Aplicatii la logaritmi

Publicat în octombrie 24, 2016 de daniel

Prezentam anumite exercitii cu logaritmi, exercitii care apar la examenul de Bacalaureat.

Demonstrati ca $\log_{2}3\cdot\log_{3}5\cdot\log_{5}8=3$

Observam ca in cazul exercitiului de mai sus nu avem aceeasi baza, asadar incercam sa aducem la aceeasi baza.

Stim ca $\log_{a}A=\frac{\log_{b}A}{\log_{b}a}$
$\log_{3}[5]=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}$

Dar si $\log_{5}[8]=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}$

Rescriind exercitiul cu ce am gasit obtinem:
$\log_{2}3\cdot\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}\cdot\frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}$

Observam ca simplificam pe diagonala si obtinem $1\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{\log_{2}8}{1}=\log_{2}8=3$

In cazul exercitiului de mai sus, totul a constat in a aduce logaritmii la aceeasi baza.

2. Demonstrati ca $\log_{4}9=\log_{8}27$

Solutie:
Luam fiecare logaritm in parte si incercam sa-l rezolvam, astfel avem: $\log_{4}9=\log_{4}3^{2}=2\cdot\log_{4}3$

Am folosit regula $\log_{a}A^{n}=n\cdot\log_{a}A$ , unde $A>0 , a>0, a\neq 1$

Dar putem folosi si regula $\log_{a^{n}}A=\frac{1}{n}\log_{a}A$ .
Asadar obtinem $2\cdot\log_{4}3=2\cdot\log_{2^{2}}3=2\cdot\frac{1}{2}\log_{2}3=\log_{2}3$ .

Iar pentru $\log_{8}27=\log_{2^{3}}3^{3}=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\log_{2}3=\log_{2}3$
Astfel obtinem ca $\log_{2}3=\log_{2}3\Rightarrow \log_{4}9=\log_{8}27$ .
3. Sa se demonstreze ca numarul $A=\left(\sqrt{11}\right)^{\log_{12}144}+\log_{2}32-\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ este natural.

Solutie:
Calculam mai intai logaritmii, astfel obtinem:
$A=\left(\sqrt{11}\right)^{2}+5-\left(3^{-1}\right)^{-2}$

Observam ca pentru $\frac{1}{3}=3^{-1}$ , am folosit regula $\frac{1}{a}=a^{-1}$

Asadar $A=2+5-3^{(-1)\cdot(-2)}$
Adica $A=2+3+3^{2}$ , adica $A=5+9\Rightarrow A=14\in N$ .
Pentru cei care nu stiu sa calculeze logartimul dintr-un numar click aici.

Adica pentru $\log_{2}32$ , logaritmul numarului 2 este puterea la care trebuie ridicat 2, pentru a obtine 32, astfel avem ca $2^{5}=32$ , asadar rezultatul este 5.

4. Demonstrati ca $A=\log_{2}(5+\sqrt{7})+\log_{2}(5-\sqrt{7})-2\log_{2}3$ este intreg.

Solutie:

Folosind proprietatile logaritmilor obtinem:

$A=\log_{2}[(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})]-2\log_{2}3$

Folosind formula de calcul prescurtat $(a-b)\cdot(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , obtinem:

$A=\log_{2}[5^{2}-(\sqrt{7})^{2}]-2\log_{2}3$

Efectuand calculele obtinem $A=\log_{2}(25-7)-2\log_{2}3$

Adica $A=\log_{2}18-2\log_{2}3\Rightarrow A=\log_{2}3^{2}-2\log_{2}3\Rightarrow A=2\log_{2}3-2\log_{2}3\Rightarrow A=0\in Z$ .

5. Sa se arate ca $log_{2}432=4+3a$ , unde $a=log_{2}3$

Descompunad pe 432 obtinem $432=2^{4}\cdot 3^{3}$

Asadar avem ca $\log_{2}432=\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})$ , folosind proprietatile radicalilor obtinem:

$\log_{2}(2^{4}\cdot 3^{3})=\log_{2}2^{4}+\log_{2}3^{3}=4\cdot\log_{2}2+3\cdot\log_{2}3=4\cdot 1+3\cdot a=4+3a$ ,unde stim ca $a=\log_{2}3$ .

6. Demonstrati ca $\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}=\log_{2}3$

Solutie

Luand membrul stang obtinem ca:

$\log_{2\sqrt{2}}3\sqrt{3}$

Si mai intai introducand factorii sub radicali obtinem: $2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}$ , dar si $3\sqrt{3}=\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}}$ . asadar obtinem:

$\log_{8^{\frac{1}{2}}}27^{\frac{1}{2}}$ , folosind proprietatile radicalilor obtinem: $\frac{1}{2}\cdot\log_{8^{\frac{1}{2}}}27=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{8}27=$

$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1}\log_{2^{3}}3^{3}=\frac{2}{2}\log_{2^{3}}3^{3}=$

$1\cdot 3\log_{2^{3}}3=$

$\frac{3}{3}\log_{2}3=\log_{2}3$ , adica ceea ce trebuia sa demonstram.

