Cum rezolvam polinoamele cu ajutorul relatiilor lui Viete

Pana acum am inavatat sa impartim doua polinoame, sa gasim cel mai mare divizor comun a doua sau mai multor polinoame si asa mai departe, dar putem rezolva polinoamele si cu relatiile lui Viete, astfel consideram urmatorul exercitiu:

Se considera polinomul $f=X^{4}-2X^{2}+1$ cu radacinile $x_{1}, x_{2},x _{3}, x_{4}\in R$

a) Sa se arate ca polinomul f este divizibil cu $g=X^{2}-1$

b) Sa se calculeze $S\cdot P$ unde $S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$ , iar $P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}$

c) Sa se calculeze suma $T=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}$

Solutie:

Ca sa vedem daca polinomul f este divizibil cu polinomul g, fie efectuam impartirea polinomul f la polinomul g, iar aca restul este 0 atunci polinomul f este divizibil cu polinomul g

$f:g$

Adica

$\left(X^{4}-2X^{2}+1\right):\left(X^{2}-1\right)=X^{2}-1$

Deci obtinem catul $q=X^{2}-1$ si restul 0.

Deci polinomul f este divizibil cu polinomul g.

Sau prin alta metoda observam ca polinomul g are radacinile $\pm 1$ , astfel daca calculam

$f\left(1\right)=1^{4}-2\cdot 1^{2}+1=1-2+1=-1+1=0$

Obtinem ca

$f\left(1\right)=0$ , deci 1 verifica polinomul, iar restul este 0.

$f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2}-2\cdot\left(-1\right)^{2}+1=1-2+1=-1+1=0$

Deci cele doua radacini polinomului g verifica polinomul f si astfel obtinem ca polinomul f este divizibil cu polinomul g.

b) Ca sa calculam produsul $S\cdot P$ folosim Relatiile lui Viete

Astfel stim ca

$S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=\frac{-a_{3}}{a_{4}}=\frac{-0}{1}=0$

Iar

$P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}=\frac{a_{0}}{a_{4}}=\frac{1}{1}=1$

Deci $S\cdot P=0\cdot 1=0$

Acum sa ne reamintim relatiile lui Viete:

Astfel fie polinomul

$f=a_{n}X^{n}+...+a_{1}X+a_{0}$ cu radacinile $x_{1}, x_{2}, ...,x_{n}$ , Astfel avem:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=\frac{-a_{n-1}}{a_{n}} \\x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}} \\......................................................................................, \\x_{1}x_{2}...x_{n}=\left(-1\right)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$

c) Acum ca sa calculam T observam ca

$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ verifica polinomul astfel

$f\left(x_{1}\right)=0\Rightarrow x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}+1=0$

Dar si

$f\left(x_{2}\right)=0\Rightarrow x_{2}^{4}-2x_{2}^{2}+1=0$

$f\left(x_{3}\right)=0\Rightarrow x_{3}^{4}-2x_{3}^{2}+1=0$

$f\left(x_{4}\right)=0\Rightarrow x_{4}^{4}-2x_{4}^{2}+1=0$

Acum daca adunam toate cele 4 relatii obtinem:

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}-2x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}-2x_{4}^{2}+1+1+1+1=0\Rightarrow x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}-2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)+4=0$

Astfel

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)-4$ (*)

Astfel acu trebuie sa calculam

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$

Astfel folosim formula de calcul prescurtat

$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Iar in cazul nostru

$\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{2}= x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$ (**)

Astfel cu ajutorul relatiilor lui Viete, obtinem ca:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{0}{1}=0$

Deoarece coeficientul lui $X^{3}$ nu exista si astfel este 0.

Acum mai calculam si

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{-2}{1}=-2$

Astfel daca inlocuim in (**) obtinem ca:

$0^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2\left(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)\Rightarrow$

$0=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2\cdot \left(-2\right)\Rightarrow 0=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-4\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=4$