Ne place matematica !

Cum se rezolva limitele de functii cu regulile lui L’Hospital

Ca sa intelegem cum se rezolva limitele de functii trebuie sa rezolvam cat mai multe, deoarece dupa cum bine stiti cu cat rezolvam mai multe exercitii cu atat o sa ne fie mai usor, dar trebuie sa invatam si regulile lui L ‘Hospital.

1) Sa se calculeza:

a) \lim\limits_{x\to\infty}{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}

In primul rand trebuie sa observam ca avem o nedeterminare de forma \left(\infty-\infty\right), astfel scriei limita:

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x-\left(x+1\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x-x-1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}=-\frac{1}{\infty}=0

b) \lim\limits_{x\to 1}{\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x\ln x-1\cdot\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\cdot \ln x}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x\ln x-x+1}{\left(x-1\right)\cdot \ln x}}=

Observam ca limita de mai sus est o nedeterminare de forma   \left(\infty-\infty\right), dar indeplineste si conditiile ca sa aplicam una din regulile lui L ‘Hospital, astfel obtinem o nedeterminare de forma \frac{0}{0}:

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x\ln x-x+1}{\left(x-1\right)\cdot \ln x}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{1\cdot \ln x+x\cdot\frac{1}{x}-1}{1\cdot\ln x+\left(x-1\right)\cdot \frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\ln x+1-1}{\ln x+\frac{x-1}{x}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}}=

Observam ca avem tot o nedeterminare de forma \frac{0}{0} si astfel aplicam din nou Regula lui  L ‘Hospital :

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1\cdot x-\left(x-1\right)\cdot 1}{x^{2}}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{1}{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Deci, important la acest tip de exercitiu, daca vrem sa aplicam regulile lui L’Hosital, trebuie sa o aducem la un tip de nedeterminare de forma \frac{0}{0} sau \frac{\infty}{\infty}.