116 răspunsuri la “Rezolvari probleme si exercitii de matematica”
Intr-un trapez dreptunghic, cu diagonalele perpendiculate intre ele, raportul lungimilor bazelor este 9 supra 16 iar aria trapezului este 1350 cm patrati. Sa se afle lungimile bazelor si a inaltimii trapezului,
Multumesc!
Intr-un trapez dreptunghic, cu diagonalele perpendiculare intre ele, raportul lungimilor bazelor este 9 supra 16 iar aria trapezului este 1350 cm patrati. Sa se afle lungimile bazelor si a inaltimii trapezului,
Multumesc!
Demonstratie:
Stim ca (raportul lungimilor bazelor este 9 supra 16 )
Si mai stim si ca , adica daca inlocuim cu informatiile pe care le avem obtinem:
Dar mai stim si ca
Si daca inlocuim mai sus obtinem: (1)
Dar acum observam ca nu avem nicio informatie despre AD, adica inaltimea trapezului, astfel construim paralela prin C la diagonala DB, care intersecteaza dreapta suport a bazei mari in punctul B.
Cum am constriut paralela prin C la DB, observam ca AC secanta si (ca unghiuri corespondente), astfel obtinem ca
De unde mai observam ca EB’=AB (BDCB’ paralelogram) si AE=DC (ADCE dreptunghi)
Si cum observam ca triunghiul ACB’ dreptunghic in C, si CE inaltime in triunghiul dreptunghic, aplicam Teorema inaltimii
Dar observam ca CE=AD si astfel obtinem
Si daca inlocuim in relatia (1) obtinem
Iar
Iar lungimea inaltimii trapezului este
Fie a si b numerele naturale, stim ca
a+b=88 (suma a doua numere este 88)
Cu a>b
Mai stim si ca a:b obtinem c=4 si restul 13. Astfel cu teorema impartirii cu rest avem ca
Si inlocuind in prima ecuatie obtinem:
Iar
Si astfel am obtinut cele doua numere
In paralelogramul ABCD, AB intersectat cu BD = {O}, Se duce o dreapta oarecare MN prin punctul O astfel incat M apartine lui AB , iar N apartine lui CD. Aratati ca BNMD este paralelogram
Stim din ipoteza ca ABCD paralelogram, adica de la proprietatile paralelogramului referitoare la diagonale stim ca si
Dar in cazul nostru patrulaterul convex BMDN, cu [BD], diagonala si , dar si MN diagonala, astfel observam ca , adica , dar si , dar si , deci cu cazul de congruenta L.U.L, observa ca cele doua triunghiuri sunt congruente si astfel obtinem si ca
Si cu reciproca teoremei referitoare la diagonale de la paralelogram obtinem ca paraleologram
Reciproca referitoare la diagonale spune ca Daca intr-un patrulater convex diaagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.
O pereche de schiuri si un calculator costa impreuna 3340 de lei,iar o pereche de schiuri si un telefon costa impreuna 1350 de lei. Cu cat costa mai mult calculatorul decât telefonul?
ABCD este un romb si O este un punct exterior planului sau.Se construiesc simetricele lui O fata de A,B,C si D care se noteaza cu A’,B’ C’ si respectiv D’.Aratati ca dreptele A’C’ si B’D’ sunt drepte concurente si A’C’ perpendicular B’D’.
Fie tetraedrul ABCD si M e (AB), N e (AC), P miglocul lui (CD) si Q mijlocul lii BD, Daca MA= 2, MB=4, NA=3 si NC=6, aratati ca M,N,P si Q sun coplanar si
precizati natural patrulaterului MNPQ.
daca a-c=37
b(a-c)+13=36b+42
37b-36b=29
b=29
il inlocuim pe b in relatia ab- bc+13=36 b+42 si il aflam pe c =0
a-c=37 ,a-0=37 a= 37
rasp:
b=29
a+3=40
b-c=29
Fie A’ , B’ , C’ mijlocurile laturilor triunghiului ABC. Demonstrati ca pentru orice punct O din plan OA vector + OB vector + OC vector = OA’ vector + OB’ vector + OC’ vector.
1. Aratati ca x este un patrat perfect:
a) x=1+3+5+…..101
Solutie:
Pentru a calcula suma mai intai trebuie sa aflam numarul de termeni, astfel pentru a afla numarul de termenii folosim formula: ,unde
u= ultimul termen al sumei
p=primul termen al sumei
n= numarul de termenii al sumei pe care trebuie sa-i aflam
r= ratia (adica diferenta dintre doi termeni consecutivi ai sumei)
Astfel obtinem ca:
Iar suma termenilor
Astfel stim ca termenii sumei sunt in numar de:51
Acum pentru a calcula suma folosim formula , adica prumul termeni plus ultimul termen totul inmultit cu numarul de termeni, iar produsul obtinut impartit la doi.
astfel obtinem , adica patrat perfect.
Sau daca ati invatat factorul comun folosim formula lui Gauss, si factorul comun, astfel suma se rescrie , care la fel este un patrat perfect.
Observati ca in cazul metodei a doua am folosit formula
b) x=4+8+12+….196
In cazul de mai sus folosim tot metoda factorului comun intrucat in acest caz este mai usoara
Astfel avem ca
Iar cu formula lui Gauss obtinem: , si astfel am obtinut tot un patrat perfect.
c) x=1+3+5+…..2005
Pentru a calcula suma de mai sus folosim prima formula, astfel mai intai aflam numarul de termeni:
unde 2 este ratia, adica
Astfel am aflat ca termeni sunt in numar 1003
Acum aplicand formula pentru cei 1003 termeni obtinem
Sau cu suma lui Gauss cum am aratat mai sus: , adica patrat perfect.
Pentru a afla cate cifre de 1 apar putem sa observam si la ultimul termen al sumei cand am factorul comun, astfel in cazul nostru 1002.
d) x=1004+2+4+……2006
Pentru a arata ca suma de mai sus este patrat perfect calculam mai intai suma
La fel cum factorul comun obtinem
si astfel obtinem ca
e) x=1203+2+4+……..2404
La fel ca si mai sus calculam mai intai suma Inlocuind in x obtinem , adica patrat perfect
f) x=5 la puterea a 10 + 6 inmultit cu 5 la a 9 + 9 inmultit cu 5 la a 8
Dand factor comun pe obtinem: , adica patrat perfect.
2. Aratati ca :
M= 111+ 222 la a 2 + 333 la a 3 + 444 la a 4 + 555 la a 5 – 12345 nu este patrat perfect
Astfel cu regulile de calcul cu puteri avem
De unde obtinem
Astfrl dand factor comun pe 111 obtinem:
Astfel obtinem
3. Aratati ca a=3 la 2012 + 6 la 2012 nu este patrat perfect
4. Calculati dublul lui 2 la a 18
5. Aratati ca n=3 + 3 la a 2 +3 la a 3 +3 la a 4 a + 3 la a 5 +3 la 6 este patrat perfect
6. Aratati ca n=3 la puterea 2n+2 inmultit cu 4 la 2n+3 – 2 la 2n+1 inmultit cu 6 la2n+3 este patrat perfect pentru orice n numar natural
7. Aratati ca n=(3 la 201 + 3 la 204 ) : ( 3 la 201 – 3 la 200 + 3 la 199) este patratul lui 6
8. Determinati ultima cifra a numerelor: a=3 la 2012, b=2 la 2013 , c=5 la 2015 + 6 la 2014 +4 la 2013 + 3 la 2012 +2 la 2011 si d= 3 la n+1 inmultit cu 5 la n+2 – 15 n – 3 la n inmultit cu 5 n+1, unde n este nr. natural
9. Aratati ca n este nr. patrat perfect, unde n=1+ 2 la puterea 0 + 2 la 1 +2 la 2 + 2 la 3 + ……+ 2 la 2001
2. Aratati ca :
M= 111+ 222 la a 2 + 333 la a 3 + 444 la a 4 + 555 la a 5 – 12345 nu este patrat perfect
Astfel cu regulile de calcul cu puteri avem
De unde obtinem
Astfrl dand factor comun pe 111 obtinem:
Astfel obtinem
De unde obtinem
Adica
Astfel daca calculam ultima cifra a numaului M obtinem , adica M nu este patrat perfect.
3. Aratati ca a=3 la 2012 + 6 la 2012 nu este patrat perfect
La fel ca si la exercitiul anterior calculam ultima cifra a numarului a, astfel avem: , cum ultima cifra este 2 rezulta ca numarul a nu este patrat perfect.
4. Calculati dublul lui 2 la a 18
5. Aratati ca n=3 + 3 la a 2 +3 la a 3 +3 la a 4 a + 3 la a 5 +3 la 6 este patrat perfect
La fel ca si mai sus calculam ultima cifra a numarului n , cum ultima cifra este 4 rezulta ca n este patrat perfect.
6. Aratati ca n=3 la puterea 2n+2 inmultit cu 4 la 2n+3 – 2 la 2n+1 inmultit cu 6 la2n+3 este patrat perfect pentru orice n numar natural
Astfel n devine
Astfel obtinem ca
Adica , unde obtinem ca n este patrat perfect
7. Aratati ca n=(3 la 201 + 3 la 204 ) : ( 3 la 201 – 3 la 200 + 3 la 199) este patratul lui 6
and factor comun obtinem , care este patratul lui 6.
8. Determinati ultima cifra a numerelor: a=3 la 2012, b=2 la 2013 , c=5 la 2015 + 6 la 2014 +4 la 2013 + 3 la 2012 +2 la 2011 si d= 3 la n+1 inmultit cu 5 la n+2 – 15 n – 3 la n inmultit cu 5 n+1, unde n este nr. natural , ultima cifra a lui a este
Pentru a afla ultima cifra a unui numar impartim exponentul la 4 si luam restul ca exponent, astfel pentru , avem , impartind pe 2013:4 obtinem 503 rest 1, si cum pe noi restul ne intereseaza obtinem ca U(b)=U(2)=2
Astfel avem
Pentru a rezolva ecuatia logaritmica, observam ca avem aceeasi baza la logaritmi, astfel egalam argumentul
Pentru a fii siguri ca solutia ecuatiei convine inlocuim in ecuatia logaritmica si obtinem:
adica se verifica, asadar solutia ecuatiei este x=0
Pentru maine, va rog !
1. Aratati ca n este nr. patrat perfect, unde n= 1+2 la 0 +2 la 1 +2 la 2 +2 la 3 +……2 la 2001
2. Aratati ca n mai mic decat 2 la 51, unde n= 2 la 0 + 2 la1 + 2 la 2 ….+2 la 50
3. Aratati ca urmat. nr. sunt patrate perfecte:
a) n= 2014 + ( 1+2+……… + 2013) inmultit cu 2
b) n= 2 la 2n+1 + 5 inmultit cu 2 la 2n+2 + 4 la n
1. Folosind formula de calcul . obtinem pentru suma
Acum stim ca , adica
Iar pentru a afla daca este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului: , cum ultima cifra este 1, rezulta ca n este patrat perfect.
2. $latex n<2^{51}$
unde $latex n=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{50}$
La fel ca si mai sus $latex n=\left(2^{50+1}-1\right):\left(2-1\right)=\left(2^{51}-1\right):1=2^{51}-1<2^{51}$
3. a) $latex n=2014+(1+2+3+…+2013)\cdot 2$
Mai intai calculam suma cu ajutorul Formulei lui Gauss
$latex 1+2+3+4+…+2013=\left[2013\cdot\left(2013+1\right)\right]:2=\left(2013\cdot 2014\right):2=4054182:2=2027091$
Acum inlocuind in n obtinem
$latex n=2014+2027091\cdot 2=2014+4054182=2014+2013\cdot 2014=2014\left(1+2013\right)=2014\cdot 2014=2014^{2}$, adica este patrat perfect.
b) $latex n=2^{2n+1}+5\cdot 2^{2n+2}+4^{n}\cdot 3$
Astfel cu regulile de calcul cu puteri n devine:
$latex n=2^{2n}\cdot 2^{1}+5\cdot 2^{2n}\cdot 2^{2}+\left(2^{2}\right)^{n}\cdot 3$
Adica
$latex n=2^{2n}\cdot 2+2^{2n}\cdot 5\cdot 4+2^{2n}\cdot 3=2^{2n}\left(2+5\cot 4+3\right)=2^{2n}\cdot\left(2+20+3\right)=2^{2n}\cdot 25=2^{2n}\cdot 5^{2}=\left(2^{n}\cdot 5\right)^{2}$, adica patrat perfect
Cubul ABCDA`B`C`D` are AB=8cm. Calculati masurile unghiurilor formate de dreptele :
a) BC` cu AC;
b) BA` cu DC;
c) BC` cu D`O , unde AC intersectat BD = {O} .
Astept un raspuns,va rog!
Se descompune 5 la puterea 34 in ( 5 la puterea 2) la puterea 17 si ne da 25 la putere 17;
3 la puterea 51 se scrie (3 la puterea 3) totul la puterea 17 si obtinrm 27 la puterea 17;
Concluzia. 5 la puterea 34 este mai mic decat 3 la puterea 51
a) 2 la puterea x plus 2 la puterea x-1 plus 2 la puterea x-2=7
b) 3 la puterea x plus 3 la puterea 2x = 90
c) 3 la puterea x la puterea 2 minus 4*3la puterea x = 45
Va rog ajutati-ma sa le rezolv sunt in clasa a 5a. Multumesc
a)
Inmultim mai intai egaliatea de mai sus cu si obtinem:
Si obtinem:
Adica
Mai sus am folosit regulile de calcul cu puteri.
Acum ecuatia de mai sus se rescrie:
Si dand factor comun pe obtinem:
Si efectuand calculele in parnteza obtinem:
Observati ca dupa ce am efectuat calculele, efectuam operatia de impartire dintre membrul drept si 7.
b)
Cu regulile de calcul cu puteri obtinem
Adica
