Se consideră funcția
a) Aratati ca functia f este descrescatoare pe
Pentru a arata ca functia este descrescatoare folosim rolul derivata intai, deci mai intai calculam derivata functiei
Observam ca pentru a deriva functia de mai sus am folosit derivarea diferentei a doua functii, adica , dar si derivarea functiilor compuse, adica
.
Asadar
Aducand la acelasi numitor fractiile obtinem
, asadar
pentru oricare x>1, deci functia este descrescatoare.
b) Determinati asimptotele graficului functiei
Atentie la acest subpunct trebuie sa aflam toate asimptotele, adica atat asimptota/asiptotele verticale, cat si cele orizontale sau oblice in functie de ce asimptota are functia (stim ca daca o functie are asimptota orizontala spre +infinti, atunci nu mai are asimptota oblica si invers)
Asadar calculam asimptota verticala
, asadar, x=1, asimptota verticala, cum f este continua pe
, functia nu mai are asimptote verticale.
Calculam sa vedem daca functia are asimptota orizontala, astfel calculam
, iar daca folosim proprietatile de la logaritmi, limita devine
Asadar este asimptota orizontala spre
, cum functia are asimptota orizontala, obtinem ca nu mai are oblica.
c) Calculati
Observam ca avem cazul de nedeterminare , lucarm cele doua functii pentru a aduce in cazul de nedeterminare
, asadar limita devine
Observam ca avem cazul de nedeterminare , iar pe x l-am scris ca fiind
, aplicand acum regulile lui L’Hospital obtinem
Am folosit metoda factorului comun fortat.