Ne place matematica !

Calcularea limitelor, operatii cu limite de functii

Incepem prin  calcularea limitelor remarcabile urmatoare :
<br /> \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin 3x}{4x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin 3x}{3x}}=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4}.<br />
Avem o nedeterminare de forma \frac{0}{0}si ca sa calculam limita de mai sus a trebuit sa o aducem la o forma astfel incat sa aplicam formula \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{sin x}{x}}=1, astfel am scris functia \frac{\sin 3x}{4x}=\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{3}{4}.
b)<br /> \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\ln{\left(1+x+x^{2}\right)}}{x+1}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\ln{1+x+x^{2}}}{x+x^{2}}\cdot\frac{x+x^{2}}{x+1}}=1\cdot\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+x^{2}}{x+1}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x\left(1+x\right)}{x+1}}=\lim\limits_{x\to 0}x=0<br />
Ca sa calculam limita de mai sus trebuie sa o aducem la una din limitele remarcabile ca sa  putem sa o rezolvam.Cel mai indicat a fost sa o aducem la una din formele \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln{\left(1+x\right)}}{x}=1, deci astfel am obtinut fractia din care am dat factor comun x si am simplificat si astfel \lim\limits_{x\to 0}{x}=0.
c) <br /> \lim\limits_{x\to \infty}{\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2}\right)^{x^{2}}}=<br />
Observam ca limita de mai sus este o nedeterminata de forma 1^{\infty}.Astfel ca sa calculam termmenul, adunam cifra 1 in partea stanga a fractiei si scadem in partea dreapta a fractiei 1.Astfel,
<br /> \lim\limits_{x\to \infty}{\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2}\right)^{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\left(1+\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2}-1\right)^{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\left(1+\frac{x^{2}-1-1\cdot\left(x^{2}+2\right)}{x^{2}+2}\right)^{x^{2}}} = \lim\limits_{x\to\infty}{\left(1+\frac{x^{2}-1-x^{2}-2}{x^{2}+2}\right)^{x^{2}}}=
<br /> \lim\limits_{x\to\infty}{\left(1+\frac{-3}{x^{2}+2}\right)^{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\left[\left(1+\frac{-3}{x^{2}+2}\right)^{\frac{x^{2}+1}{-3}}\right]^{\frac{-3}{x^{2}+2}\cdot x^{2}}}=<br />
<br /> e^{\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{-3}{x^{2}+2}\cdot x^{2}}}=e^{\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{-3x^{2}}{x^{2}+2}}}=<br />
<br /> e^{\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{-3}{x^{2}+2}\cdot x^{2}}}=e^{\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{x^{2}\left(-3\right)}{x^{2}\left(1+\frac{2}{x^{2}}\right)}}}</p> <p>
<br /> e^{\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{-3}{1}}}=e^{-3}=\frac{1}{e^{3}}.
Ca sa rezolvam limita de mai sus, am stabilit mai intai ce tip de nedeterminare avem, adica 1^{\infty}, iar apoi dupa cum am spus si mai sus am facut unele calcule si apoi dupa ce am adus la acelasi numitor am notat rezultatul obtinut cu “e”.Iar apoi am rezolvat limita cum se rezolva majoritatea limitelor.
O alta modalitate de rezolvare a acestor limite este cu ajutorul regulii lui L’Hospital pentru cazul 1^{\infty}.