Reprezentarea analitica a dreptei in plan Ecuatia carteziana generala a dreptei

Publicat în noiembrie 8, 2014noiembrie 8, 2014 de MATEPEDIA

Consideram un plan cartezian P, cu un reper cartezian Ox, Oy.
Definitie: O multime $d\subset P$ este o dreapta daca si numai daca exista trei numere reale a, b, c ci $a\neq 0$ sau $b\neq 0$ , astfel incat:
$d=\left\{\left(x,y\right)|ax+by+c=0\right\}$

Daca are loc relatia de mai sus spunem ca d este dreapta de ecuatie: $ax+by+c=0$ si se scrie $d:ax+by+c=0$

Despre dreapta $d:ax+by+c=0$ afirma:
– d are aceeasi directie cu Ox (este orizonatala) daca si numai daca $a=0$
– d are aceeasi directie cu Oy (este verticala) daca si numai daca $b=0$
– d este oblica daca si numai daca $a\neq 0$ , si $b\neq 0$
Dreptele $d:ax+by+c=0$ si $d':a'x+b'y+c'=0$ coincid, daca si numai daca exista un numar real $\lambda\neq 0$ astfel incat:
$a'=\lambda\cdot a, b'=\lambda\cdot b, c'=\lambda\cdot c$

Aplicatie:

1. Aflati valoarea parametrului $c\in R$ pentru care dreapta de ecuatie $d:2x-3y+c=0$ trece prin punctul $A\left(6, 3\right)$

Solutie: $A\in d\Rightarrow 2\cdot 6-3\cdot 3+c=0\Rightarrow 12-9+c=0\Rightarrow 3+c=0\Rightarrow c=-3$

Deci c=-3.

Ecuatii carteziene particulare a dreptei

Fie dreapta $d:Ax+By+C=0$ , unde $A\neq 0$ sau $B\neq 0$

Daca $B\neq 0$ , adica b nu are aceeasi directie cu Oy si avem $Ax+By+C=0\Leftrightarrow y=-\frac{A}{B}-\frac{C}{A}$ , de unde notam $y=-\frac{A}{B}$ si $n=-\frac{C}{A}$ si obtinem ecuatia $y=mx+n$

Dar exista si reciproca, astfel consideram numerele reale m si n date de ecuatia unei drepte care nu are aceeasi directie cu Oy, $y=mx+n$

astfel $y=mx+n\Leftrightarrow mx-y+n=0\Leftrightarrow ax+by+c=0$ , cu $a=m. b=-1, c=n$ .

Definitie: Vom spune ca $y=mx+n$ este ecuatia carteziana explicita a dreptei in plan.

Daca dreapta d are ecuatia $y=mx+n$ , atunci:

– numarul m se numeste panta dreptei d sau coeficientul unghiular al dreptei d.

-numarul n se numeste ordonata la origine a dreptei d

Observatie: Numai dreptele care nu sunt verticale pot fi reprezentate printr-o ecuatie explicita.

Teorema. Daca m este panta unei drepte care nu este verticala si care trece prin punctele $A\left(x_{A}, y_{B}\right), B\left(x_{B},y_{B}\right)$ , atunci $m=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}$

Daca m este panta unei drepte d care nu este verticala si $\theta$ este masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox, atunci $m=\tan\theta$

Observatie. In cazul dreptei oblice sau orizontale $d:y=mx+n$ , masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox este $\theta=\arctan m$ .

Fie d si d’ doua drepte care nu sunt verticale $d: y=mx+n$ si $d^{'}:y=m^{'}x+n^{'}$

Folosind semnificatia geometrica a pantei, rezulta:

-d si d’ au aceeasi directie daca si numai daca $m=m^{'}$

– d si d’ sunt paralele daca si numai daca $m=m^{'}$ si $d\neq d^{'}$

Ecuatia unei drepte care trece printr-un punct dat:

Fie in plan un punct $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ si o dreapta d care trece prin punctul A.

Daca d este verticala atunci ecuatia dreptei d este $d:x=x_{A}$

Daca d nu este verticala, atunci scriem ecuatia lui d sub forma explicita si anume $y=mx+n$ , unde $m,n\in R$ . cum stim ca $A\in d$ , avem $y_{A}=mx_{A}+n$ , adica $n=y_{A}-mx_{A}$ si cu ecuatia de mai sus obtinem $y=mx+n=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=mx-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$

Asadar ecuatia unei drepte d care trece prin punctul $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ si are panta m este $y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$

Dar trebuie sa scriem si ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte.

Ecuatia unei drepte care trece prin punctele distincte $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ si $B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ este:

– AB: $x=x_{A}$ , daca $x_{A}=x_{B}$

– $AB:y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$ , daca $x_{A}\neq x_{B}$ , unde $m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$

Aplicatie:

Scrieti ecuatia dreptei care trece prin punctele A, B, unde:

a) $A\left(-2,4\right), B\left(-2, 1\right)$

Avem $x_{A}=x_{B}=-2$ , deci $AB||Oy$ si $AB:x=-2$

b) $A\left(2, 3\right), B\left(-1, 3\right)$ , deci cu notiunile de mai sus obtinem ca $y_{A}=y_{B}$ , deci $AB||Ox$ si $AB:y=2$

c) $A\left(1, 2\right),B\left(3, 5\right)$

Constatam ca dreapta AB este oblica, deoarece:

$x_{A}\neq x_{B}\Rightarrow 1\neq 3$ si $y_{A}\neq y_{B}\Rightarrow 2\neq 5$

Iar ecuatia dreptei este: $y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)$

Iar $m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}$

Iar ecuatia dreptei este: $y-2=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\Rightarrow 2\left(y-2\right)=3\left(x-1\right)\Rightarrow 2y-4=3x-3\Rightarrow 3x-2y+4-3=0\Rightarrow 3x-2y+1=0$

Sau putem sa scriem ecuatia dreptei si cu ajutorul ecuatiei drepte explicite, deci stim ca $y=mx+n$

Adica $AB:y=mx+n$ , adica coordonatele punctelor A si B trebuie sa verifice aceasta ecuatie, deci

$2=m\cdot 1+n\Rightarrow 2=m+n$

Dar si $5=m\cdot 3+n\Rightarrow 5=3m+n$ acum din cele doua relatii gasite trbuie sa aflam m si n.

$2=m+n\Rightarrow m=2-n$

Acum daca inlucuim in cea de-a doua relatie obtinem $5=3m+n\Rightarrow 5=3\cdot\left(2-n\right)+n\Rightarrow 5=6-3n+n\Rightarrow 5-6=-2n\Rightarrow -1=-2n\Rightarrow n=\frac{1}{2}$

Iar acum sa aflam m $m=2-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{3}{2}$

Deci ecuatia dreptei este $y=mx+n\Rightarrow y=\frac{3}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\Rightarrow 2y=3x+1\Rightarrow 2y-3x-1=0\Rightarrow -3x+2y-1=0\Rightarrow 3x-2y+1=0$

Rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice

Publicat în septembrie 9, 2014septembrie 10, 2014 de MATEPEDIA

Astazi ne ocupam de rezolvari pentru vizitatori si vom trata rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice.

Prezentam mai multe ecuatii exponentiale si logaritmice rezolvate, astfel incepem prin a rezolva o ecuatie exponentiala:

a) $5^{x}-5^{3-x}=20$

Ca sa rezolvam aceasta ecuatie mai intai ne folosim de regulile de calcul cu puteri si rescriem ecuatia: $5^{x}-5^{3}\cdot 5^{-x}=20$ deoarece stim ca $a^{-1}=\frac{1}{a}$

Ecuatia devine $^{5^{x})}5^{x}-^{1)}5^{3}\cdot\frac{1}{5^{x}}=^{5^{x})}20$

Acum daca aducem la acelasi numitor obtinem:

$\frac{5^{x}\cdot 5^{x}-1\cdot 5^{3}}{5^{x}}=\frac{5^{x}\cdot 20}{5^{x}}\Rightarrow 5^{2x}-125-20\cdot 5^{x}=0$

Aceasta ecuatie putem sa o rescriem:

$\left(5^{x}\right)^{2}-20\cdot 5^{x}-125=0$

Observati ca am folosit regulile de calcul cu puteri.

Acum daca notam $5^{x}=t$ ecuatia devine:

$t^{2}-20\cdot t-125=0$

Si astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea, unde a=1, b=-20 si c=-125

Acum calculam $\Delta =b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-20\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-125\right)=400+500=900$

Acum calculam $t_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)+\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25$

Si $t_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)-\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20-30}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

Deci am obtinut doua solutii ale ecuatiei dar deorece $5^{x}>0$ , rezulta ca -5 nu poate sa fie egal cu $5^{x}$ si deci singura solutie a ecuatiei se obtine din $5^{x}=t_{1}\Rightarrow 5^{x}=25\Rightarrow 5^{x}=5^{2}\Rightarrow x=2$

b) $9^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0$

Observam ca la fel ca la exercitiul de mai sus avem o ecuatie exponentiala, astfel stim ca

$3^{2}=9$

Deci ecuatia devine $\left(3^{2}\right)^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0$

Sau cu regula de calcul $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}$

$\left(3^{\sqrt{x}}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0$

Si daca notam $3^{\sqrt{x}}=t$

Ecuatia devine $t^{2}-4\cdot t+3=0$

Iar cu $\Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

Si $t_{1}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$

Dar si $t_{1}=\frac{-\left(-4\right)\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$

Deci avem doua solutii pozitive si avem $3^{\sqrt{x}}=t_{1}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=3\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1$

Deoarece avem functia radical pentru a exista radicalul de ordinul doi punem conditia ca $x\geq 0\Rightarrow x\in\left[0; +\infty\right)$

Dar mai avem si ca $3^{\sqrt{x}}=t_{2}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=1\Rightarrow$

$3^{\sqrt{x}}=3^{0}$ $\Rightarrow x=0$

Pentru a fi siguri ca solutiile obtinute sunt corecte inlocuim x=0 in ecuatia initiala si obtinem:

$9^{\sqrt{0}}-4\cdot 3^{\sqrt{0}}+3=1-4\cdot 1+3=-3+3=0$

Deci se verifica.

c) $\log_{5}{x^{2}-11x+43}=2$

Observam ca in cazul de mai sus avem o ecuatie logartimica, deci mai intai punem conditia ca argumentul sa fie mai mare ca 0, astfel $x^{2}-11x+43>0$ si studiem semnul functiei sau solutiile ecuatiei gasite la inlocuim in ecuatie sa vedem care o verifica si astfel aflam si solutia astfel ecuatia devine $x^{2}-11x+43=5^{2}$ $\Rightarrow x^{2}-11x+43=25\Rightarrow$ $x^{2}-11x+43-25=0\Rightarrow x^{2}-11x+18=0$