La punctul b, cand dam factor comum pe 3 la puterea x nu are cum sa ramana 3 la puterea a 2 pentru ca 3 la pu terea x inmultit cu 3 la puterea 2 este 3 la puterea x+2 nicidecum 3 la puterea 2x. Nu cred ca este correct.
Daca rezolvam ecuatia pentru clasa a X a atunci putem sa spunem ca notam cu si ecuatia devine:
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care o rezolvam:
Si obtinem
$latex t_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1-\sqrt{361}}{2\cdot 1}=\frac{-1-19}{2}=\frac{-20}{2}=-10<0$, care nu convine
Si
$latex t_{2}=\frac{-1+19}{2}=\frac{18}{2}=9>0$
Astfel avem ca , deci solutia ecuatiei este tot 2.
1.ordonati crescator nr naturale a,b,c,d,e,f stiind ca:a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13
2.determinati nr de forma abc stiind ca a+1=b=c-1
3.determinati nr naturale n si abc(scris in baza 10)pt care abc*n=1abc(scris in baza 10)
multumesc celor care ma pot ajuta
daca se poate ceva informatii teoretice despre probleme de numarare
Notam cu x pret laptop si y pret tableta
Dar si
Daca scoatem pe x din prima ecuatie obtinem:
Si inlocuind in cea de-a doua obtinem:
Adica pretul tabletei este de 600 lei. Iar pretul laptopului este:
Cel mai mare numar de forma 5a3b cu suma ciferelor a si b=11 este 5932, iar cel mai mic numar de forma 5a3b este 5239, unde a si b sunt cifre.
Astfel diferenta numerelor este 5932-5239=693
Pe planul rombului ABCD se ridica perpendiculara AE.Se stie AB=16CM,AE=12CM,m (BAD)=60
a Calculati EB
b Daca AC apartine BD= 0 calculati EO
c Aratati ca BD perpendicular pe (AEO)
d Calculati d(B,(EAD))
Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte, studiind ultima cifra:
a. 1234567=
b. 248 la puterea 17=
c. 132 * 5674=
Astept un raspuns
Multumesc
a. U(1234567) este egal cu 7. Rezulta ca nr. nu e patrat perfect. Deoarece ultima cifra a unui patrat perfect este 0,1,4,5,6 sau 9.
b. . Rezulta ca nr. nu e patrat perfect.
c. . Rezulta ca nu e patrat perfect.
Intre primii doi termeni dam factor comun pe 196 si obtinem . Acum efectuand in paranteza rotunda calculele obtinem :. Acum dand factor comun pe 2 obtinem
Stim ca si
Astfel in locul cifrei 1 putem scrie: ab+bc+ca astfel obtinem sub r
Astfel daca dam factor comun iun prima paranteza intre primul si ultimul termen pe a obtinem
Astfel obtinem
Astfel obtinem
Suma a trei numere este 183 .Aflati numerele stiind ca daca impartim pe primul la al doilea obtinem,catul 4 si restul3, iar daca il impartim pe al doilea la al treilea obtinem catul 3 si restul4.
reptele OA , OB si OC sunt perpendiculare doua cate doua , OA⊥OB⊥OC⊥OA si OA= 12√2 CM.
Aflati :
a) distanta de la A la M ; M∈BC
b)distanta lui O la planul (ABC)
c)distanta de la C la planul (AOM)
d) Daca N∈Ac , AN=NC, stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul (AOB)
HELPPP !!!!!!!!!!!
Pentru a arata ca f este izomorfism de la grupul la
aratam mai intai ca f este bijectiva, f este morfism, adica
1.f este bijectiva, daca f este injectiva si surjectiva
f injectiva
Presupunem , deci f este injectiva.
Acum f este surjectiva astfel incat
Astfel avem , astfel obtinem ca f este surjectiva.
cum f surjectiva si injectiva obtinem ca f este bijectiva.
2. avem ca
Si , deci f este morfism
din 1. si 2. rezulta ca f este izomorfism
un dreptunghi are latimea egala cu trei optimi din lungime,iar aria dreptunghiului este egala cu 1944 cm2. Calculati perimetrul dreptunghiului.
am 2 ore de cand incerc sa aflu perimetrul si nu stu cum,Imi poate da cineva un indiciu
un dreptunghi are latimea egala cu trei optimi din lungime,iar aria dreptunghiului este egala cu 1944 cm2. Calculati perimetrul dreptunghiului.
am 2 ore de cand incerc sa aflu perimetrul si nu stiu cum,Imi poate da cineva un indiciu????????????
Stim ca
Si mai stim si ca
ar stim de mai sus ca latimea este egala cu 3 optimi din lungime, astfel daca inlocuim in relatia cu aria gasim:
Astfel obtinem
Observati ca am obtinut ca lungimea la patrat este egal cu 5184. Pentru cei care stiti radicalul este simplu, dar pentru cei care nu l-ati invatat, descompunem numarul 5184
Cum avem acelasi exponent egalam bazele, adica
Iar latimea:
1)Fie functiile f,g:(0;+∞)-R, f(X)=1+ln x si . Aratati ca g este o primitiva a lui f
2) Fie functiile latex f,g:(0;+∞)-R, f(X)=x^{2} + x\ln x si . Aratati ca f este o primitiva a lui g.
3)Fie functiile . Aratati ca F este o primitiva a lui f
4) Fie functiile f:R-R f(x)=f(x)= \left \{ {{x+2,x\ \textless \ 0} \atop {e^x+1,x \geq0 }} \right.
Aratati ca f admite primitive pe R.
1. g este primitiva a functiei f, daca astfel
Observati ca am folosit teorema conform careia g derivat de x este egal cu f(x), asadar folosind regulile de derivare obtinem ca g este o primitiva a functiei f
Mihai are o suma de bani.Pentru a cumpara 6 mingi,ar mai avea nevoie de 10 lei.Daca si-ar cumpara 9 mingi, ar mai avea nevoie de 55 de lei. Ce suma are Mihai ?
1)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y=x+y-2
a)Calculati 5*(-5)
2)Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa
3)Calculati (-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3
2)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa x*y=x+y-1
a)Aratati ca x*1=x pentru orice x apartine lui R
b) Rezolvati in multimea numerelor reale x*x*x=4
3)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y=2xy-6x-6y+21
a) Aratati ca x*y =2(x-3)(y-3)+3 oricare ar fi x,y apartine lui R
b)Aratai ca legea „*” este asociativa
c) Calculati 1*2…*2011
4) Pe multimea R se defineste legea de compozitie x*y=xy+x+y
a) Aratati ca „*” este asociativa
b) Determinati elementul neutru al legii „*”
c)Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia x^2*2=x*4
Mihai a cheltuit o suma de bani in doua zile. In prima zi Mihai a cheltuit 30% din suma, iar I a doua zi restul 35 de lei. Calculeaza suma de bani cheltuita de Mihai in prima zi.
Notam cu x suma de bani. In prima zi stim ca a cheltuit 30%, adica formam ecuatia
Acum rezolvand ecuatia obtinem:
eci suma pe care o avea Mihai era de 50 lei.
Daca a cheltuit 30%, adica
Deci in prima zi a cheltuit 15 lei
Pentru premiile unui concurs s-au cumparat 107 carti de 9 lei,15 lei,20 lei,in valoare totala de 1550 lei.Cate carti s-au cumparat de fiecare pret stiind ca nr. cartilor de 15 lei este cu 7 mai mic decat cel de 20 lei.
Notam cu x pretul unei carti cu 9 lei, y pretul unei carti cu 15 lei si z pretul unei carti cu 20 lei
Astfel formam ecuatiile: (avem 107 carti)
Dar si (in total s-au patiti 1550 lei)
Dar mai stim si ca
Inlocuind in prima ecuatie obtienem:
Acum inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem
De unde obtinem:
Deci s-au cumparat 37 de cari cu 20 de lei.
Acum stim ca , adica s-au cumparat 30 carti cu 15 lei
Si stim ca cu 9 lei
Pentru a efectua proba stim ca x+y+z=107, adica 40+30+37=70+37=107. Deci se verifica
Prin varful C al triunghiului isoscel ABC, [AC] congruent cu [BC], se duce o paralela d la AB.Mediana BM intersectat cu d = {P} si mediana AN intersectat cu d = {Q}.Aratati ca ABQP este trapez isoscel.
1. Se considera patratul Efgh si punctele M apartine (EF), N apartine (FG),P apartine (GH) si Q aparine (HE) astefel incat [EM] congruent cu [FN] congruent cu [GP] congruent cu [HQ]. Aratati ca MNPQ este patrat.
2. In trunghiul [BM, M apartine 9AC0. Din punctul M se duce MN parpendicular pe BC, N apartine (BC), iar prin punctul N se duc paralele NP || AB si NQ || AC, unde P apartine (AC) si Q apartine (AB). Aratti ca:
a) AQNP este dreptungi;
b) Qp = AN= BC/2
Cele 428 de scaune dintr-o sala de spectacole sunt asezate in 20 de randuri, fiecare rand avand 21 sau 22 de scaune. Determinati numarul de randuri din sala care au cate 22 de scaune.
Consider the circle having the center in C(0,1) and the radius r=2.
a) Draw the circle in a rectangular system of coordinates;
b) Write the equation of this circle;
c) Find the coordinates of points M and N of intersection between this circle and the x-axis;
d) Find the coordinates of points P and Q of intersection between this circle and the y-axis;
e) Discuss the nature of tetragon MPNQ and compute its area;
f) Compute the perimeter of tetragon MPNQ.
Sper ca cerinta in limba engleza sa nu fie o problema masora, as putea sa traduc daca nu se intelege.
Buna ziua matepedia! Daca ati putea sa ma ajutati cu doua exercitii:
1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=(n^3)(2n^3-1)
1*4+2*7+3*10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2
– inductii matematice, urgent, va rog!!
Dand factor comun pe 2 obtinem
Suma care putem sa o calculam cu suma lui Gauss
Adica
Inlocuind mai sus obtinem
De unde obtinem ca nu este patrat perfect.
Aflati numerele naturale x si y,astfel incat urmatoarele egalitati sa fie adevarate:
a) 3/5 amplificat cu y si sa fie echivalent cu x/10
b) 7/x amplificat cu y si sa fie echivalent cu 21/15
c) x+2/x+7 amplificat cu y si sa fie echivalent cu 3x+6/48
Va rog cat mai repede!!!!
Folosind metoda inductiei matematice, sa se demonstreze pentru orice numar natural n , sunt adevarate egalitatile:
a)1+2+3+…+n=[n*(n+1)]/2
b)1*1+2*2+3*3+…+n*n=[n*(n+1)*(2*n+1)]/6
c)1*2*3+2*3*4+…+n(n+1)*(n+2)=[n*(n+1)*(n+2)*(n+3)}/4
Notam egalitatea cu
Pentru n=1 obtinem
Deci pentru n=1 se verifica.
Presupunem pentru n=k afirmatia adevarata si demonstram n=k+1
Adica
Pentru
Adica: *(1)
Astfel stim ca
Din (1) avem:
Deci am demostrat.
Astfel pentru a demostra prin inductie matematica trebuie mai intai sa ne asiguram ca egalitatea se verifica, adica etapa de verificare, apoi presupunem implicatia P(K) adevarat si demostram P(K+1)
a= radical din 7 -1 supra radical 7 +1 pe langa 8 – 2 radical 7 x (ori) radical din 5 + radical din 2 supra radical din 5 – radical din 2 + radical din 5 + radical din 2 supra radical din 5 + radical din 2.
b= radical din 16 la a 2 + 12 la a 2 + radical 16 la a 2 – 12 la a 2 – radical din 16 – 12 (radical mare) la exercitiu b.
Determinati medie aritmetică,geometrică și armonică. Cât mai repede,vă mulțumesc!
x= [( 7/45 + 11/30 – 5/12) : 1,0(5) – 0,05] : 1/40
y= 0,8(3) + [0,1(6) – 0,(4) + 0,08(3)] : 7/3 x 7/20 x 19/80
Cerinta: Aratati ca x ori y=1
Scuzati-ma pentru dublu post …Daca se poate rezolvarile cat mai repede deoarece maine am teza la matematica si vreau sa fiu sigur daca le-am facut bine …
upa ce am transformat fractiile zecimale in ordinare, in paranteza rotunda aducem la acelasi numitor, astfe stim ca dar si , ir , astfel numitorul comun este:
Deci numitorul comun este 180
De unde
Astfel obtinem:
astfel obtinem
Simplificand pe diagonala obtinem:
116 răspunsuri la “Rezolvari probleme si exercitii de matematica”
Intr-un trapez dreptunghic, cu diagonalele perpendiculate intre ele, raportul lungimilor bazelor este 9 supra 16 iar aria trapezului este 1350 cm patrati. Sa se afle lungimile bazelor si a inaltimii trapezului,
Multumesc!
Demonstratie:
Stim ca
(raportul lungimilor bazelor este 9 supra 16 )
, adica daca inlocuim cu informatiile pe care le avem obtinem:


