Calculul unor distante si a unor masuri de unghiuri in corpurile studiate

Publicat în noiembrie 30, 2017 de MATEPEDIA

Dupa cum bine stiti am mai calculat distanta dintre un punct si o dreapta, distanta dintre un punct si un plan, distanta de dintre doua plane, distanta dintre o dreapta si un plan, dar am calculat si masuri de unghiuri, adica masura dintre doua drepte, masura dintre o dreapta si un plan, dar si masura dintre doua plane, cat si unghiul diedru. Pe site gasiti informatii despre toate acestea.

Astfel prezentam probleme rezolvate in care o sa folosim notiunile prezentate mai sus, astfel:

1. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are $AA'=3\sqrt{5}, AB=6 cm$ si BC=3 cm. Fie O mijlocul lui [BD], iar M mijlocul segmentului [AB].

a) Demonstrati $OM\perp A'B$
b) Calculati $m\left(\widehat{D'B,(ABC)}\right)$

Demostratie:

Stim ca M este mijlocul segmentului AB, astfel $AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3 cm$
In triughiul ABD aplican Teorema lui Pitagora obtinem:
$BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}\Rightarrow BD^{2}=6^{2}+3^{2}\Rightarrow BD=\sqrt{36+9}\Rightarrow BD=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Astfel: $BO=DO=\frac{BD}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$

Stim ca O este mijlocul lui BD si M mijlocul lui AM, astfel OM este linie mijlocie in triunghiul ADB, astfel avem ca $MO=\frac{AD}{2}=\frac{3}{2}$

Astfel avem ca : $MO^{2}+BM^{2}=BO^{2}$

Adica $\frac{9}{4}+9=\frac{45}{4}$ , adica cu reciproca lui Pitagora Triunghiul BOM este dreptunghic in M, adica $OM\perp AB$ , dar $OM\perp AA'$ astfel obtinem ca $OM\perp\left(AA'B\right)$

Observam ca $A'B\subset\left(AA'B\right)$ si obtinem ca $OM\perp A'B$ (daca o dreapt este perpendiculara pe un plan atunci ea este perpendiculara pe orice drepata din acel plan).

b) Ca sa calculam masura unghiului dintre o dreapta si un plan, calculam mai intai proiectia dreptei pe plan astfel avem ca $pr_{(ABC)}D'B$

Ca sa fi mai usor de aflat proiectia dreptei pe plan calculam mai intai: $pr_{(ABC)}D'=D$
Dar si $pr_{(ABC)}B=B$

Si astfel am aflat ca $pr_{(ABC)}D'B=DB$

Astfel avem unghiul: $m\left(\widehat{D'B,DB}\right)=m\left(\widehat{D'BD}\right)$

Ca sa aflam acum masura unghiului observam ca triunghiul D’BD este dreptunghic in D, astfel aplicand functiile trigonometrice obtinem ca: $\tan\left(\widehat{D'BD}\right)=\frac{c.o}{c.a}=\frac{DD'}{DB}=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=1$

Astfel obtinem ca masura unghiului este de $45^{0}$

2. Piramida ABCD are toate muchiile congrunete si inaltimea $AO=4\sqrt{3} cm$ . Punctele M si N sunt mijloacele muchiilor AB si CD.
a) Calculati lungimea muchiei piramidei
b) Aratati ca $MN\perp AB$
c) Calculati sinusul unghiului dintre dreapta MN si planul (BCD)
Problema data la Testarea Nationala din 2006.
Demonstratie:
Stim ca daca piramida are toate muchiile congruente, practic avem un tetraedru regulat, cel care nu va mai reamintiti click aici .

Observam ca stim doar inaltimea AO, stim ca triunghiul ABC este echilateral, la fel si triunghiul BCD, astfel stim ca $BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}$ , astfel aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul AOB obtinem:
$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\Rightarrow l^{2}=\left(4\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{l\sqrt{3}}{3}\right)^{2}\Rightarrow l^{2}=16\cdot 3+\frac{l^{2}\cdot 3}{9}^{(3}\Rightarrow l^{2}=48+\frac{l^{2}}{3}$

Astfel separand termenii asemenea obtinem $l^{2}-\frac{l^{2}}{3}=48$ , Astfel aducand la acelasi numitor obtinem: $\frac{3l^{2}-l^{2}}{3}=\frac{48\cdot 3}{3}\Rightarrow 2l^{2}=144\Rightarrow l^{2}=144:2\Rightarrow l^{2}=72\Rightarrow l=\sqrt{72}\Rightarrow l=6\sqrt{2}cm$ , de unde obtinem $AB=6\sqrt{2}cm$ .