Acum calculam $\Delta=\left(-11\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 18=121-72=49$

Acum calculam $x_{1}=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11+7}{2}=\frac{18}{2}=9$

Dar si $x_{2}=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11-7}{2}=\frac{4}{2}=2$

Iar acum daca inlocuim in ecuatia logaritmica fiecare solutie gasita, obtinem:

$\log_{5}{9^{2}-11\cdot 9+43}=\log_{5}{81-99+43}=\log_{5}{25}=5$

Deci se verifica si am obtinut ca o solutie a ecuatiei este 5, acum

$\log_{5}{2^{2}-11\cdot 2+43}=\log_{5}{4-22+43}=\log_{5}{25}=5$

deci si ce-a de-a doua solutie se verifica si astfel am obtinut ca solutiile ecuatiei sunt 2 si 9.

d) $\log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2$

In cazul ecuatiei de mai sus punem conditiile:

$x+1>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow x\i\left(-1; +\infty\right)$

$3x^{2}+2x-3>0$

Si consideram functia: $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=3x^{2}+2x-3$

Si studiem semnul functiei $\Delta=2^{2}-4\cdot 3\cdot\left(-3\right)=4+36=40$

Calculam: $x_{1}=\frac{-2+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1+\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}$

$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1-\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}$

Acum intocmim tabelul de valori:

Astfel inecuatia are solutii in intervalul $\left(-\infty; -1-\sqrt{10}\right)\cup\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)$

Dar stim si ca x>-1 deci solutia ecuatiei se afla in intervalul $\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)\cap\left(-1; +\infty\right)=\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)$

$\log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=\left(x+1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1\Rightarrow 3x^{2}+2x-3-x^{2}-2x-1=0\Rightarrow 2x^{2}-4=0\Rightarrow 2\left(x^{2}-2\right)=0\Rightarrow x^{2}-2=0\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$ .

Am gasit ca solutiile ecuatiei sunt $-\sqrt{2}$ si $\sqrt{2}$

Dar nu se afla in intersectia conditiilor de mai sus, deci nu convin.

e) $\lg x\cdot\left(\lg x-8\right)+16=0$

In cazul ecuatiei de mai sus efectuam calculul

$\lg x\cdot \lg x-\lg x\cdot 8+16=0\Rightarrow \lg^{2}x-8\lg x+16=0$

Punem conditia ca x>0, deci $x\in\left(0; +\infty\right)$

Acum daca notam $\lg x=y$

ecuatia devine $y^{2}-8y+16=0$

Acum calculam $\Delta=\left(-8\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0$

Deci solutia ecuatiei este: $y_{1}=\frac{-\left(-8\right)+0}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4=y_{2}$

Deci solutia ecuatiei este: $\lg x=4\Rightarrow x=10^{4}=10000$

Acum inlocuim solutia gasita in ecuatie obtinem $\lg 10^{4}\left(\lg 10^{4}-8\right)+16=4\cdot 1\left(4\cdot 1-8\right)+16=4\cdot\left(4-8\right)+16=4\cdot\left(-4\right)+16=-16+16=0$

Deci se verifica solutia ecuatiei.

Pozitiile relative a doua drepte in plan

Publicat în august 7, 2014octombrie 7, 2014 de MATEPEDIA

In acest articol o sa invatam despre pozitiile relative a doua drepte in plan si care sunt conditiile pe care trebuie sa le indeplineasca coeficientii dreptelor pentru a fi in una din pozitiile relative a doua drepte prezentate mai jos, astfel:

Consideram mai intai dreptele date prin ecuatia carteziana generala $d:ax+by+c=0$

si $d^{'}:a^{'}x+b^{'}y+c^{'}=0$
dupa cum se stie, doua drepte in plan pot fi in urmatoarele situatii una fata de cealalata:
– concurenta
– paralele
– confundate
Conditia ca doua drepte sa fie confundate a fost caracterizata astfel: $d=d^{'}\Leftrightarrow$ exista $t\neq 0$ astfel incat $a^{'}=ta,b^{'}=tb, c^{'}=tc$
In continuare o sa ne ocupam de situatiile cand dreptele sunt paralele sau concurente.

Daca dreptele d si d’ indeplinesc urmatoarele conditii:
– exista $t\neq 0$ cu proprietatea $a^{'}=ta, b^{'}=tb$ si $d\neq d^{'}$ atunci dreptele d si d’ sunt paralele.

Daca dreptele d si d’ nu indeplinesc conditia de mai sus, atunci sunt concurente.
Toerema (pozitia relativa a doua drepte in plan)

Fie dreptele $d:ax+by+c=0$ si $d^{'}=a^{'}x+b^{'}y+c^{'}$ =0
– dreptele d si d’ sunt concurente daca si numai daca $ab^{'}-a^{'}b\neq 0$
– dreptele d si d’ sunt paralele daca si numai daca $a^{'}=ta, b^{'}=tb, c^{'}\neq tc$
– dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca $a^{'}=ta, b^{'}=tb, c^{'}=tc$
Observatie in conditiile teoremei de mai sus rezulta ca:
a) d si d’ sunt paralele daca si numai daca $ab^{'}-a^{'}b=0$ si $a^{'}c-ac^{'}\neq 0,bc^{'}-b^{'}c\neq 0$
b) d si d’ sunt confundate daca si numai daca $ab^{'}-a^{'}b=0,ac^{'}-a^{'}c=0$ si $bc^{'}-b^{'}c=0$ .