(1)
Si mai stim si ca
Dar mai stim si ca
Si daca inlocuim mai sus obtinem:
Dar acum observam ca nu avem nicio informatie despre AD, adica inaltimea trapezului, astfel construim paralela prin C la diagonala DB, care intersecteaza dreapta suport a bazei mari in punctul B.
Cum am constriut paralela prin C la DB, observam ca AC secanta si
De unde mai observam ca EB’=AB (BDCB’ paralelogram) si AE=DC (ADCE dreptunghi)
Si cum observam ca triunghiul ACB’ dreptunghic in C, si CE inaltime in triunghiul dreptunghic, aplicam Teorema inaltimii
Dar observam ca CE=AD si astfel obtinem
Si daca inlocuim in relatia (1) obtinem
Iar
Iar lungimea inaltimii trapezului este
Este o aplicatie perfecta
Suma a doua numere naturale este 88. Determinati numerele știind ca impartindu-l pe cel Mare la cel mic se obține cazul 4 si restul 13.
Fie a si b numerele naturale, stim ca



a+b=88 (suma a doua numere este 88)
Cu a>b
Mai stim si ca a:b obtinem c=4 si restul 13. Astfel cu teorema impartirii cu rest avem ca
Si inlocuind in prima ecuatie obtinem:
Iar
Si astfel am obtinut cele doua numere
A la putera radical log baza b din a minus b la puterea radical log baza b din a
Sa calculam diferenta?
Da
In paralelogramul ABCD, AB intersectat cu BD = {O}, Se duce o dreapta oarecare MN prin punctul O astfel incat M apartine lui AB , iar N apartine lui CD. Aratati ca BNMD este paralelogram
Stim din ipoteza ca ABCD paralelogram, adica de la proprietatile paralelogramului referitoare la diagonale stim ca
si ![[BO]\equiv[DO]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5BBO%5D%5Cequiv%5BDO%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
Dar in cazul nostru patrulaterul convex BMDN, cu [BD], diagonala si
, dar si MN diagonala, astfel observam ca
, adica
, dar si
, dar si
, deci cu cazul de congruenta L.U.L, observa ca cele doua triunghiuri sunt congruente si astfel obtinem si ca ![[MO]\equiv[NO]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5BMO%5D%5Cequiv%5BNO%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
Si cu reciproca teoremei referitoare la diagonale de la paralelogram obtinem ca
paraleologram
Reciproca referitoare la diagonale spune ca
Daca intr-un patrulater convex diaagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.
O pereche de schiuri si un calculator costa impreuna 3340 de lei,iar o pereche de schiuri si un telefon costa impreuna 1350 de lei. Cu cat costa mai mult calculatorul decât telefonul?
Notam cu c=pretul calculatorului, s=pretul schiurilor, t=pretul telefonului

