Ne place matematica !

Cum rezolvam polinoamele cu ajutorul relatiilor lui Viete

Pana acum am inavatat sa impartim doua polinoame, sa gasim cel mai mare divizor comun a doua sau mai multor polinoame si asa mai departe, dar putem rezolva polinoamele si cu relatiile lui Viete, astfel consideram urmatorul exercitiu:

Se considera polinomul f=X^{4}-2X^{2}+1  cu radacinile x_{1}, x_{2},x _{3}, x_{4}\in R

a) Sa se arate ca polinomul f este divizibil cu g=X^{2}-1

b) Sa se calculeze S\cdot P unde S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}, iar P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}

c) Sa se calculeze suma T=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}

Solutie:

Ca sa vedem daca polinomul f este divizibil cu polinomul g, fie efectuam impartirea polinomul f la polinomul g, iar aca restul este 0 atunci polinomul f este divizibil cu polinomul g

f:g

Adica

\left(X^{4}-2X^{2}+1\right):\left(X^{2}-1\right)=X^{2}-1

Deci obtinem catul q=X^{2}-1 si restul 0.

Deci polinomul f este divizibil cu polinomul g.

 

Sau prin alta metoda observam ca polinomul g are radacinile \pm 1, astfel daca calculam

f\left(1\right)=1^{4}-2\cdot 1^{2}+1=1-2+1=-1+1=0

Obtinem ca

f\left(1\right)=0, deci 1 verifica polinomul, iar restul este 0.

Si

f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2}-2\cdot\left(-1\right)^{2}+1=1-2+1=-1+1=0

Deci cele doua radacini polinomului g verifica polinomul f si astfel obtinem ca polinomul f este divizibil cu polinomul g.

b) Ca sa calculam produsul S\cdot P folosim Relatiile lui Viete

Astfel stim ca

S=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=\frac{-a_{3}}{a_{4}}=\frac{-0}{1}=0

Iar

P=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}=\frac{a_{0}}{a_{4}}=\frac{1}{1}=1

Deci  S\cdot P=0\cdot 1=0

Acum sa ne reamintim relatiile lui Viete:

Astfel fie polinomul

f=a_{n}X^{n}+...+a_{1}X+a_{0} cu radacinile x_{1}, x_{2}, ...,x_{n}, Astfel avem:

x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=\frac{-a_{n-1}}{a_{n}}    \\x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}    \\......................................................................................,    \\x_{1}x_{2}...x_{n}=\left(-1\right)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}

c) Acum ca sa calculam T observam ca

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} verifica polinomul astfel

f\left(x_{1}\right)=0\Rightarrow x_{1}^{4}-2x_{1}^{2}+1=0

Dar si

f\left(x_{2}\right)=0\Rightarrow x_{2}^{4}-2x_{2}^{2}+1=0

 

f\left(x_{3}\right)=0\Rightarrow x_{3}^{4}-2x_{3}^{2}+1=0

 

f\left(x_{4}\right)=0\Rightarrow x_{4}^{4}-2x_{4}^{2}+1=0

Acum daca adunam toate cele 4 relatii obtinem:

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}-2x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}-2x_{4}^{2}+1+1+1+1=0\Rightarrow x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}-2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)+4=0

Astfel

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)-4(*)

Astfel acu trebuie sa calculam

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}

Astfel folosim formula de calcul prescurtat

\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

Iar in cazul nostru

\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{2}=    x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}(**)

Astfel cu ajutorul relatiilor lui Viete, obtinem ca:

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{0}{1}=0

Deoarece coeficientul lui X^{3} nu exista si astfel este 0.

Acum mai calculam si

x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{-2}{1}=-2

Astfel daca inlocuim in (**) obtinem ca:

0^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2\left(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\right)\Rightarrow

0=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2\cdot \left(-2\right)\Rightarrow 0=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-4\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=4

Acum daca inlocuim in (*) obtinem ca

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=2\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)-4\Rightarrow

x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=2\cdot 4-4=8-4=4

Deci obtinem ca T=4