Drepte date sub forma explicita

Fie dreptele $d: y=mx+n$ si $d^{'}:y=m^{'}x+n^{'}$

1) dreptele d si d’ sunt concurente, daca si numai daca $m\neq m^{'}$

2) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca $m=m^{'}$ si $n\neq n^{'}$

3) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca $m=m^{'}$ si $n=n^{'}$

Aplicatii:

1) Determinati $a, b\in R$ astfel incat $d:ax+3y-8=0$ si $d^{'}:4x+by+20=0$

a) confundate

b) paralele

Solutie:

Observam ca dreptele sunt date prin ecuatia carteziana generala, astfel dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca $a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab-12=0\Rightarrow ab=12$

Dar si $a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4=0\Rightarrow$

$20a+32=0\Rightarrow 20a=-32\Rightarrow$

$a=\frac{-32}{20}^{(4}=\frac{-8}{5}$

Dar si $3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b=0\Rightarrow 60+8b=0\Rightarrow 8b=-60\Rightarrow b=\frac{-60}{8}^{(4}= \frac{-15}{2}$

Deci pentru $a=\frac{-8}{2}$ si $b=\frac{-15}{2}$ , dreptele sunt confundate

b) La fel ca si la punctul a dreptele sunt date cu ajutorul ecuatiei carteziene generale, astfel pentru a fi paralele din conditia de la teorema enuntata mai sus avem:

$a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab=12$

Dar si $a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4\neq 0$

$\Rightarrow 20a+32\neq 0\Rightarrow 20a\neq -32\Rightarrow$

$a\neq \frac{-32}{20}^{(4}\Rightarrow a\neq\frac{-8}{5}$

Sau $3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b\neq 0\Rightarrow 60+8b\neq 0\Rightarrow 8b\neq -60\Rightarrow b\neq\frac{-60}{8}^{(4}\Rightarrow b\neq \frac{-15}{2}$

Deci $a\cdot b=12$ , dar $a\neq\frac{-8}{5}$ sau $b\neq\frac{-15}{2}$ .

Reprezentarea grafica a numerelor complexe

Publicat în august 4, 2014august 4, 2014 de MATEPEDIA

Stim inca din clasele mai mici ca numerele reale se pot reprezenta prin puctele unei axe.

Mai precis, fie d o dreapta pe care fixam o origine O si o unitate de masura.

Astfel un numar complex $z=a+ib$ este eterminat de doua numere reale asi b.

Din acest motiv este normal sa reprezentam geometric numerele complexe prin punctele unui plan.

Fie un plan P in care fixam un sistem de axe ortogonale xOy. Astfel incat fiecarui numar complex $z=a+bi$ i se asociaza punctul M de coordonate $\left(a,b\right)$

Punctul M se numeste imaginea geometrica a numarului complex $a+bi$ , iar numarul $a+bi$ se numeste afixul punctului M.

Din teorema lui Pitagora aplicata in triunghiul dreptunghic OMM’ se deduce ca $OM=\sqrt{OM'^{2}+MM'^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=|z|$ , din aceasta egalitate observam ca lungimea segmentului OM este modului numarului complex $x=a+bi$

Exemplu:
Reprezentati numerele complexe $1+3i,-1+i, 2i, 3,$
Astef i se asociaza punctele:
$M_{1}\left(1,3\right), M_{2}\left(-1, 1\right), M_{3}\left(0,2\right), M_{4}\left(3,0\right)$
Calculam
$OM_{1}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
$OM_{2}=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{1}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$OM_{3}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2$
$OM_{4}=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3$