b) Pentru a arata ca $MN\perp AB$ , folosim toate informatiile din ipoteza problemei, astfel stim ca M mijlocul AB si N mijlocul lui CD, astfel observam ca BM este mediana in triunghiul echilateral BCD si AN mediana in triunghiul echilateral ACD, de unde obtinem ca BN si AN sunt si inaltimi, conform proprietatilor triunghiului echilateral, observam ca $BN=AN=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{6}}{2}^{(2}=3\sqrt{6}$ ., de unde obtinem ca triunghiul ANB este isoscel, cum M mijlocul lui AB, obtinem ca MN este si inaltime in triunghiul ABN, astfel obtinem ca $MN\perp AB$ .

c) $\sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)$
Pentru a afla sinusul unghiului calculam mai intai calculam $pr_{(BCD)}MN$ , astfel avem
$pr_{(BCD)}M=P$ , construim $MP\perp BN, P\in BN$ , observam ca $pr_{(BCD)}AB=BO, M\in AB$ $pr_{(BCD)}N=N$ , deoarece $N\in (BCD)$ Asadar obtinem $pr_{(BCD)}MN=NP$
Astfel obtinem $\sin\left(\widehat{MN,(BCD)}\right)=\sin\left(\widehat{MN, NP}\right)=\sin\left(\widehat{MNP}\right)$

Ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa avem triunghi dreptunghi astfel stim ca $MP\perp BN$ , astfel MPN dreptunghic in P, stim ca M mijlocul lui AB, dar si $MP\perp BN$ si $AO\perp BN$ , astfel obtinem ca MN||AO si astfel obtinem ca MP este linie mijlocie in triunghiul ABO si astfel obtinem $MP=\frac{AO}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm$ stim si ca P mijlocul lui BO si astfel obtinem ca $PO=\frac{BO}{2}$

Stim ca $BO=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{6}$ .

Si astfel obtinem ca $PO=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$ .

Dar si $NO=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\sqrt{6}$
si obtinem ca $NP=NO+OP=\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}$ .
Aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MPO obtinem $MN^{2}=MP^{2}+PN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2\sqrt{6}\right)^{2}\Rightarrow MN^{2}=4\cdot 3+4\cdot 6\Rightarrow MN^{2}=12+24\Rightarrow MN=\sqrt{36}=6 cm$

Astfel obtinem ca $\sin\left(\widehat{MNP}\right)=$
$\frac{MP}{MN}=\frac{2\sqrt{3}}{6}^{(2}=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Rezolvarea triunghiului dreptunghic Probleme rezolvate

Publicat în august 4, 2014septembrie 17, 2014 de MATEPEDIA

In cadrul acestui articol prezentam doua probleme pe care le rezolvam cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, dar si cu ajutorul Teoremei catetei.
Astfel in cazul primei probleme, avem un triunghi dreptunghic, stim o cateta, dar si raportul dintre lungimea proiectiei si ipotenuza. Si avem sa aflam lungimile proiectiilor, ipotenuza, o cateta, dar si inaltimea AD, dusa din varful unghiului A.

1) In triunghiul ABC,mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, AB=14cm si BD supra BC=1 supra 4 . Calculati BD,BC,CD,AC si AD

Stim ca:
$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{4}$
Astfel obtinem:
$BD=\frac{1}{4}\cdot BC$
In cazul raportului pe care il avem din ipotenuza am scosa BD
Daca aplicam in triunghiul ABC dreptunghic in A, Teorema catetei obtinem:
$AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 14^{2}=\frac{1}{4}\cdot BC\cdot BC\Rightarrow 14^{2}\cdot 4=BC^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{14^{2}\cdot 4}\Rightarrow BC=14\cdot 2\Rightarrow BC=28$
Iar
$BD=\frac{1}{4}\cdot BC=\frac{1}{4}\cdot 28=\frac{28}{4}=7$
Acum aflam CD, astfel avem:
$CD=BC-BD\Rightarrow CD=28-7=21$
Acum aflam AC, in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora:
$AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=28^{2}-14^{2}\Rightarrow AC^{2}=784-196\Rightarrow AC=\sqrt{588}=14\sqrt{3}$
Iar AD este $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{14\cdot 14\sqrt{3}}{28}=\frac{1\cdot 14\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{1}=7\sqrt{3}$
Urmatoarea problema avem la fel un triunghi dreptunghic, avem inaltimea din varful unghiului A, dar problema ne ofera informatii si despre rapoartul celor doau proiectii. In cadrul acestei probleme stim aria triunghiului. Pornind de la aria triunghiului o sa aflam pentru inceput lungimea proiectiilor catetelor, lungimile catetei si lungimea inaltimii.

