Cum demonstram ca un patrulater este paralelogram

Prezentam o problema pe care o rezolvam folosind notiunile invatate pana in acest moment, adica notiunea de patrulater convex, cum aflam masura unghiurilor intr-un patrulater convex, cum aratam ca un triunghi este triunghi isoscel, dar si cum aratam ca un patrulater este paralelogram. Adica cum demonstram ca un patrulater este paralelogram.

În patrulaterul convex ABCD măsurile unghiurilor A, B, C, D, sunt direct proporționale cu numerele 2,4,6 și 8.
a) Calculați măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD
b) Fie [DE bisectoarea unghiului ADC, E € (AB). Arătați că triunghiul ADE este isoscel.
c) Demonstrați că BCDE este paralelogram.

Demonstratie:

a) Pentru a afla masurile unghiurilor patrulaterului trebuie sa ne reamintim notiunea de marime direct proportionala, iar cei care nu va mai reamintiti click aici.

Astfel obtinem sirul de rapoarte:

$\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}= \frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}= \frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}= \frac{m\left(\widehat{A}\right)}{8}$

Acum daca egalam fiecare raport cu o litera k obtinem:

$\frac{m\left(\widehat{A}\right)}{2}=k\Rightarrow m\left(\widehat{A}\right)=2k$

$\frac{m\left(\widehat{B}\right)}{4}=k\Rightarrow m\left(\widehat{B}\right)=4k$

$\frac{m\left(\widehat{C}\right)}{6}=k\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=6k$

$\frac{m\left(\widehat{D}\right)}{8}=k\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=8k$

Dar stim ca intr-un patrulater convex suma masurii unghiurilor este de $360^{0}$

Astfel stim ca $m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)+m\left(\widehat{D}\right)=360^{0}\Rightarrow 2k+4k+6k+8k=360^{0}\Rightarrow 20k=360^{0}\Rightarrow k=360^{2}:20\Rightarrow k=18^{0}$

Si astfel obtinem $m\left(\widehat{A}\right)=2\cdot k=2\cdot 18^{0}=36^{0}$

Iar $m\left(\widehat{B}\right)=4\cdot k=4\cdot 18^{0}=72^{0}$

Si $m\left(\widehat{C}\right)=6\cdot k=6\cdot 18^{0}=108^{0}$

Dar si $m\left(\widehat{D}\right)=8\cdot k=8\cdot 18^{0}=144^{0}$

Deci am aflat suma masurii unghiurilor patrulaterului.

Important ! Pentru a afla masura unghiurilor patrulaterului trebuie sa stim care este suma masurii unghiurilor intr-un patrulater.

b) Stim ca [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar pentru a trasa in figura noastra bisectoarea sa ne reamintim mai intai ce inseamna bisectoarea intr-un unghi.

Definitie:

Semidreapta care imparte unghiul dat in doua unghiuri congrunete se numeste bisectoarea unui unghi.

Deci noi stim ca semidreapta [DE este bisectoarea unghiului ADC, dar cum din punctul anterior stim masura unghiului ADC, putem sa aflam si masura unghiului ADE, dar si masura unghiului EDC, astfel avem $m\left(\widehat{ADE}\right)=m\left(\widehat{EDC}\right)=\frac{m\left(\widehat{ADC}\right)}{2}=\frac{144^{0}}{2}=72^{0}$

Deci am aflat ca fiecare din unghiuri are masura de $72^{0}$ .

Observam ca ADE triunghi, dar din notiunile invatate in anii anteriori stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de $180^{0}$

Deci in triunghiul ADE, avem: $m\left(\widehat{DAE}\right)+m\left(\widehat{ADE}\right)+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+72^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow 108^{0}+m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=180^{0}-108^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)=72^{2}$

deci in triunghiul ADE, stim ca $m\left(\widehat{AED}\right)=m\left(\widehat{ADE}\right)=72^{0}\Rightarrow \widehat{AED}\equiv\widehat{ADE}$

Dar cu proprietatile de la triunghiul isoscel, stim ca:

-Daca intr-un triunghi unghiurile alaturate bazei sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Deci cum am aratat ca cele doua unghiuri sunt congrunete, rezulta ca triunghiul este isoscel, adica $\Delta ADE$ isoscel,

c) Acum sa demonstram ca BCDE este paralelogram

Observam ca in patrulaterul convex BCDE

$m\left(\widehat{EDC}\right)=m\left(\widehat{EBC}\right)=72^{0}$

Observam ca unghiul AEB este un unghi alungit, adica:

Stim ca $m\left(\widehat{AEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{AED}\right)+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow 72^{0}+m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=180^{0}-72^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DEB}\right)=108^{0}$ .

deci cu masura unghiului gasit obtinem ca $m\left(\widehat{DEB}\right)=m\left(\widehat{DCB}\right)=108^{0}\Rightarrow \widehat{DEB}\equiv\widehat{DCB}$

Si cu teorema reciproca referitoare la unghiuri intr-un paralelogram obtinem ca $BCDE$ este paralelogram.

Stim ca daca intr-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Aceasta a fost o problema rezolvata prin care am invatat cum demonstram ca un patrulater este paralelogram. Daca aveti probleme asemanatoare urmati tiparul de mai sus si cu siguranta le puteti rezolva.

Cum demonstram ca un patrulater este paralelogram

Recente

Categorii