Ecuatii trigonometrice

Publicat în iunie 24, 2014februarie 21, 2015 de MATEPEDIA

Incepem prin a prezenta mai intai
Ecuatiile trigonometrice fundamentale
Fie a un numar real. Ecuatiile in necunoscuta x
$\sin x=a, x\in R$
$\cos x=a,x\in R$
$\tan x=a, x\in\left\{\left(2k+1\right)\frac{\pi}{2}| k\in Z\right\}$
se numesc ecuatiile trigonomerice fundamentale. In legatura cu ecuatiile de mai sus se pun doua probleme:
– existenta solutiei: are ecuatia cel putin o solutie?
– multimea solutiilor: daca ecuatia are solutie, care sunt toate solutiile ecuatiei?
Ecuatia $\sin x=a$
Conditia de existenta a solutiei ecuatiei este $a\in\left[-1,1\right]$ sau $|a|\leq 1$
Daca $a\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$ , adica $|a|>1$ atunci ecuatia nu are solutie.
Daca $|a|\leq 1$ stim ca ecuatia $\sin x=a$ are solutia unica in $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ si anume $\arcsin a$ .
Propozitie: Daca $|a|\leq 1$ atunci multimea solutiilor ecuatiei $\sin x=a$ este $\left\{\left(-1\right)^{n}\arcsin a+n\pi|n\in Z\right\}$
Daca $|a|>1$ ecuatia nu are solutie.
Propozitie:
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2n\pi, n\in Z$
$\sin x=0\Leftrightarrow x=n\pi, n\in Z$
$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2n\pi, n\in Z$
Ecuatia $\cos x=a$
Propozitie:
Daca $|a|\leq 1$ , atunci multimea solutiilor ecuatie $\cos x=a$ este
$\left\{\pm\arccos x+2n\pi|n\in Z\right\}$
Daca $|a|>1$ , ecuatia nu are solutie.
Propozitie:
$\cos x=1\Leftrightarrow x=2n\pi, \in Z$
$\cos x=0\Leftrightarrow x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, n\in Z$
$\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2n\pi,n\in Z$ .
Ecuatii trigonometrice care se reduc la ecuatii fundamentale.
Nu exista o metoda generala pentru a rezolva ecuatiile trigonomtrice. Dar exista anumite procedee particulare prin care anumite ecuatii se reduc la ecuatii funamentale.
Ecuatii de forma $\sin u\left(x\right)=\sin v\left(x\right)$ sau $\cos u\left(x\right)=\cos v\left(x\right)$
Exemplu:
$\sin 5x=\sin 7x\Rightarrow \sin 5x-\sin 7x=0\Rightarrow 2\sin\frac{5x-7x}{2}\cdot\cos\frac{5x+7x}{2}=0\Rightarrow 2\sin\frac{-2x}{2}\cdot\cos\frac{12x}{2}=0\Rightarrow 2\sin\left(-x\right)\cdot\cos6x=0$
Astfel avem ca
$\sin\left(-x\right)=0\Rightarrow -\sin x=0\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow x=k\pi$
Sau
$\cos 6x=0\Rightarrow 6x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}\Rightarrow x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{12}, k,n\in Z$
Deci multimea solutiilor ecuatiei este:
$\left\{k\pi|k\in Z\right\}\cup\left\{\left(2n+1\right)\frac{\pi}{12}|n\in Z\right\}$
b) $\cos 10x=\cos 5x\Rightarrow \cos 10x-\cos5x=0\Rightarrow$
$-2\sin\frac{10x+5x}{2}\cdot\sin\frac{10x-5x}{2}=0\Rightarrow -2\sin\frac{15x}{2}\cdot\sin\frac{5x}{2}=0\Rightarrow \sin\frac{15x}{2}\cdot\sin\frac{5x}{2}=0$
Astfel, fie
$\sin\frac{15x}{2}=0\Rightarrow \frac{15x}{2}=k\pi\Rightarrow x=\frac{2}{15}\cdot k\pi\Rightarrow x=\frac{2k\pi}{15}$
Sau
$\sin\frac{5x}{2}=0\Rightarrow\frac{5x}{2}=n\pi\Rightarrow 5x=2n\pi\Rightarrow x=\frac{2n\pi}{5}, k,n\in Z$
Astfel multimea solutiilor ecuatiei este:
$\left\{\frac{2k\pi}{15}|k\in Z\right\}\cup\left\{2n\frac{\pi}{5}|n\in Z\right\}=\left\{2n\frac{\pi}{5}|n\in Z\right\}$ (deoarece prima multime este inclusa in cea de-a doua multime.)
c) $\sin 6x=\cos 4x$
Pentru a rezolva o ecuatie de acest tip procedam astfel:
$\sin u\left(x\right)=\cos v\left(x\right)\Leftrightarrow \sin u\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-v\left(x\right)\right)$
Sau
$\sin u\left(x\right)=\cos v\left(x\right)\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2}-u\left(x\right)\right)=\cos v\left(x\right)$
Astfel pentru ecuatia de mai sus avem
$\sin 6x=\cos 4x\Leftrightarrow \sin 6x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)\Leftrightarrow \sin 6x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=0\Leftrightarrow 2\sin\frac{6x-\frac{\pi}{2}+4x}{2}\cdot\cos\frac{6x+\frac{\pi}{2}-4x}{2}=0\Leftrightarrow 2\sin\frac{10x-\frac{\pi}{2}}{2}\cdot\cos\frac{2x+\frac{\pi}{2}}{2}=0\Leftrightarrow \sin\frac{10x-\frac{\pi}{2}}{2}\cdot\cos\frac{2x+\frac{\pi}{2}}{2}=0$
Astfel avem ca:
$\sin\frac{10x-\frac{\pi}{2}}{2}=0\Leftrightarrow \sin\left(5x-\frac{\pi}{4}\right)=0\Leftrightarrow 5x-\frac{\pi}{4}=k\pi\Rightarrow 5x=k\pi+\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow 5x=\frac{4k\pi+\pi}{4}\Leftrightarrow x=\frac{4k\pi+\pi}{20}\Leftrightarrow x=\frac{4k\pi}{20}+\frac{\pi}{20}=k\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{20}$
Sau
$\cos\frac{2x+\frac{\pi}{2}}{2}=0\Leftrightarrow \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=2n\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=n\pi+\frac{2\cdot \pi-\pi}{4}\Leftrightarrow x=n\pi+\frac{\pi}{4}$
Deci multimea solutiilor ecuatiei este:
$\left\{\frac{\pi}{20}+k\frac{\pi}{5}| k\in Z\right\}\cup\left\{\frac{\pi}{4}+n\pi|n\in Z\right\}$
Ecuatii trigonometrice care se reduc la ecuatii algebrice
Consideram ecuatiile, unde $a,b,c\in R, a\neq 0$
$a\sin^{2}x+b\sin x+c=0$
$a\cos^{2} x+b\cos x+c=0$
Prin efectuarea unor substitutii, fiecare din ecuatiile de mai sus se reduc la ecuatii de gradul al doilea.
Exemplu:
Sa se rezolve ecuatiile:
a) $\sin^{2}x+\sin x-6=0$
Notamc $\sin x=t$
astfel ecuatia de mai sus devine:
$t^{2}+t-6=0$
Astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care o rezolvam:
$\Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-6\right)=1+24=25$
$t_{1}=\frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$
Dar si
$t_{2}=\frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
Astfel avem ca
$\sin x=2$ sau $\sin x=-3$
Astfel observam ca $2\notin\left[-1,1\right]$ , dar si $-3\notin\left[-1,1\right]$
Deci ecuatia nu are solutii.
b) $4\cos^{2}x-4\cos x+1=0$
astfel notam
$\cos x=t$ si ecuatia devine:
$4t^{2}-4t+1=0$
Calculam
$\Delta=\left(-4\right)^{2}-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0$
Deci solutia ecuatiei este
$t=\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
Astfel avem ca
$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi, n\in Z$