2.) In triunghiul ABC, mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, BD supra DC= 4 supra 9 si aria triunghiului este egala cu 3900cm patrati.Calculati:
a) lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza:BD si DC ;
b) lungimile catetelor AB si AC ;
c) Lungimea inaltimii AD

Demonstratie:
Stim ca:
$\frac{BD}{DC}=\frac{4}{9}$ , astfel obtinem $BD=\frac{4}{9}\cdot DC$
Mai stim si ca
$A_{\Delta ABC}=3900 cm^{2}\Rightarrow \frac{AB\cdot AC}{2}=3900$
Dar cu Teorema catetei stim ca:
$AB=\sqrt{BD\cdot BC}$
dar si
$AC=\sqrt{CD\cdot BC}$
Astfel obtinem:
$\frac{\sqrt{BD\cdot BC}\cdot\sqrt{CD\cdot BC}}{1}=2\cdot 3900\Rightarrow$
$\frac{\sqrt{BD\cdot CD\cdot BC^{2}}}{1}=7800\Rightarrow BC\sqrt{BD\cdot DC}=7800\Rightarrow$
$BC\cdot\sqrt{\frac{4}{9}DC\cdot DC}=7800\Rightarrow BC\cdot \frac{2}{3}DC=7800\Rightarrow BC\cdot DC=7800\cdot\frac{3}{2}\Rightarrow BC\cdot DC=3900\cdot 3\rightarrow \left(BD+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow\left(\frac{4}{9}DC+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow \frac{13}{9}DC^{2}=11700\Rightarrow DC^{2}=11700\cdot \frac{9}{13}\Rightarrow DC^{2}=900\cdot 9\Rightarrow DC=\sqrt{900\cdot 9}\Rightarrow DC=30\cdot 3=90\;\; cm$
Obsevati ca am folosit Teorema catetei pentru a afla lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Iar
$BD=\frac{4}{9}\cdot DC=\frac{4}{9}\cdot 90=4\cdot 10=40\;\; cm$
Deci am aflat lungimile proiectiilor.

Acum sa aflam lungimile catetelor
Stim ca
$BC\cdot DC=11700$
Dar stim cu Teorema inaltimii ca $BC\cdot DC=AC^{2}$

Astfel avem ca $AC^{2}=11700\Rightarrow AC=\sqrt{11700}=30\sqrt{13}$

Acum pentru a afla AB stim ca BC=BD+DC=90+40=130
Iar daca aplicam Teorema catetei obtinem ca
$AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow AB^{2}=40\cdot 130\Rightarrow AB=\sqrt{40\cdot 130}\Rightarrow AB=\sqrt{5200}\Rightarrow AB=20\sqrt{13}$
Acum ca sa aflam lungimea inaltimii stim ca
$AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{40\cdot 90}=\sqrt{3600}=60\;\; cm$

Subiecte posibile Evaluarea Nationala Matematica

Publicat în iunie 22, 2014februarie 19, 2015 de MATEPEDIA

Subiectul II
1. Desenati o prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’
2. Aflati trei numere naturale consecutive impare, stiind ca daca suma lor se imparte la 8 obtinem catul 15 si restul 3.
3. Cate numere de forma $\bar{4ab}$ sunt divizibile cu 41.
4. Consideram functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(2a+3\right)x-3a+2$ . Stiind ca graficul lui f contine punctul $A\left(-1,-6\right)$ se cere:
a) Aratati ca a=1 si reprezentati grafic functia obtinuta
b) Determinati punctul de pe graficul functiei f care are abscisa egala cu un sfert din ordonata.
5. Se considera expresia $E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}$ , unde $x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}$ . Aduceti expresia data la forma cea mai simpla.
Solutie:
1. Mai intai desenam prisam patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’

