Cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Fie ABCD un paralelogram de centru O iar E,F,G,H mijloacele segmentelor [OA] [OB] [ OC] şi respectiv [OD]. arătaţi că EFGH este paralelogram.

Demonstratie:

Stim din ipoteza ca ABCD este paralelogram si cu proprietatile referitoare la diagonale intr-un paralelogram stim ca diagonalele au acelasi mijloc, daca nu va reaminti click aici

Astfel obtinem ca $[AO]\equiv[CO]$
Dar si $[BO]\equiv[DO]$

Tot din ipoteza stim ca E este mijlocul lui AO, deci avem $AE=EO=\frac{AC}{2}$
– F mijlocul lui BO, deci avem $BF=FO=\frac{BO}{2}$
– G mijlocul lui CO, deci obtinem ca $CG=GO=\frac{CO}{2}$
– H mijlocul lui DO, deci avem ca $DH=HO=\frac{DO}{2}$

Ca sa intelegem avem ca $EO=\frac{AO}{2}\Rightarrow AO=2\cdot EO$
Mai mult, $GO=\frac{CO}{2}\Rightarrow CO=2\cdot GO$
Cum stim de mai sus ca $AO=CO\Rightarrow 2EO=2GO\Rightarrow EO=GO$

Dar si $FO=\frac{BO}{2}\Rightarrow BO=2\cdot FO$
MAi mult $HO=\frac{DO}{2}\Rightarrow 2\cdot HO=DO\Rightarrow DO=2\cdot HO$
Dar stim de mai sus ca $DO=BO\Rightarrow 2\cdot HO=2\cdot FO\Rightarrow HO=FO$
Avem ca $EO=GO, HO=FO$
Deoarece diagonalele in patrulaterul EFGH se injumatatesc cu reciproca teoremei referitoare la diagonale obtinem ca EFGH este paralelogram, unde EG si HF sunt diagonale.

Cum aratam ca un patrulater este paralelogram

Recente

Categorii