Ecuatii si inecuatii exponentiale si logaritmice

Publicat în iunie 23, 2014noiembrie 4, 2015 de MATEPEDIA

Incepem prin a prezenta ecuatiile exponentiale

Ecuatia exponentiala este o ecuatie in care necunoscuta este exponent sau o ecuatie in care este exponent o expresie care contine necunoscuta.
Daca avem sa rezolvam o ecuatie exponetiala procedam astfel:

– folosim diverse substitutii precus si proprietatile functiilor exponentiale, cautam sa o reducem la rezolvarea unei ecuatii simple, de regula de gradul I sau e gradul al doilea.
Exemple:
Sa se rezolve in R ecuatiile:

a) $5^{x}=125\Rightarrow 5^{x}=5^{3}\Rightarrow x=3$
Deci cand avem sa rezolvam o astfel de ecuatie procedam astfel:

– in parte stanga avem necunoscuta la exponet, iar in partea dreapta apare un numar natural, astfel descompunem numarul din partea dreapta in produs de factori (il aducem la aceiasi baza, adica 5 la o anumita putere, in cazul nostru 5 la putere a 3) iar apoi egalam exponentii.

Astfel cele mai multe ecuatii exponentiale sunt reductibile la forma $a^{f\left(x\right)}=b$ cu $a>0, b>0 a\neq 1$
In astfel de ecuatii b se poate exprima ca putere a lui a $b=a^{\alpha}$ , de unde obtinem ecuatia $a^{f\left(x\right)}=a^{\alpha}\Rightarrow f\left(x\right)=\alpha$

b) $9^{x}=\frac{1}{729}$
Observam ca $729=9^{3}$ . Astfel ecuatia exponentiala devine: $9^{x}=\frac{1}{9^{3}}\Rightarrow 9^{x}=\left(9^{3}\right)^{-1}\Rightarrow 9^{x}=9^{-3}\Rightarrow x=-3$

Deci solutia ecuatiei este x=-3.

c) $2^{x^{2}-6x-2,5}=16\sqrt{2}\Rightarrow 2^{x^{2}-6x-2,5}=2^{4}\sqrt{2}|^{2}\Rightarrow \left(2^{x^{2}-6x-2,5}\right)^{2}=\left(2^{4}\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow2^{2x^{2}-2\cdot 6x-2\cdot 2,5}=2^{4\cdot 2}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow 2^{2x^{2}-12x-5}=2^{8}\cdot 2\Rightarrow 2^{2x^{2}-12x-5}=2^{8+1}\Rightarrow 2^{2x^{2}-12x-5}=2^{9}\Rightarrow 2x^{2}-12x-5=9\Rightarrow 2x^{2}-12x-5-9=0\Rightarrow 2x^{2}-12x-14=0$

Acum calculam $\Delta =\left(-12\right)^{2}-4\cdot 2\cdot\left(-14\right)=144+112=256$
Astfel avem ca: $x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{256}}{2\cdot 2}=\frac{12+16}{4}=\frac{28}{4}=7$
Iar $x_{2}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{256}}{2\cdot 2}=\frac{12-16}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

Deci solutiile ecuatiei sunt -1 si 7.