2. Cum aflam trei numere naturale consecutive impare? cand avem anumite conditii in ipoteza. In primul rand folosim teorema impartirii cu rest, dar trebuie sa mai tinem cont ca avem si numere naturale impare consecutive, astfel fiem numerele impare consecutive:
$n, n+2, n+4$
Stim ca suma numerelor se imparte la 8, astfel suma lor este
$n+n+2+n+4=3n+6$
Suma lor se imparte la 8
$\left(3n+6\right):8$ se obtine $q=15$ si restul r=3
Astfel folosim Teorema impartirii cu rest:
$3n+6=15\cdot 8+3$
Acum rezolvam ecuatia:
$3n+6=15\cdot 8+3\Rightarrow 3n+6=120+3\Rightarrow 3n+6=123\Rightarrow 3n=123-6\Rightarrow 3n=117\Rightarrow n=117:3\Rightarrow n=39$
Deci am gasit n=39 si este un numar impar.
Deci primul numar este 39, acum sa aflam si celelate 2 numere.
$n+2=39+2=41$
Dar si
$n+4=39+4=43$
Deci numerele impare consecutive sunt 39,41,43
Acum daca efectuam proba obtinem:
$39+41+43=123$
Acum daca impartim
$123:8$ obtinem catul q=15si restul r=3
3. Cum gasim numerele de form $\bar{4ab}$ devizibile cu 41
Cautam numerel divizibile 41 intre $400\;\; si\;\; 499$
Observam ca numarul 41 este un numar prim, deci numerele divizibile trebuie sa fie de form $41\cdot x$
Iar daca luam pentru $x=10$ obtinem $41\cdot 10=410$ divizibil cu 41, deci primul numar este: 410, deci a=1 si b=0
Pentru $x=11$ obtinem $41\cdot 11=451$ divizibil cu 41, al dolile numar divizibil cu 41 este 451, astfel a=5 si b=1
Pentru $x=12$ obtinem $41\cdot 12=492$ divizibil cu 41, al treilea numar divizibil cu 41 este 492, astfel a=9 si b=2.
Deci avem trei numere divizibile cu 41 de forma $\bar{4ab}$
Pentru x=13 obtineam un numar mai mare decat 4ab si astfe nu se mai indeplinea conditia aceasta, la fel si pentru x<10 se obtinea un numar mai mic decat de forma 4ab. 4. a) Pentru a obtine a=1 stim ca $latex A\left(-1,-6\right)$ apartine graficului functiei, astfel avem ca: $latex f\left(-1\right)=-6\Rightarrow \left(2a+3\right)\cdot\left(-1\right)-3a+2=-6\Rightarrow -2a-3-3a+2=-6\Rightarrow-5a-1=-6\Rightarrow -5a=-6+1\Rightarrow -5a=-5\Rightarrow a=1$ Pentru a=1 sa reprezentam grafic functia, astfel obtinem functia: $latex f\left(x\right)=\left(2\cdot 1+3\right)x-3\cdot 1+2\Rightarrow f\left(x\right)=\left(2+3\right)x-3+2=5x-1$ DEci functia obtinuta este $latex f\left(x\right)=5x-1$ Acum reprezentam grafic functia: Astfel avem $latex G_{f}\cap Ox$ avem ca $latex f\left(x\right)=0\Rightarrow 5x-1=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ Deci avem $latex A\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ Acum calculam $latex G_{f}\cap Oy$, astfel calculam $latex f\left(0\right)=5\cdot 0-1=0-1=-1$ Deci $latex B\left(0,-1\right)$ Acum reprezentam grafic functia.
b) Acum trebuie sa determinam punctul de pe graficul functie f care are absscisa egala cu un sfer de ordonata.
Astfel fie punctul $M\left(x,y\right)$ , dar stim ca abscisa este egala cu un sfert de ordonata, astfel avem ca
$x=\frac{1}{4}\cdot y$ , astfel obtinem acum $M\left(\frac{1}{4}y,y\right)$
astfel obtinem ca:
$f\left(\frac{1}{4}y\right)=y\Rightarrow 5\cdot \frac{1}{4}y-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-1=y\Rightarrow \frac{5y}{4}-y=1\Rightarrow \frac{5y-4y}{4}=1\Rightarrow\frac{y}{4}=1\Rightarrow y=4$
Iar $x=\frac{1}{4}\cdot y=\frac{1}{4}\cdot 4=1$
Deci obtinem
$M\left(1,4\right)$
5. Cum aducem expresia la forma cea mai simpla, astfel avem ca:
$E\left(x\right)=\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x^{2}+3x^{2}}{x^{3}+2x^{2}+x}$ , unde $x\in R-\left\{-3,-1,0,1\right\}$
Mai intai in partanteza rotuda aducem la acelasi numitor:
$E\left(x\right)=\left(\frac{2x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\frac{x^{2}\left(x+3\right)}{x\left(x^{2}+2x+1\right)}$
$E\left(x\right)=\frac{2x^{2}+2x-x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\frac{x\left(x+1\right)^{2}}{x^{2}\left(x+3\right)}$
$E\left(x\right)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}\cdot\frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}$
$E\left(x\right)=\frac{x\left(x+3\right)}{x-1}\cdot \frac{x\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+3\right)}$
$E\left(x\right)=\frac{x^{2}\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{x^{2}\left(x+1\right)\left(x+3\right)}^{(x^{2}\left(x+3\right)}$
Dupa ce am adus la acelasi numitor in paranteza rotunda, am efectuat calculele si am efectuat impartirea celor doua fractii, adica am inmultit prima fractie cu inversul celei de-a doua, iar apoi am simplificat, unde observati ca am adus expresia la forma cea mai simpla.