Astfel avem, ecuatiile
Dar si

Daca scadem cele doua ecuatii obtinem:
De unde obtinem:
Asadar calculatorul este cu 1990 de lei mai scump decat telefonul.
Ma ajutati si pe mine la cele doua probleme postate ?
as dori o rezolvare la pb
suma a 2 nr este 162,iar suma rasturnatelor lor este 504.care sint nr?multumesc
ABCD este un romb si O este un punct exterior planului sau.Se construiesc simetricele lui O fata de A,B,C si D care se noteaza cu A’,B’ C’ si respectiv D’.Aratati ca dreptele A’C’ si B’D’ sunt drepte concurente si A’C’ perpendicular B’D’.
Fie tetraedrul ABCD si M e (AB), N e (AC), P miglocul lui (CD) si Q mijlocul lii BD, Daca MA= 2, MB=4, NA=3 si NC=6, aratati ca M,N,P si Q sun coplanar si
precizati natural patrulaterului MNPQ.
Știind ca a-c=37si ab- bc+13=36 b+42, Calculați b si a+ 3 b- c. Raspunde
daca a-c=37
b(a-c)+13=36b+42
37b-36b=29
b=29
il inlocuim pe b in relatia ab- bc+13=36 b+42 si il aflam pe c =0
a-c=37 ,a-0=37 a= 37
rasp:
b=29
a+3=40
b-c=29
a+b=7
a+c=8
a+b+c=12
––––-
a=?
Ma puteti ajuta?
Daca a+b=7
7+c=12
c=5
a+5=8
a=3
3+b=7
b=4
verificare
3+4+5=12
Sigur. Diseara o sa fie gata.
Buna ziua,
Sper sa ma puteti ajuta cu urmatorul exercitiu:
(1/1*3+1/3*5+1/5*7+…+1/2011*2013)*2013/1006 = ?
Multumesc mult
Astfel suma de mai sus o putem scrie
tare
Fie A’ , B’ , C’ mijlocurile laturilor triunghiului ABC. Demonstrati ca pentru orice punct O din plan OA vector + OB vector + OC vector = OA’ vector + OB’ vector + OC’ vector.
1. Aratati ca x este un patrat perfect:
,unde


, adica prumul termeni plus ultimul termen totul inmultit cu numarul de termeni, iar produsul obtinut impartit la doi.
, adica patrat perfect.


