtinem ca cosinusul unghiului dintre cele doua drepte este:
$latex \cos\left(\widehat{DO,A’B}\right)=$
$latex \cos\left(\widehat{DO, PO}\right)=$
$latex \cos\left(\widehat{DOP}\right)$

Pentru a afla cosinusul unghiului stim ca trebuie sa avem triunghi dreptunghic.
Dar mai intai sa vedem ce fel de triunghi avem. Stim ca $latex PO=\frac{A’B}{2}$
Cum A’B este diagonala in patratul A’B’AB, obtinem ca $latex A’B=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
Astfel obtinem $latex PO=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Pentru a afla DO, observam ca $latex DC’=BC’=DB=2\sqrt{2}$( diagonale in patratele DD’CC’; BB’CC’; ABCD), astfel obtinem ca triunghiul DBC’ este echilateral si cum O este mijlocul lui BC’, obtinm ca DO este mediana si cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca DO este si inaltime in triunghiul echilateral DBC’.

Stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este $latex \frac{l\sqrt{3}}{2}$, adica $latex DO=\frac{DC’\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}\;\; cm$
Acum pentru a afla DP, in triunghiul DD’P, dreptunghi in D’ aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem $latex DP^{2}=DD’^{2}+D’P^{2}\Rightarrow DP^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow DP^{2}=4+2\Rightarrow DP=\sqrt{6}$

Observam ca $latex DP=DO=\sqrt{6}$, adica triunghiul DOP este isoscel de baza PO.

Acum, pentru a afla cosinusul unghiului, fie aplicam Teorema cosinusului, fie aplicam defintia care am invatat-o in claas a vii-a dar cu conditia sa avem triunghi dreptunghic.

Astfel cu Teorema cosinusului
$latex DP^{2}=DO^{2}+PO^{2}-2\cdot DO\cdot PO\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \left(\sqrt{6}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)$
Adica $latex 6-6-2= -2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{-2}{-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{12}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{12}^{(2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Acum pentru a afla cu notiunile din clasa a VII-a construim inaltimea din D pe PO, fie $latex DM\perp PO$, cum Triunghiul DMO dreptunghic in M si cum triunghiul DOP isoscel de baza PO, obtinem ca DM este si mediana, astfel obtinem $latex MO=MP=\frac{PO}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci in triunghiul dreptunghic DOM in M $latex \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{cateta.\;\; alaturata}{ipotenuza}=\frac{OM}{DO}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{6}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{2\cdot 6}=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}$