$E\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}$

b) determinati valorile lui $x\in Z$ , pentru care $E\left(x\right)\in Z$
Stim ca $E\left(x\right)\in Z\Rightarrow \frac{x+1}{x-1}\in Z$

Mai intai punem conditia ca numitorul divide numaratorul si obtinem:
$latex\left(x-1\right)|\left(x+1\right)$
Astfel rescriid raportul obtinem:

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}^{(\left(x-1\right)}+\frac{2}{x-1}=\frac{1}{1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$

Astfel punand conditia ca numitorul divide numaratorul obtinem:
$x-1|2$
Si scriind divizorii intreigi ai lui 2 avem:
$D_{2}=\left\{\pm 1; \pm 2\right\}$
Astfel egaland numitorul cu fiecare divizor obtinem:

$x\in\left\{-1; 0; 2; 3\right\}$

S-a publicat baremul la bacalaureat-2014-la-matematica-simulare

Publicat în martie 5, 2014aprilie 13, 2014 de MATEPEDIA

Dupa ce ati dat simularea pentru bacalaureat la matematica nu mai ramane decat sa asteptati sa vedeti ce note ati luat. Inainte de asta puteti sa vedeti baremul de corectare publicat pe site-ul Ministerului Invatamantului.

Subiecte rezolvate Evaluarea Nationala

Publicat în noiembrie 4, 2013noiembrie 5, 2013 de MATEPEDIA

Sa aprofundam si alte subiecte rezolvate Evaluarea Nationala

Dupa ce am rezolvat subiectul I dintr-un test pentru Evaluarea Nationala, astazi o sa rezolvam subiectul II.
Incepem cu o problema de geometrie. Stiti doar ca la partea a III a aveti doar probleme de geometrie fie de clasa a VIII-a fie din clasele mai mici.
1. In figura alaturata este reprezentat un teren agricol in forma de trapez isoscel. Se stie ca $AB=AD=2,5 km$

a) Notand cu DH=x hm, exprimati lungimea segmentului H in functie de x.
In triunghiul AD aplicam teorema lui Pitagora astfel obtinem
$ AD^{2}=AH^{2}+DH^{2}$
Cum pe AD il cunoastem, transformam km in hm astfel obtinem AD=25 hm, DH=x
$25^{2}=AH^{2}+x^{2} \\625=AH^{2}+x^{2} \\AH\\sqrt{625 -x^{2}} hm$
Inaltimea AH este egala cu jumatate din media aritmetica a celor doua baze.
b) Aflti x
Solutie
Stim ca $AH=\frac{1}{2}\frac{AB+DC}{2}=\frac{AB+DC}{4}=\frac{2,5 km+ DC}{4}$ , dar de la punctul a) mai stim ca $AH\sqrt{625 -x^{2}} hm$ , si astfel transformam si media aritmetica in hectometri astfel $\frac{2,5 km+ DC}{4}=\frac{25 hm+DC}{4}$ egalam cele doua rezultate si obtinem $\frac{25 hm+ DC}{4}=\sqrt{625 -x^{2}}$ , dar stim ca la punctul a) ca pe DH l-am notat cu x si astfel construim BE perpendicular pe DC gasim deci ca DH=CE deci egal cu x.

