Ca sa intelegem cum se rezolva limitele de functii trebuie sa rezolvam cat mai multe, deoarece dupa cum bine stiti cu cat rezolvam mai multe exercitii cu atat o sa ne fie mai usor, dar trebuie sa invatam si regulile lui L ‘Hospital.

1) Sa se calculeza:

a) \lim\limits_{x\to\infty}{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}

In primul rand trebuie sa observam ca avem o nedeterminare de forma \left(\infty-\infty\right), astfel scriei limita:

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x-\left(x+1\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x-x-1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}=-\frac{1}{\infty}=0

b) \lim\limits_{x\to 1}{\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x\ln x-1\cdot\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\cdot \ln x}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x\ln x-x+1}{\left(x-1\right)\cdot \ln x}}=

Observam ca limita de mai sus est o nedeterminare de forma   \left(\infty-\infty\right), dar indeplineste si conditiile ca sa aplicam una din regulile lui L ‘Hospital, astfel obtinem o nedeterminare de forma \frac{0}{0}:

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x\ln x-x+1}{\left(x-1\right)\cdot \ln x}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{1\cdot \ln x+x\cdot\frac{1}{x}-1}{1\cdot\ln x+\left(x-1\right)\cdot \frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\ln x+1-1}{\ln x+\frac{x-1}{x}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}}=

Observam ca avem tot o nedeterminare de forma \frac{0}{0} si astfel aplicam din nou Regula lui  L ‘Hospital :

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1\cdot x-\left(x-1\right)\cdot 1}{x^{2}}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)}}=\lim\limits_{x\to 1}{\frac{1}{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Deci, important la acest tip de exercitiu, daca vrem sa aplicam regulile lui L’Hosital, trebuie sa o aducem la un tip de nedeterminare de forma \frac{0}{0} sau \frac{\infty}{\infty}.