, care la fel este un patrat perfect.
![1+2+3+...+n=\left[n\cdot\left(n+1\right)\right]:2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2B2%2B3%2B...%2Bn%3D%5Cleft%5Bn%5Ccdot%5Cleft%28n%2B1%5Cright%29%5Cright%5D%3A2&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)

, si astfel am obtinut tot un patrat perfect.
a) x=1+3+5+…..101
Solutie:
Pentru a calcula suma mai intai trebuie sa aflam numarul de termeni, astfel pentru a afla numarul de termenii folosim formula:
u= ultimul termen al sumei
p=primul termen al sumei
n= numarul de termenii al sumei pe care trebuie sa-i aflam
r= ratia (adica diferenta dintre doi termeni consecutivi ai sumei)
Astfel obtinem ca:
Iar suma termenilor
Astfel stim ca termenii sumei sunt in numar de:51
Acum pentru a calcula suma folosim formula
astfel obtinem
Sau daca ati invatat factorul comun folosim formula lui Gauss, si factorul comun, astfel suma se rescrie
Observati ca in cazul metodei a doua am folosit formula
b) x=4+8+12+….196
In cazul de mai sus folosim tot metoda factorului comun intrucat in acest caz este mai usoara
Astfel avem ca
Iar cu formula lui Gauss obtinem:
c) x=1+3+5+…..2005


![1+3+5+...+2005=\left[\left(2005+1\right)\cdot 1003\right]:2=\left(2006\cdot 1003\right):2=2012018:2=1006009=1003^{2}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2B3%2B5%2B...%2B2005%3D%5Cleft%5B%5Cleft%282005%2B1%5Cright%29%5Ccdot+1003%5Cright%5D%3A2%3D%5Cleft%282006%5Ccdot+1003%5Cright%29%3A2%3D2012018%3A2%3D1006009%3D1003%5E%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)


, adica patrat perfect.
![2\cdot\left(1+2+3+...+1003\right)=2\cdot\left[1003\cdot\left(1003+1\right)\right]=2\cdot 1003\cdot 1004:2=1003\cdot 1004](https://s0.wp.com/latex.php?latex=2%5Ccdot%5Cleft%281%2B2%2B3%2B...%2B1003%5Cright%29%3D2%5Ccdot%5Cleft%5B1003%5Ccdot%5Cleft%281003%2B1%5Cright%29%5Cright%5D%3D2%5Ccdot+1003%5Ccdot+1004%3A2%3D1003%5Ccdot+1004&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)

Pentru a calcula suma de mai sus folosim prima formula, astfel mai intai aflam numarul de termeni:
unde 2 este ratia, adica
Astfel am aflat ca termeni sunt in numar 1003
Acum aplicand formula pentru cei 1003 termeni obtinem
Sau cu suma lui Gauss cum am aratat mai sus:
Pentru a afla cate cifre de 1 apar putem sa observam si la ultimul termen al sumei cand am factorul comun, astfel in cazul nostru 1002.
d) x=1004+2+4+……2006
Pentru a arata ca suma de mai sus este patrat perfect calculam mai intai suma
La fel cum factorul comun obtinem
si astfel obtinem ca
e) x=1203+2+4+……..2404
Inlocuind in x obtinem
, adica patrat perfect
La fel ca si mai sus calculam mai intai suma
f) x=5 la puterea a 10 + 6 inmultit cu 5 la a 9 + 9 inmultit cu 5 la a 8

obtinem:
, adica patrat perfect.




Dand factor comun pe
2. Aratati ca :
M= 111+ 222 la a 2 + 333 la a 3 + 444 la a 4 + 555 la a 5 – 12345 nu este patrat perfect
Astfel cu regulile de calcul cu puteri avem
De unde obtinem
Astfrl dand factor comun pe 111 obtinem:
Astfel obtinem
3. Aratati ca a=3 la 2012 + 6 la 2012 nu este patrat perfect
4. Calculati dublul lui 2 la a 18
5. Aratati ca n=3 + 3 la a 2 +3 la a 3 +3 la a 4 a + 3 la a 5 +3 la 6 este patrat perfect
6. Aratati ca n=3 la puterea 2n+2 inmultit cu 4 la 2n+3 – 2 la 2n+1 inmultit cu 6 la2n+3 este patrat perfect pentru orice n numar natural
7. Aratati ca n=(3 la 201 + 3 la 204 ) : ( 3 la 201 – 3 la 200 + 3 la 199) este patratul lui 6
8. Determinati ultima cifra a numerelor: a=3 la 2012, b=2 la 2013 , c=5 la 2015 + 6 la 2014 +4 la 2013 + 3 la 2012 +2 la 2011 si d= 3 la n+1 inmultit cu 5 la n+2 – 15 n – 3 la n inmultit cu 5 n+1, unde n este nr. natural
9. Aratati ca n este nr. patrat perfect, unde n=1+ 2 la puterea 0 + 2 la 1 +2 la 2 + 2 la 3 + ……+ 2 la 2001
Nota : In lucru 🙁 !
Multumesc ! Va rog si rezolvarea la celelalte exercitii !!!
Este in lucru 🙂
2. Aratati ca :







, adica M nu este patrat perfect.

, cum ultima cifra este 2 rezulta ca numarul a nu este patrat perfect.

, cum ultima cifra este 4 rezulta ca n este patrat perfect.



, unde obtinem ca n este patrat perfect

, care este patratul lui 6.
, ultima cifra a lui a este

, avem
, impartind pe 2013:4 obtinem 503 rest 1, si cum pe noi restul ne intereseaza obtinem ca U(b)=U(2)=2