Deci obtinem
$ \frac{25+x+25+x}{4}=\sqrt{625-x^{2}} \\ \frac{2x+50}{4}=\sqrt{625-x^{2}} \\ \frac{\left(2x+50\right)^{2}}{4^{2}}=625-x^{2}$
$ \\ \frac{4x^{2}+200x+50^{2}}{16}=625-x^{2} \\ \frac{4x^{2}+200x+2500}{16}=625-x^{2} \\ 4x^{2}+200x+2500=16\left(625-x^{2}\right) \\ 4x^{2}+200x+2500=10000-16x^{2}$
$ \\20x^{2}+200x-7500=0 |:20 \\ x^{2}+10x-375=0 \\\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=100-4\cdot 1\cdot\left(- 375\right) \\ \Delta =100+1500 \\ \Delta=1600 \\ x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-10+\sqrt{1600}}{2\cdot 1}=\frac{-10+40}{2}=\frac{30}{2}=15 km$ .
Daca calculam $x_{2}$ o sa obtinem un numar negativ si lungimea unui segment nu poate fi negativa.
Sau putem sa scriem ecuatia altfel pentru a ii gasii solutiile astfel,
$ x^{2}+10x-375=0 \\x^{2}+10x-400+25=0 \\x^{2}+10x-25=400 \\\left(x+5\right)^{2}=400 \\x+5=\pm\sqrt{400} \\x+5=20\Rightarrow x=15 \\x+5=-20\Rightarrow x=-25\;\;\;nu convine$ .
Calculam $AH=\sqrt{625-x^{2}}\Rightarrow AH=\sqrt{625-225}\Rightarrow AH=\sqrt{400}\Rightarrow AH=20 hm$
Stiind ca x=15, calculati aria terenului ABCD, exprimand-o in hectare.
Stiind ca figura geometrica este trapez claculati aria trapezului $A_{ABCD}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(55+25\right)\cdot 20 }{2}=\frac{80\cdot 20}{2}=\frac{40\cdot 20 }{1}=800 hm^{2} $
Transformam $hm^{2}$ in $m^{2}$
$ 800 hm^{2}=8000000 m^{2} \\8000000 m^{2}=800 ha$
Stim ca $1 ha =10000 m^{2}$ .
Terenul este cultivat cu grau de catre trei fermieri. Lotul celui de-al doilea fermier este de doua ori mai mare decat cel al primului si cu 50 ha mai mic decat lotul celui de-al III-lea fermier.
d) Determinati suprafata detinuta de fiecare fermier
Notam
-suprafata primului fermier cu x
– suprafata celui de-al doilea fermier cu y
– suprafata celui de-al treilea fermier cu z

$ y=2x \\y=z-50\Rightarrow y+50=z\Rightarrow 2x+50=z \\x+y+z=800 ha$
$ x+2x+2x+50=800 ha \Rightarrow 5x+50=800 ha \Rightarrow$
$ 5x=750 \Rightarrow x=\frac{750}{5}\Rightarrow x=150 ha$
$ \\z=2\cdot 150+50\Rightarrow z=300+50\Rightarrow z=350 ha$
$ \\y=2x\Rightarrow y=2\cdot 150\Rightarrow y=300 ha$
e) Ce cantitate de grau se obtine in total daca,
la fiecare hectar cultivat, primul fermier a obtinut 1900 kg,
cel de-al doilea 2,25 t, iar cel de-al treilea 2400 kg?
Pastrati notatile de la d), deci
-primul fermier a obtinit x=1900 kg pentru un hectar
– al doi-lea y=2,25 t pentru un hectar
– cel de-al treilea z=2400 kg pe hectar.
Transformam toate cantitatile in tone, deci
x=1,9 t
y=2,25 t
c=2,4 t
-primul a obtinut $150\cdot 1,9=285 t$
-al doilea a obtinut $300\cdot 2,25=675 t$
-al trei-lea fermier a obtinut $z=350\cdot 2,4=840 t$
f) Cate remorci in forma de paralelpiped dreptunghic cu dimensiunile de 2,5 m, 2m si 1 m
au fost necesare pentru transportul intregii cantitati de grau, stiind ca un metru cub de grau cantareste 800 de kilograme?
Solutie
Mai intai calculam volumul remorcii ,cum are forma e paralelpiped dreptunghic calculam
$ V_{remorca}=l\cdot L\cdot h=2,5\cdot 2\cdot 1=5 m^{3}$
Deci remorca poate sa transporte $5\cdot 800=4000 kg=4 t$ de grau
Calculam intreaga cantitate de grau $285t+675t+840t=1800 t$
Deci sunt necesare $1800:4= 450$ remorci.