Dar exista si ecuatii care nu se reduc la nici una din formele discutate, astfel avem:
$2^{x}=3^{2x+1}$ .
Daca tinem cont de injectivitatea functiei logaritmice obtinem prin logaritmarea ecuatiei de mai sus echivalenta:
$\lg{2^{x}}=\lg{3^{2x+1}}\Rightarrow x\lg{2}=\left(2x+1\right)\lg{3}\Rightarrow x\lg{2}=2x\lg{3}+lg{3}\Rightarrow x\lg{2}-2x\lg{3}=\lg{3}\Rightarrow x\left(2\lg{3}-\lg{2}\right)=-\lg{3}\Rightarrow x=\frac{-\lg{3}}{2\lg 3-\lg{2}}$
Ecuatii logaritmice:

Ecuatiile logaritmice sunt ecuatii in care expresiile ce contin necunoscute apar ca baza sau ca argument al unor logaritmi.
Tot ca si la rezolvarea ecuatiei exponentiale folosind injectivitatea functiei exponetiale, avem ca rezolvarea unei ecuatii de tipul $\log_{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=b$ este echivalenta cu rezolvarea ecuatiei $f\left(x\right)=g\left(x\right)^{b}$ , dar solutiile obtinute trebuie sa indeplineasca conditiile $f\left(x\right)>0, g\left(x\right)>0, g\left(x\right)\neq 1$

Exemplu
Sa se rezolve ecuatiile:
a ) $\log_{2}{x-1}=\log_{2}{x^{2}-x-16}$
Cum avem aceiasi baza putem egala argumentul celor doi logaritmi:
$x-1=x^{2}-x-16\Rightarrow x^{2}-x-16-x+1=0\Rightarrow x^{2}-2x-15=0$
Astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea
$\Delta =\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-15\right)=4+60=64$

Astfel avem ca: $x_{1}=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$
Dar si $x_{2}=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
Acum sa vedem daca solutiile verifica ecuatia, astfel avem:
$\log_{2}{5-1}=\log_{2}{5^{2}-5-16}\Rightarrow \log_{2}{4}=\log_{2}{25-5-16}\Rightarrow \log_{2}{4}=\log_{2}{4}$

Deci pentru $x_{1}=5$ ecuatia se verifica, astfe 5 este o solitie a ecuatiei.
Iar pentru $x_{2}=-3$ obtinem:
$\log_{2}{-3-1}=\log_{2}{-4}<0$ si deci rezulta ca $x_{2}=-3$ nu este solutie a ecuatiei, ca sa fie solutie a ecuatiei trebuie sa indeplineasca conditiile de mai sus.

Altfel pentru a vedea daca o solutie este convenabila pentru ecuatie logaritmica,punem conditiile ca atant argumentul cat si baza sa fie mai mari ca 0, dar baza sa fie si diferita de 1, astfel in cazul nostu avem ca: $x-1>0\Rightarrow x>1\Rightarrow x\in\left(1,+\infty\right)$
Dar si $x^{2}-x-16>0$
Pentru rezolvarea inecuatiei de gradul al doilea atasam functia si studiem semnul functie:
$f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=x^{2}-x-16$

Acum rezolvam ecuatia:
$f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-x-16=0$
Astfel avem ca $\Delta=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-16\right)=1+64=65$
Deci solutiile ecutiei sunt $x_{1}=\frac{\left(-1\right)+\sqrt{65}}{2\cdot 1}=\frac{1+\sqrt{65}}{2}$
$x_{2}=\frac{1-\sqrt{65}}{2}$
Din tabelul de variatie al functie de gradul al doilea obtinem ca:

Deci solutia inecuatiei este:
$x\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)$

Acum daca facem intersecita celor doua intervale care le-am gasit obtinem ca
$\left[\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\right]\cap\left(1,+\infty\right)=\left(1,+\infty\right)$ .
Deci x=5 este solutie a ecuatiei.

b) $log_{x-1}{\left(x^{2}-5x+7\right)}=1$
Astfel la ecuatia de mai sus punem mai intai conditiile:
$x-1>0\Rightarrow x>1\Rightarrow x\in \left(1,+\infty\right)$ , deci pentru baza conditia este indeplinita
Dar si $x^{2}-5x+7>0$
Astfel la fel ca si mai sus atasam functia:
$f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-5x+7$
Rezolvam ecuatia $f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-5x+7=0$
Astfel avem $\Delta=\left(-5\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 7=25-28=-3$
Deci $\Delta<0$ , ecuatia nu are solutii, acum stabilim semnul functiei:
Asadar argumentul este pozitiv, solutia ecuatiei este R, adica multimea numerelor reale.
Sau, daca nu, verficam care din solutiile ecuatiei verifica ecuatia, astfel ecuatia devine:
$x^{2}-5x+7=\left(x-1\right)^{1}\Rightarrow x^{2}-5x+7=x-1\Rightarrow x^{2}-5x+7-x+1=0\Rightarrow x^{2}-6x+8=0$
Astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea:
$\Delta=\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 8=36-42=4$ deci avem ca $x_{1}=\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$

Dar si $x_{2}=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$
Efectuam si poba, astfel pentru $x=4\Rightarrow \log_{4-1}{\left(4^{2}-5\cdot 4+7\right)}=1\Rightarrow \log_{3}{\left(16-20+7\right)}=1\Rightarrow \log_{3}{3}=1$
Deci se verifica pentru x=4

Iar pentru $x=2\Rightarrow \log_{2-1}{\left(2^{2}-5\cdot 2+7\right)}=\log_{1}{\left(4-10+7\right)}=\log_{1}{1}$
Astfel pentru $x=2\in R$ , dar trebuie sa mai tinem cont si ca baza trebuie sa fie mai mare strict ca 0, dar si diferit de 1.
Astfel solutia ecuatiei este x=4.

Mate Pedia

Ne place matematica !

clasa a X -a