M= 111+ 222 la a 2 + 333 la a 3 + 444 la a 4 + 555 la a 5 – 12345 nu este patrat perfect
Astfel cu regulile de calcul cu puteri avem
De unde obtinem
Astfrl dand factor comun pe 111 obtinem:
Astfel obtinem
De unde obtinem
Adica
Astfel daca calculam ultima cifra a numaului M obtinem
3. Aratati ca a=3 la 2012 + 6 la 2012 nu este patrat perfect
La fel ca si la exercitiul anterior calculam ultima cifra a numarului a, astfel avem:
4. Calculati dublul lui 2 la a 18
5. Aratati ca n=3 + 3 la a 2 +3 la a 3 +3 la a 4 a + 3 la a 5 +3 la 6 este patrat perfect
La fel ca si mai sus calculam ultima cifra a numarului n
6. Aratati ca n=3 la puterea 2n+2 inmultit cu 4 la 2n+3 – 2 la 2n+1 inmultit cu 6 la2n+3 este patrat perfect pentru orice n numar natural
Astfel n devine
Astfel obtinem ca
Adica
7. Aratati ca n=(3 la 201 + 3 la 204 ) : ( 3 la 201 – 3 la 200 + 3 la 199) este patratul lui 6
and factor comun obtinem
8. Determinati ultima cifra a numerelor: a=3 la 2012, b=2 la 2013 , c=5 la 2015 + 6 la 2014 +4 la 2013 + 3 la 2012 +2 la 2011 si d= 3 la n+1 inmultit cu 5 la n+2 – 15 n – 3 la n inmultit cu 5 n+1, unde n este nr. natural
Pentru a afla ultima cifra a unui numar impartim exponentul la 4 si luam restul ca exponent, astfel pentru
Astfel avem
Multumesc !
calculati si comparati numerele
a=3 la puterea 201
b= 2 la puterea 337- 2 la puterea 336 – 2 la puterea 335
Observam ca $latex 201<335$, astfel obtinem ca $latex 2^{201}<2^{335}$
Observati ca in cazul celui de-al doilea numar b am dat factor comun pe
si efectuand calculele am obtinut
, de unde am obtinut si ca $latex a
Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia log3 (x la 2 + 1) = log3 1
Pentru a rezolva ecuatia logaritmica, observam ca avem aceeasi baza la logaritmi, astfel egalam argumentul
Pentru a fii siguri ca solutia ecuatiei convine inlocuim in ecuatia logaritmica si obtinem:
adica se verifica, asadar solutia ecuatiei este x=0
Pentru maine, va rog !
1. Aratati ca n este nr. patrat perfect, unde n= 1+2 la 0 +2 la 1 +2 la 2 +2 la 3 +……2 la 2001
2. Aratati ca n mai mic decat 2 la 51, unde n= 2 la 0 + 2 la1 + 2 la 2 ….+2 la 50
3. Aratati ca urmat. nr. sunt patrate perfecte:
a) n= 2014 + ( 1+2+……… + 2013) inmultit cu 2
b) n= 2 la 2n+1 + 5 inmultit cu 2 la 2n+2 + 4 la n
1. Folosind formula de calcul
. obtinem pentru suma

, adica

, cum ultima cifra este 1, rezulta ca n este patrat perfect.
Acum stim ca
Iar pentru a afla daca este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului:
2. $latex n<2^{51}$
unde $latex n=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+…+2^{50}$
La fel ca si mai sus $latex n=\left(2^{50+1}-1\right):\left(2-1\right)=\left(2^{51}-1\right):1=2^{51}-1<2^{51}$
3. a) $latex n=2014+(1+2+3+…+2013)\cdot 2$
Mai intai calculam suma cu ajutorul Formulei lui Gauss
$latex 1+2+3+4+…+2013=\left[2013\cdot\left(2013+1\right)\right]:2=\left(2013\cdot 2014\right):2=4054182:2=2027091$
Acum inlocuind in n obtinem
$latex n=2014+2027091\cdot 2=2014+4054182=2014+2013\cdot 2014=2014\left(1+2013\right)=2014\cdot 2014=2014^{2}$, adica este patrat perfect.
b) $latex n=2^{2n+1}+5\cdot 2^{2n+2}+4^{n}\cdot 3$
Astfel cu regulile de calcul cu puteri n devine:
$latex n=2^{2n}\cdot 2^{1}+5\cdot 2^{2n}\cdot 2^{2}+\left(2^{2}\right)^{n}\cdot 3$
Adica
$latex n=2^{2n}\cdot 2+2^{2n}\cdot 5\cdot 4+2^{2n}\cdot 3=2^{2n}\left(2+5\cot 4+3\right)=2^{2n}\cdot\left(2+20+3\right)=2^{2n}\cdot 25=2^{2n}\cdot 5^{2}=\left(2^{n}\cdot 5\right)^{2}$, adica patrat perfect
Cubul ABCDA`B`C`D` are AB=8cm. Calculati masurile unghiurilor formate de dreptele :
a) BC` cu AC;
b) BA` cu DC;
c) BC` cu D`O , unde AC intersectat BD = {O} .
Astept un raspuns,va rog!
O gaina jumate face un ou jumate , intr-o zi jumate. Cate gaini fac 17 oua in 8 zile? Ms
Ce e si cu tampenia asta ? Am lasat acest comentariu pentru a vedea toti utilizatorii cam ce probleme se dau ca tema. 🙂 :))))
Determinati ultima cifra a numerelor:
2004 LA puterea n + 2004 LA puterea n+1 + 2004 LA puterea n(n+1)
aratati ca nr 2009 la puterea n +2014 la puterea n nu poate fi patrat perfect
cum se compara numerele 5 la puterea 34 si 3 la puterea 51?
Se descompune 5 la puterea 34 in ( 5 la puterea 2) la puterea 17 si ne da 25 la putere 17;
3 la puterea 51 se scrie (3 la puterea 3) totul la puterea 17 si obtinrm 27 la puterea 17;
Concluzia. 5 la puterea 34 este mai mic decat 3 la puterea 51
aflati muchia unei piramide hexagonale regulate stiind ca latura bazei este 6 cm si unghiul din varful unei fete laterale este 30 grade.
a) 2 la puterea x plus 2 la puterea x-1 plus 2 la puterea x-2=7
b) 3 la puterea x plus 3 la puterea 2x = 90
c) 3 la puterea x la puterea 2 minus 4*3la puterea x = 45
Va rog ajutati-ma sa le rezolv sunt in clasa a 5a. Multumesc
a)
si obtinem:




obtinem:





Inmultim mai intai egaliatea de mai sus cu
Si obtinem:
Adica
Mai sus am folosit regulile de calcul cu puteri.
Acum ecuatia de mai sus se rescrie:
Si dand factor comun pe
Si efectuand calculele in parnteza obtinem:
Observati ca dupa ce am efectuat calculele, efectuam operatia de impartire dintre membrul drept si 7.
b)
Cu regulile de calcul cu puteri obtinem
Adica
multumesc mult!
La punctul b, cand dam factor comum pe 3 la puterea x nu are cum sa ramana 3 la puterea a 2 pentru ca 3 la pu terea x inmultit cu 3 la puterea 2 este 3 la puterea x+2 nicidecum 3 la puterea 2x. Nu cred ca este correct.
Daca rezolvam ecuatia pentru clasa a X a atunci putem sa spunem ca notam cu
si ecuatia devine:


, deci solutia ecuatiei este tot 2.
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care o rezolvam:
Si obtinem
$latex t_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1-\sqrt{361}}{2\cdot 1}=\frac{-1-19}{2}=\frac{-20}{2}=-10<0$, care nu convine
Si
$latex t_{2}=\frac{-1+19}{2}=\frac{18}{2}=9>0$
Astfel avem ca
sunt in cls.5 a.
2radical 16 -16/8-3
Ca sa calculam exercitiu, mai intai calculam radicalul, iar apoi simplificam fractia prin 2 si efectuam diferenta
lim x la puterea a 3+1
x->-1 –––––––––
x la a 2-1
lim x x la puterea a 3+1/xvla puterea a 2-1
x->-1
Ca sa calculam limita de mai sus in functia
1.ordonati crescator nr naturale a,b,c,d,e,f stiind ca:a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13
2.determinati nr de forma abc stiind ca a+1=b=c-1
3.determinati nr naturale n si abc(scris in baza 10)pt care abc*n=1abc(scris in baza 10)
multumesc celor care ma pot ajuta
daca se poate ceva informatii teoretice despre probleme de numarare
Un laptop si o tableta costa 1700 lei, iar 3 laptopuri si 4 tablete costa 5300 lei. Ce pret are fiecare obiect?
Rog ajutor pt rezolvare.
Notam cu x pret laptop si y pret tableta