Rezolvare teste pentru Evaluarea Nationala, exercitii rezolvate pentru Evaluarea Nationala

Publicat în noiembrie 3, 2013februarie 19, 2015 de MATEPEDIA

Incepem prin a rezolva teste pentru Evaluarea Nationala, in cadrul aceste sectiuni o sa prezentam execitii rezolvate pentru Evaluarea Nationala, astfel o sa incepem cu subiectul I in care o sa explicam pentru fiecare exercitiu in parte ceea e am facut.

Subiectul I
1. Rezultatul calculului $68-6\cdot 8=68-48=20$
2. Daca $a=\sqrt{2}-1$ si $b=3+2\sqrt{2}$ , atunci multimea $\left[a,b\right]\cap N$ are … elemente.
Stim ca $a=\sqrt{2}-1\approx 1,41-1=0,41$
$b=3+2\sqrt{2}=3+2\cdot 1,41\approx 3+2,82=5,82$
Adica $\left[a,b\right]\cap N=\left[\sqrt{2}-1, 3+2\sqrt{2}\right]\cap N=\left[0,41; 5,82\right]\cap N=\left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}$ , deci multimea are 5 elemente.
3. Cel mai mare numar natural prin care se simplifica fractia $\frac{112}{84}$ este….
$\frac{112}{84}\frac{112:4}{84:4}=\frac{28:7}{21:7}=\frac{4}{3}$ . Deci cel mai mare numar prin care simplificam fractia este 28.
4. Fie D si E mijloacele laturilor (AC) si (AB) ale triunghiului echilateral ABC, de latura A=8 cm. Aria trapezului BCDE este ….

In triunghiul ABC, DE este linie mijloocie, deci $DE=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6$ cm.Cum D este mijlocul lui AC rezulta ca DC=6 cm, asemanator si EB=6 cm.
Aria trapezului este: $A_{trapez}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}$ , baza mica si baza mare le cunoastem, trebuie sa mai aflam inaltimea, fie $DT\bot BC$ , cum triunghiul ABC este echilateral, rezulta $m\left(\prec ACB\right)=60^{0}$ , cum $DT\bot BC \Rightarrow m\left(\prec DTC\right)=90^{0}$ , deci $m\left(\prec CDT\right)=30^{0}$ .

Cum DE=6 cm, DE=TF, $CT+TF+FB=BC\rightarrow 12=CT+6+FB\rightarrow CT+FB=6 cm$ Cum CT=FB rezulta ca CT=FB=3 cm .In triunghiul CDT aplicam teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , deci $DT=\frac{1}{2}\cdot DC\Rightarrow DT=\frac{1}{2}\cdot 6\Rightarrow DT=3$ cm. Deci $A_{trapez}=\frac{\left(12+6\right)\cdot 3}{2}=\frac{12\cdot 3}{2}=18$ cm.
5. Prisma dreapta ABCA’B’C’ are baza triunghi echilateral cu AB=12 cm si inaltimea AA’=9 cm. Volumul prismei este…
Pentru a rezolva problema de mai sus trebuie sa stim formula pentru volumul prismei, astfel pentru orice prisma volumul este $V=A_{b}\cdot h$ unde $A_{b}$ este aria bazei, iar „h” dupa cum bine stiti este inaltimea prismei. In cazul nostu prisma este triunghiulara cu baza triunghi echilateral, deci $V=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h$ unde $\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$ este aria triunghiului echilateral. Deci volumul este
$V=\frac{12^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 9=\frac{144\sqrt{3}}{4}\cdot 9=36\sqrt{3}\cdot 9=324\sqrt{3}$ .

