Unghiuri in jurul unui punct

Notiunea de unghi o cunoastem, dar e important sa intelegem si notiunea de unghiuri in jurul unui punct cat si unghiuri opuse la varf.

Trei sau mai multe unghiuri sunt in jurul unui punct daca:
– au un varf comun
– oricare doua unghiuri vecine sunt adiacente (adica au interioarele disjuncte)
– oricare punct din plan diferit de varful comun si nesituat pe nici una din laturile acestor unghiuri apartin interiorului unui singur unghi

Unghiurile $\widehat{AOB}, \widehat{BOC}, \widehat{COD}, \widehat{DOA}$ din figura de mai sus sunt unghiuri in jurul punctului O.
Important e sa stim urmatoarea teorema pentru a rezolva problemele cu unghiuri in jurul unui punct

Teorema: Suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este de $360^{0}$ .

Aplicatii:

1. Unghiurile $\widehat{AOB}$ si $\widehat{BOC}$ sunt adiacente si suplementare, [OX este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$ si [OY este semidreapta opusa lui [OX. Daca $m\left(\widehat{BOX}\right)=60^{0}$ , aratati ca unghiurile $\widehat{BOC}$ si $\widehat{AOY}$ sunt suplementare.

Demonstratie:

Stim ca $m\left(\widehat{BOX}\right)=60^{0}$
Dar stim si ca [OX este bisectoarea unghiului AOB, deci obtinem ca:
$m\left(\widehat{AOB}\right)=2\cdot m\left(\widehat{BOX}\right)=2\cdot 60^{0}=120^{0}$
Si cum stim ca unghiurile AOB si BOC sunt adiacente si suplementare obtinem ca: $m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}\Rightarrow 120^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)=60^{0}$
Observam ca: $\widehat{AOX}\equiv\widehat{COY}$ (ca unghiuri opuse la varf)
Deci obtinem ca: $m\left(\widehat{AOX}\right)=m\left(\widehat{COY}\right)=60^{0}$
Dar mai stim si ca unghiurile AOX, XOB, BOC, COY, YOA sunt unghiuri in jurul unui punct, deci stim ca suma masurii unghiurilor in jurul unui punct este egala cu $360^{0}$
Deci avem ca $m\left(\widehat{AOX}\right)+m\left(\widehat{XOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{COY}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow 60^{0}+60^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)+60^{0}+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow 180^{0}+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=360^{0}-180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{YOA}\right)=180^{0}$

2. Aflati masurile unghiurilor:
$\widehat{AOB}, \widehat{BOC}, \widehat{COA}$ daca sunt unghiuri in jurul unui punct O, $m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right)$ si $m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}$
Demonstratie
Stim ca unghiurile sunt in jurul unui punct O astfel avem ca:
$m\left(\widehat{AOB}\right)+m\left(\widehat{BOC}\right)+m\left(\widehat{AOC}\right)=360^{0}$ (1)
Dar cu relatiile de mai sus stim ca $m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right)$ (2) si

$m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}$ (3)
Din relatiile de mai sus obtinem ca $m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot\left(m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}\right)=3m\left(\widehat{COA}\right)-3\cdot 120^{0}=3m\left(\widehat{COA}\right)-360^{0}$
Deci din (1) obtinem: $m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}+3m\left(\widehat{COA}\right)-360^{0}+m\left(\widehat{COA}\right)=360^{0}\Rightarrow 5\cdot m\left(\widehat{COA}\right)=360^{0}+360^{0}+120^{0}\Rightarrow 5\cdot m\left(\widehat{COA}\right)=840^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{COA}\right)=840^{0}:5\Rightarrow m\left(\widehat{COA}\right)=168^{0}$
Acum ca stim masura unghiului $\widehat{COA}$ putem afla masura celorlalte doua unghiuri.
Astfel din (3) avem ca $m\left(\widehat{AOB}\right)=m\left(\widehat{COA}\right)-120^{0}=168^{0}-120^{0}=48^{0}$
Dar si din (2) obtinem ca: $m\left(\widehat{BOC}\right)=3\cdot m\left(\widehat{AOB}\right)=3\cdot 48^{0}=144^{0}$

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de unghi in jurul unui punct, dar si notiunile de unghiuri opuse la varf.

Unghiuri in jurul unui punct

Recente

Categorii