Dar si
Daca scoatem pe x din prima ecuatie obtinem:
Si inlocuind in cea de-a doua obtinem:
Adica pretul tabletei este de 600 lei. Iar pretul laptopului este:
Care este diferenta dintre cel mai mare si cel mai mic numar de forma 5a3b , in care suma cifrelor a si b este 11?
rog ajutor pt rezolvare.
Cel mai mare numar de forma 5a3b cu suma ciferelor a si b=11 este 5932, iar cel mai mic numar de forma 5a3b este 5239, unde a si b sunt cifre.
Astfel diferenta numerelor este 5932-5239=693
Pe planul dreptunghiului ABCD se ridica perpendiculara AM.Se stie ca AB=20CM,BC=15,AM=20CM
a Calculati MB si MD
b Calculati d(A,BC0 si d(B,(MAD))
Pe planul rombului ABCD se ridica perpendiculara AE.Se stie AB=16CM,AE=12CM,m (BAD)=60
a Calculati EB
b Daca AC apartine BD= 0 calculati EO
c Aratati ca BD perpendicular pe (AEO)
d Calculati d(B,(EAD))
Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte, studiind ultima cifra:
a. 1234567=
b. 248 la puterea 17=
c. 132 * 5674=
Astept un raspuns
Multumesc
a. U(1234567) este egal cu 7. Rezulta ca nr. nu e patrat perfect. Deoarece ultima cifra a unui patrat perfect este 0,1,4,5,6 sau 9.
. Rezulta ca nr. nu e patrat perfect.
. Rezulta ca nu e patrat perfect.
b.
c.
MA POATE AJUTA CINEVA?
MULTUMESC
Incercam azi 🙂
196 X 94 -196X92-2X193. Se poate cu explicatie? Multumesc
Intre primii doi termeni dam factor comun pe 196 si obtinem
. Acum efectuand in paranteza rotunda calculele obtinem :
. Acum dand factor comun pe 2 obtinem 
aflati masurile a doua ungiuri complementare stiind ca raportul masurilor lor este 3supra5.
Aratati ca numarul n=27la9.32la11:2-16la6.2.6la27 este patrat perfect
Daca a, b, c apartin Q si ab+bc+ca=1, aratati ca radical din (1+a la patrat)(1+ b la patrat)(1+c la patrat) apartine Q.
Stim ca
si 

![\sqrt{\left[a\left(b+a\right)+c\left(b+a\right)\right]\left[b\left(a+b\right)+c\left(b+a\right)\right]\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B%5Cleft%5Ba%5Cleft%28b%2Ba%5Cright%29%2Bc%5Cleft%28b%2Ba%5Cright%29%5Cright%5D%5Cleft%5Bb%5Cleft%28a%2Bb%5Cright%29%2Bc%5Cleft%28b%2Ba%5Cright%29%5Cright%5D%5Cleft%5Bb%5Cleft%28a%2Bc%5Cright%29%2Bc%5Cleft%28a%2Bc%5Cright%29%5Cright%5D%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)

Astfel in locul cifrei 1 putem scrie: ab+bc+ca astfel obtinem sub r
Astfel daca dam factor comun iun prima paranteza intre primul si ultimul termen pe a obtinem
Astfel obtinem
Astfel obtinem
Ceea ce trebuia sa demonstram.
Suma a trei numere este 183 .Aflati numerele stiind ca daca impartim pe primul la al doilea obtinem,catul 4 si restul3, iar daca il impartim pe al doilea la al treilea obtinem catul 3 si restul4.
reptele OA , OB si OC sunt perpendiculare doua cate doua , OA⊥OB⊥OC⊥OA si OA= 12√2 CM.
Aflati :
a) distanta de la A la M ; M∈BC
b)distanta lui O la planul (ABC)
c)distanta de la C la planul (AOM)
d) Daca N∈Ac , AN=NC, stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul (AOB)
HELPPP !!!!!!!!!!!
G=(3,+∞),x*y=xy-3x-3y+12 (∀) xy ∈ G
H=(2,+∞),xoy=xy-2x-2y+6 (∀) xy ∈ H
f:G-H,f(x) = x-1
Aratati ca f este izomorfism de la gr. (G,*) la gr (H,o) .
Pentru a arata ca f este izomorfism de la grupul
la 

, deci f este injectiva.
astfel incat 
, astfel obtinem ca f este surjectiva.

, deci f este morfism
aratam mai intai ca f este bijectiva, f este morfism, adica
1.f este bijectiva, daca f este injectiva si surjectiva
f injectiva
Presupunem
Acum f este surjectiva
Astfel avem
cum f surjectiva si injectiva obtinem ca f este bijectiva.
2. avem ca
Si
din 1. si 2. rezulta ca f este izomorfism
G=(3,+∞),x*y=xy-3x-3y+12 (∀) xy ∈ G
H=(2,+∞),xoy=xy-2x-2y+6 (∀) xy ∈ H
f:G-H,f(x) = x-1
Aratati ca f este izomorfism de la gr. (G,*) la gr (H,o) .
Fie G =(5;+∞) si legea x*y=xy-5x-5y+30,(∀) x,y ∈ G. Aratati ca G,*) grup abelian.
Cat mai repede va roog
Va roog cat mai repede ca imi trebuie maine
Tu nu intelegi ca tema trebuie sa ti-o rezolvi singur ? Acest site te ajuta doar sa rezolvi o parte din tema, nu ti-o rezolva pe toata 🙁 .
S se rezolve ecuatiile de gradul 1
a) x1=2+i
b) x1=4-5i
va rog
un dreptunghi are latimea egala cu trei optimi din lungime,iar aria dreptunghiului este egala cu 1944 cm2. Calculati perimetrul dreptunghiului.
un dreptunghi are latimea egala cu trei optimi din lungime,iar aria dreptunghiului este egala cu 1944 cm2. Calculati perimetrul dreptunghiului.
am 2 ore de cand incerc sa aflu perimetrul si nu stu cum,Imi poate da cineva un indiciu
un dreptunghi are latimea egala cu trei optimi din lungime,iar aria dreptunghiului este egala cu 1944 cm2. Calculati perimetrul dreptunghiului.
am 2 ore de cand incerc sa aflu perimetrul si nu stiu cum,Imi poate da cineva un indiciu????????????
Stim ca






Si mai stim si ca
ar stim de mai sus ca latimea este egala cu 3 optimi din lungime, astfel daca inlocuim in relatia cu aria gasim:
Astfel obtinem
Observati ca am obtinut ca lungimea la patrat este egal cu 5184. Pentru cei care stiti radicalul este simplu, dar pentru cei care nu l-ati invatat, descompunem numarul 5184
Cum avem acelasi exponent egalam bazele, adica
Iar latimea:
2^3x=2^12
1)Fie functiile f,g:(0;+∞)-R, f(X)=1+ln x si
. Aratati ca g este o primitiva a lui f
. Aratati ca f este o primitiva a lui g.
. Aratati ca F este o primitiva a lui f
2) Fie functiile latex f,g:(0;+∞)-R, f(X)=x^{2} + x\ln x si
3)Fie functiile
4) Fie functiile f:R-R f(x)=f(x)= \left \{ {{x+2,x\ \textless \ 0} \atop {e^x+1,x \geq0 }} \right.
Aratati ca f admite primitive pe R.
1. g este primitiva a functiei f, daca
astfel 
Observati ca am folosit teorema conform careia g derivat de x este egal cu f(x), asadar folosind regulile de derivare obtinem ca g este o primitiva a functiei f
Sase rezolve ecuatia:
a) (t-3)^2+(3z-1)^2=0
b) x^2-10x+13=0
Mihai are o suma de bani.Pentru a cumpara 6 mingi,ar mai avea nevoie de 10 lei.Daca si-ar cumpara 9 mingi, ar mai avea nevoie de 55 de lei. Ce suma are Mihai ?
1)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y=x+y-2
a)Calculati 5*(-5)
2)Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa
3)Calculati (-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3
2)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa x*y=x+y-1
a)Aratati ca x*1=x pentru orice x apartine lui R
b) Rezolvati in multimea numerelor reale x*x*x=4
3)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y=2xy-6x-6y+21
a) Aratati ca x*y =2(x-3)(y-3)+3 oricare ar fi x,y apartine lui R
b)Aratai ca legea „*” este asociativa
c) Calculati 1*2…*2011
4) Pe multimea R se defineste legea de compozitie x*y=xy+x+y
a) Aratati ca „*” este asociativa
b) Determinati elementul neutru al legii „*”
c)Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia x^2*2=x*4
Mihai a cheltuit o suma de bani in doua zile. In prima zi Mihai a cheltuit 30% din suma, iar I a doua zi restul 35 de lei. Calculeaza suma de bani cheltuita de Mihai in prima zi.
Notam cu x suma de bani. In prima zi stim ca a cheltuit 30%, adica formam ecuatia