6. Lungimea raului Arges este de 275 km, Siretul este cu 195 km mai lung, iar Oltul are cu 55 km mai mult decat Siretul, Atunci Oltul are… km.
notam raul Arges cu litera A, Siretul cu litera S, iar raul Olt cu O.
$A=275 km$
Si obtinem
$S+195 km=275+195 km= 470 km$
Iar .
$O=55 km+470 km= 525 km$

Subiecte rezolvate pentru Evaluarea Nationala

Publicat în noiembrie 3, 2013februarie 19, 2015 de MATEPEDIA

Dupa ce am rezolvat subiectul I pentru Evaluare Nationala, astazi o sa rezolvam partea a doua dintr-un subiect pentru Evaluarea Nationala, astfel prezentam urmatoarele subiecte rezolvate pentru Evaluarea Nationala:
Subiectul II
1. Desenati, pe foaia de examen o piramida triunghiulara regulata VABC
.
2. Un taran are de sapte ori mai multe gaini decat rate. Dupa ce vinde 15 gaini si cumpara 3 rate, numarul gainilor devine de patru ori mai mare decat cel al ratelor. Cate gaini si cate rate avea la inceput?
Pentru a rezolva problema de mai sus trebuie sa stim pasii pe care trebuie sa-i parcurgem pentru a rezolva problema:
– stabilirea necunoscutelor si multimea in care lucram , in cazul nostru necunoscutele sunt:
x= numarul de gaini
y= numarul de rate, iar multimea in care lucram este multimea numerelor naturale
-formarea ecuatiilor cu notiunile pe care le avem din enuntul problemei, in cazul nostru:
$x=7y$
$x-15=\left(y+3\right)\cdot 4$
Inlocuind din prima ecutie obtinem:
$7y-15=\left(y+3\right)\cdot 4\Rightarrow 7y-15=4y+12\Rightarrow 3y=27\Rightarrow y=\frac{27}{3}\Rightarrow y=9$
Astfel am obtinut y=9 acum putem afla si
$x=7\cdot 9\Rightarrow x=63$
Dupa ce am rezolvate ecuatiile, interpretam rezultatele:
– deci numarul de gaini este de 63, iar cel de rate este de: 9.
3. Pentru acoperirea unei podele sunt necesari 39 m de linoleum de latime 0.9 m.
a) Ce suprafata are podeaua
b) In depozit nu s-a gasit linoleum cu latimea de 0,9 m asa ca s-a cumparat un linoleum cu 0,25 m mai ingust. Cati metri de linoleum ingust sunt necesari pentru acoperirea podelei?
Raspuns
Incepem cu a)
Podeaua noastra are lungimea de 39 m, iar latimea de 0,9 m, deci are forma de dreptunghi, iar aria sa, adica suprafata este:
L=39 m, dar si l=0,9 m
Astfel obtinem ca
$A=L\cdot l=39\cdot 0,9=35,1 m^{2}$

Deci suprafata este de $35,1 m^{2}$
b) 0,9 m-0,25 m=0,65 m latime
Deci latimea acum este de 0,65 m
$35,1:0,65=54\;\; m$
Important la aceste probleme este sa fim atenti sa rezolvam corect primul subpunct al problemei pentru ca se leaga de cel de-al doilea, iar daca primul subpunct nu-l rezolvam corect, nici pe cel de-al doilea nu avem cum sa-l rezolvam corect.
4. Se considera functia de gradul I $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=5x-2$
a) Comparati numerele $f\left(1\right)$ si $f\left(2\right)$
b) Determinati punctul de pe graficul functiei care are coordonatele egale.
c) Reprezentati grafic functia
Solutie:
a) Calculam
$f\left(1\right)=5\cdot 1-2=5-2=3$
Dar si
$f\left(2\right)=5\cdot 2-2=10-2=8$
Deci $f\left(1\right)<f\left(2\right)$
b) Daca are coordonatele egale inseamna ca abscisa este egala cu ordonata, deci daca avem punctul
$A\left(x,y\right)$ , unde x stiti ca este axa absciselor, si y este axa ordonatelor, dar cum am spus si mai sus abscisa este egala cu ordonata rezulta ca x=y si deci punctul A devine $A\left(x,x\right)$ ,
Stim ca in general la o functie $A\left(x, y\right)\in G_{f} \Rightarrow f\left(x\right)=y$ iar in cazul nostru $A\left(x,x\right)\in G_{f}\Rightarrow f\left(x\right)=x\Rightarrow 5x-2=x\Rightarrow 4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ , deci punctul nostru este $A\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ .
c) Ca sa calculam graficul functiei parcurgem urmatoarele etape:
$G_{f}\cap OX$
Si calculam:
$f\left(x\right)=0\Rightarrow 5x-2=0\Rightarrow 5x=2\Rightarrow x=\frac{5}{2}$
Adica
$B\left(\frac{5}{2}, 0\right)$
Dar si
$G_{f}\cap OY$
Mai mult:
$f\left(0\right)=5\cdot 0-2=-2$
Si