Se consideră funcția $latex f:(1,+\infty)\rightarrow R$ $latex f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$
a) Aratati ca functia f este descrescatoare pe $latex (1,+\infty)$
Pentru a arata ca functia este descrescatoare folosim rolul derivata intai, deci mai intai calculam derivata functiei
$latex f^{‘}(x)=\left(\ln(x+1)-ln(x-1)\right)^{‘}=\frac{1}{x+1}\cdot\left(x+1\right)^{‘}-\frac{1}{x-1}\cdot\left(x-1\right)^{‘}$
Observam ca pentru a deriva functia de mai sus am folosit derivarea diferentei a doua functii, adica $latex (f-g)^{‘}=f^{‘}-g^{‘}$, dar si derivarea functiilor compuse, adica $latex (\ln u)^{‘}=\frac{1}{u}\cdot u’$.
Asadar $latex f^{‘}(x)=\frac{1}{x+1}\cdot 1-\frac{1}{x-1}\cdot 1=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$
Aducand la acelasi numitor fractiile obtinem
$latex f^{‘}(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}-\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$latex =\frac{x-1-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)(x+1)}=$
$latex \frac{-2}{x^{2}-1}$, asadar $latex f^{‘}(x)<0$ pentru oricare x>1, deci functia este descrescatoare.

b) Determinati asimptotele graficului functiei
Atentie la acest subpunct trebuie sa aflam toate asimptotele, adica atat asimptota/asiptotele verticale, cat si cele orizontale sau oblice in functie de ce asimptota are functia (stim ca daca o functie are asimptota orizontala spre +infinti, atunci nu mai are asimptota oblica si invers)
Asadar calculam asimptota verticala
$latex \lim_{x\to 0\\x>0}{\left(\ln(x+1)-\ln(x-1)\right)}=\ln(1+1)-\ln(1-1)=\ln2-\ln 0=\ln2-(-\infty)=\ln2+\infty=+\infty$, asadar, x=1, asimptota verticala, cum f este continua pe $latex (1,+\infty)$, functia nu mai are asimptote verticale.
Calculam sa vedem daca functia are asimptota orizontala, astfel calculam $latex \lim_{x\to\infty}{f(x)}=$
$latex \lim_{x\to\infty}{\ln(x+1)-\ln(x-1)}$, iar daca folosim proprietatile de la logaritmi, limita devine
$latex \lim_{x\to\infty}{\ln\frac{x+1}{x-1}}=$
$latex \ln\lim_{x\to\infty}{\frac{x+1}{x-1}}=$
$latex \ln\lim_{x\to\infty}{\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}}=$
$latex \ln\frac{1+0}{1-0}=\ln1=0$
Asadar $latex y=0$ este asimptota orizontala spre $latex +\infty$, cum functia are asimptota orizontala, obtinem ca nu mai are oblica.
c) Calculati $latex \lim_{x\to\infty}{x\cdot f(x)}=\lim_{x\to\infty}{x\cdot\left(\ln(x+1)-\ln(x-1)\right)}$
Observam ca avem cazul de nedeterminare $latex \infty\cdot 0$, lucarm cele doua functii pentru a aduce in cazul de nedeterminare $latex \frac{0}{0}$, asadar limita devine
$latex \lim_{x\to \infty}{\frac{\ln(x+1)-\ln(x-1)}{x^{-1}}}$
Observam ca avem cazul de nedeterminare $latex \frac{0}{0}$, iar pe x l-am scris ca fiind $latex \frac{1}{x^{-1}}$, aplicand acum regulile lui L’Hospital obtinem
$latex \lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{1}{x+1}\cdot(x+1)^{‘}-\frac{1}{x-1}\cdot(x-1)^{‘}}{-1\cdot x^{-2}}}$
$latex \lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{-x^{-2}}}=$
$latex \lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{x-1-x-1}{x^{2}-1}}{-\frac{1}{x^{2}}}}$
$latex \lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{-2}{x^{2}-1}}{-\frac{1}{x^{2}}}}$
$latex \lim_{x\to\infty}{\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}}$
$latex \lim_{x\to\infty}{\frac{2x^{2}}{x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)}}$
$latex \lim_{x\to\infty}{\frac{2}{1}}=2$
Am folosit metoda factorului comun fortat.