Compararea si ordonarea puterilor, reguli de comparare

Dupa ce am invatat cum sa rezolvam exercitii cu ridicarea la putere a unui numar natural si dupa ce am invatat regulile de calcul, astazi o sa invatam compararea si ordonarea puterilor, reguli de calcul cu puteri.

Cand aveam numere naturale fara ridicare la putere, comparam, in functie de ce aveam. Adica: zeci, sute, mii, sute de mii, milioane, comparam de la dreapta la stanga si observam care cifra este mai mare si astfel gaseam numarul cel mai mare, important era sa vedem la ce ordin de marime suntem.
Ca sa ne fie mai usor cu compararea si ordonarea puterilor trebuie sa invatam anumite reguli de comparare:
– astfel daca avem aceeasi baza ne uitam la exponent, iar numarul care are exponentul mai mare este cel mai mare
Exemplu:
$5^{101}\;\; si\;\; 5^{83}$
Cum 101>83, rezulta ca $5^{101}>5^{83}$ , avem aceeasi baza dar primul exponent este mai mare decat cel de-al doilea.
Regula:
$m>n \Rightarrow a^{m}>a^{n}$
-daca nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, dintre doua numere mai mare este cel care are baza mai mare.

Exemplu: $5^{23}$ si $7^{23}$

Astfel $5<7\Rightarrow 5^{23}<7^{23}$
Iar ultima regula este aceea in care nu avem nici aceeasi baza nici acelasi exponent. In acest caz incercam sa aducem fie la aceiasi baza fie la acelasi exponent, in functie de ce observam la cele doua numere.
Exemplu: $2^{30}\;\; si\;\;3^{20}$
Observam ca nu avem nici aceeasi baza si nici acelasi exponent, astfel obsevam ca avem in ambele cazuri puteri ale lui 10, deci $2^{30}=\left(2^{3}\right)^{10}=8^{10}$

Si $3^{20}=\left(3^{2}\right)^{10}=9^{10}$
Astfel am adus cele doua numere la acelasi exponent si aplicam regula a doua:
$8<9\Rightarrow 8^{10}<9^{10}\Rightarrow 2^{30}<3^{20}$
Exercitii:
1) Comparati numerele
$a) 9^{51}$ si $3^{103}$
b) $5^{34}$ si $3^{51}$
c) $0^{43}$ si $0^{83}$
d) $3^{38}$ si $2^{59}-2^{58}-2^{57}$
e) $2^{2^{3}}$ si $\left(2^{2}\right)^{3}$

Solutie
a) $9^{51}=\left(3^{2}\right)^{51}=3^{2\cdot 51}=3^{102}$
Privind cele doua numere, obsevam ca pe primul putem sa-l scriem in baza 3, deoarece $9=3^{2}$ , obsevam ca cel de-al doilea numar este deja in baza 3 si astfel am adus cele doua numere in aceeasi baza si astfel putem sa le comparam:
$3^{102}<3^{103}\Rightarrow 9^{51}<3^{103}$
b) Obsevam ca la exercitiul b) nu putem sa lucram cu bazele, astfel incercam sa lucram exponentii, adica exponentii sa aiba aceeasi putere: $5^{34}=5^{2\cdot 17}=\left(5^{2}\right)^{17}=25^{17}$ , fiind singura posibilitate $3^{51}=3^{3\cdot 17}=\left(3^{2}\right)^{17}=9^{17}$

Astfel am adus numerele la acelasi exponent $25^{17}>9^{17}\Rightarrow 5^{34}>3^{51}$ .
Ca sa vedem cum e mai usor sa scriem exponentii sau bazele ,ii impartim la 2,3,5,7,11,13,17, iar impartirile trebuie sa fie fara rest.
c) Stim ca 0 la orice putere este tot 0, deci cele doua numere sunt egale.
d) Primul numar la baza nu avem cum sa-l lucram, dar ca sa vedem daca lucram exponentul, calculam mai intai cel de-al doilea numar $2^{59}-2^{58}-2^{57}=2^{57}\left(2^{2}-2^{1}-2^{0}\right)=2^{57}\left(4-2-1\right)=2^{57}\cdot 1=2^{57}$

Iar cel de-al doilea numar $3^{38}=3^{2\cdot 19}=\left(3^{2}\right)^{19}=9^{19}$
Primul numar il putem rescrie in functie de $9^{19}$

$2^{57}=\left(2^{3}\right)^{19}=8^{19}$
Si astfel obtinem $9^{19} > 8^{19} \Rightarrow 2^{59}-2^{58}-2^{57}>3^{38}$
Observam ca trebuie sa lucram si primul numar la exponent, ca sa putem sa aducem la acelasi exponent.

Compararea si ordonarea puterilor, reguli de comparare

Recente

Categorii