Rezolvarea triunghiului dreptunghic

operatii cu vectori

Pentru a rezolva triunghiul dreptunghic putem folosi atat teoremele invatate, adica Teorema Catetei, Teorema inaltimii, dar si Teorema lui Pitagora. Fiecare dintre ele atunci cand trebuie dar si notiunile trigonometrice, adica functiile trigonometrice.

Dar pentru majoritatea dintre voi, mai intai trebuie sa va reamintiti care sunt catetele intr-un triunghi dreptunghic si care este ipotenuza. Dupa cum bine stiti notiunile trigonometrice folosesc aceste notiuni.

Astfel, avem triunghiul CDE, dreptunghic in C. L-am notat asa pentru a ne da seama, nu doar triunghiul ABC, in care avem CE si CD catete, adica dreptele care formeaza unghiul de 90 de grade se numesc catete, iar DE ipotenuza. Adica dreapta care se opune unghiului de 90^{0} se numeste ipotenuza.

triunghi dreptunghic

Aplicatii!

Fie triunghiul ABC cu laturile AB= 6 cm AC= 4 cm si m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}. Aflati aria, perimetrul si lungimea inaltimii din A a triunghiului.

Demonstratie:
Pentru a afla BC, construim perpendiculara, inaltimea din B pe AC. Fie BB'\perp AC
cum rezolvam triunghiul dreptunghic
Observam ca triunghiul astfel construit este un triunghi dreptunghic, in care cunoastem  ipotenuza si masura unghiului A, care este de 60^{0} . Astfel, cum avem triunghi dreptunghic, aplicam sin de 60^{0}

Astfel, in triunghiul dreptunghic ABB’, aplicam \sin A=\frac{cateta\;\; opusa}{ipotenuza}.

Adica \sin 60^{0}=\frac{BB'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BB'}{6}\Rightarrow BB^{'}=\frac{6\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BB'=3\sqrt{3}.

Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABB’, obtinem: AB^{2}=BB'^{2}+AB'^{2}\Rightarrow 6^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+AB'^{2}\Rightarrow AB'^{2}=36-27\Rightarrow AB'=\sqrt{9}=3\;\; cm

Cum stim ca AB’=3 cm, putem afla B’C, adica AB=AB'+B'C\Rightarrow 4=3+B'C\Rightarrow B'C=4-3\Rightarrow B'C=1\;\; cm

Acum observam ca si triunghiul BB’C este dreptunghi in B’, astfel putem aplica Teorema lui Pitagora, cum BC este ipotenuza obtinem: BC^{2}=BB'^{2}+B'C^{2}\Rightarrow BC^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+1^{2}\Rightarrow BC^{2}=27+1\Rightarrow BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\;\; cm

Astfel, perimetrul triunghiului ABC este P_{\Delta ABC}=AB+BC+CA=6+4+2\sqrt{7}=10+2\sqrt{7}=2\left(5+\sqrt{7}\right)

Observam ca am aflat inaltimea mai sus. Astfel obtinem aria triunghiului ABC este A_{\Delta ABC}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{AC\cdot BB'}{2}=\frac{4\cdot 3\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}cm^{2}.

Stim ca orice triunghi are trei inaltimi. Astfel, pentru a afla inaltimea din A, stiind aria triunghiului, egalam ariile considerand odata baza AC si inca o data baza BC. Astfel stim de mai sus ca A_{\Delta ABC}=6\sqrt{3}

Dar mai stim si ca A_{\Delta ABC}=\frac{BC\cdot h}{2}

Unde h=inaltimea construita din A

A_{\Delta}=\frac{3\sqrt{3}\cdot h}{2}

Egaland cele doua arii obtinem:

\frac{3\sqrt{3}\cdot h}{2}=6\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{2\cdot 6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=4

Astfel inaltimea din  A este egala cu 4 cm.

Asadar, pentru a rezolva problemele in care apar masuri de unghiuri, de obicei folosim functiile trigonometrice, chiar daca atunci cand le invatam ni se pare mai greu, acestea ne ajuta sa rezolvam problemele mai usor.

Atentie! Functiile trigonometrice se aplica doar intr-un triunghi dreptunghic, daca nu avem un triunghi dreptunghic incercam sa ne construim unul.

Lasă un răspuns