Acum rezolvand ecuatia obtinem:
eci suma pe care o avea Mihai era de 50 lei.
Daca a cheltuit 30%, adica
Deci in prima zi a cheltuit 15 lei
Pentru premiile unui concurs s-au cumparat 107 carti de 9 lei,15 lei,20 lei,in valoare totala de 1550 lei.Cate carti s-au cumparat de fiecare pret stiind ca nr. cartilor de 15 lei este cu 7 mai mic decat cel de 20 lei.
Notam cu x pretul unei carti cu 9 lei, y pretul unei carti cu 15 lei si z pretul unei carti cu 20 lei
(avem 107 carti)
(in total s-au patiti 1550 lei)
Astfel formam ecuatiile:
Dar si
Dar mai stim si ca
Inlocuind in prima ecuatie obtienem:



, adica s-au cumparat 30 carti cu 15 lei
cu 9 lei
Acum inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem
De unde obtinem:
Deci s-au cumparat 37 de cari cu 20 de lei.
Acum stim ca
Si stim ca
Pentru a efectua proba stim ca x+y+z=107, adica 40+30+37=70+37=107. Deci se verifica
an=[radical 5]+[2radical din 5]+[3radical din5]….+[n radical din5] supra / 2n la a 2 +n
Prin varful C al triunghiului isoscel ABC, [AC] congruent cu [BC], se duce o paralela d la AB.Mediana BM intersectat cu d = {P} si mediana AN intersectat cu d = {Q}.Aratati ca ABQP este trapez isoscel.
1. Se considera patratul Efgh si punctele M apartine (EF), N apartine (FG),P apartine (GH) si Q aparine (HE) astefel incat [EM] congruent cu [FN] congruent cu [GP] congruent cu [HQ]. Aratati ca MNPQ este patrat.
2. In trunghiul [BM, M apartine 9AC0. Din punctul M se duce MN parpendicular pe BC, N apartine (BC), iar prin punctul N se duc paralele NP || AB si NQ || AC, unde P apartine (AC) si Q apartine (AB). Aratti ca:
a) AQNP este dreptungi;
b) Qp = AN= BC/2
Cele 428 de scaune dintr-o sala de spectacole sunt asezate in 20 de randuri, fiecare rand avand 21 sau 22 de scaune. Determinati numarul de randuri din sala care au cate 22 de scaune.
Consider the circle having the center in C(0,1) and the radius r=2.
a) Draw the circle in a rectangular system of coordinates;
b) Write the equation of this circle;
c) Find the coordinates of points M and N of intersection between this circle and the x-axis;
d) Find the coordinates of points P and Q of intersection between this circle and the y-axis;
e) Discuss the nature of tetragon MPNQ and compute its area;
f) Compute the perimeter of tetragon MPNQ.
Sper ca cerinta in limba engleza sa nu fie o problema masora, as putea sa traduc daca nu se intelege.
Buna ziua matepedia! Daca ati putea sa ma ajutati cu doua exercitii:
1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=(n^3)(2n^3-1)
1*4+2*7+3*10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2
– inductii matematice, urgent, va rog!!
Diseara vom rezolva.
Arătați că nr 2+4+6+….2n nu este pătrat perfect.
Dand factor comun pe 2 obtinem
![1+2+3+...+n=\left[n\cdot\left(n+1\right)\right]:2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2B2%2B3%2B...%2Bn%3D%5Cleft%5Bn%5Ccdot%5Cleft%28n%2B1%5Cright%29%5Cright%5D%3A2&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
![2\cdot\left(1+2+3+....+n\right)=2\cdot\left[n\cdot\left(n+1\right)\right]:2=n\cdot\left(n+1\right)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=2%5Ccdot%5Cleft%281%2B2%2B3%2B....%2Bn%5Cright%29%3D2%5Ccdot%5Cleft%5Bn%5Ccdot%5Cleft%28n%2B1%5Cright%29%5Cright%5D%3A2%3Dn%5Ccdot%5Cleft%28n%2B1%5Cright%29&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
Suma care putem sa o calculam cu suma lui Gauss
Adica
Inlocuind mai sus obtinem
De unde obtinem ca nu este patrat perfect.
Aflati numerele naturale x si y,astfel incat urmatoarele egalitati sa fie adevarate:
a) 3/5 amplificat cu y si sa fie echivalent cu x/10
b) 7/x amplificat cu y si sa fie echivalent cu 21/15
c) x+2/x+7 amplificat cu y si sa fie echivalent cu 3x+6/48
Va rog cat mai repede!!!!
x*y=xy-3x-3y+12 sa fie asociativa
cu cat mai repede va rog
Folosind metoda inductiei matematice, sa se demonstreze pentru orice numar natural n , sunt adevarate egalitatile:
a)1+2+3+…+n=[n*(n+1)]/2
b)1*1+2*2+3*3+…+n*n=[n*(n+1)*(2*n+1)]/6
c)1*2*3+2*3*4+…+n(n+1)*(n+2)=[n*(n+1)*(n+2)*(n+3)}/4
Notam egalitatea cu
![1=[1\cdot(1+1)]:2\Rightarrow 1=\frac{1\cdot 2}{2}\Rightarrow 1=1](https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%3D%5B1%5Ccdot%281%2B1%29%5D%3A2%5CRightarrow+1%3D%5Cfrac%7B1%5Ccdot+2%7D%7B2%7D%5CRightarrow+1%3D1&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)



*(1)



Pentru n=1 obtinem
Deci pentru n=1 se verifica.
Presupunem pentru n=k afirmatia adevarata si demonstram n=k+1
Adica
Pentru
Adica:
Astfel stim ca
Din (1) avem:
Deci am demostrat.
Astfel pentru a demostra prin inductie matematica trebuie mai intai sa ne asiguram ca egalitatea se verifica, adica etapa de verificare, apoi presupunem implicatia P(K) adevarat si demostram P(K+1)
a= radical din 7 -1 supra radical 7 +1 pe langa 8 – 2 radical 7 x (ori) radical din 5 + radical din 2 supra radical din 5 – radical din 2 + radical din 5 + radical din 2 supra radical din 5 + radical din 2.
b= radical din 16 la a 2 + 12 la a 2 + radical 16 la a 2 – 12 la a 2 – radical din 16 – 12 (radical mare) la exercitiu b.
Determinati medie aritmetică,geometrică și armonică. Cât mai repede,vă mulțumesc!
x= [( 7/45 + 11/30 – 5/12) : 1,0(5) – 0,05] : 1/40
y= 0,8(3) + [0,1(6) – 0,(4) + 0,08(3)] : 7/3 x 7/20 x 19/80
Cerinta: Aratati ca x ori y=1
Scuzati-ma pentru dublu post …Daca se poate rezolvarile cat mai repede deoarece maine am teza la matematica si vreau sa fiu sigur daca le-am facut bine …
upa ce am transformat fractiile zecimale in ordinare, in paranteza rotunda aducem la acelasi numitor, astfe stim ca
Deci numitorul comun este 180
De unde
Astfel obtinem:
astfel obtinem
Simplificand pe diagonala obtinem: