Dupa ce am invatat sa determinam intervalele de convexitate si concavitate a functiilor, a venit vremea sa invatam sa determinam punctele de inflexiune, astfel prezentam o teorema cu ajutorul careia gasim punctele de inflexiune:

Teorema:Fie $latex f:I\rightarrow R$ si $latex x_{0}$ un punct din interiorul intervalului I, astfel incat:

a) f este de doua ori derivabila in vecinatatea  V a lui $latex x_{0}$

b) exista punctele $latex a,b\in V$, astfel incat $latex x_{0}\in\left(a, b\right)$

c ) $latex f^{”}\left(x\right)=0$

d) $latex f^{”}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right)$ si $latex f^{”}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right)$ sau invers  $latex f^{”}\left(x\right)>0, \forall x\in\left(a, x_{0}\right)$ si $latex f^{”}\left(x\right)<0, \forall x\in\left(x_{0}, b\right)$.

atunci $latex x_{0}$ este un punct de inflexiune al functiei f.

Observatie:

1) Conditia $latex f^{”}\left(x\right)=0$ nu implica intotdeauna ca $latex x_{0}$ este punct de inflexiune.

2. Conditia ca f sa fie continua in $latex x_{0}$ este punct de inflexiune.

Exemplu:

Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei $latex f:D\rightarrow R$ definite prin:

a) $latex f\left(x\right)=x^{3}-7x^{2}+3x-4$

Aflam mai intai domeniul de definitie, astfel domeniul de definitie al functiei f este R, deoarece functia de mai sus este o functiei polinomiala, deci avem

$latex f:R\rightarrow R$

Calculam mai intai

$latex f^{‘}\left(x\right)=\left(x^{3}-7x^{2}+3x-4\right)^{‘}=3x^{2}-14x+3-0$

Calculam acum

$latex f^{”}\left(x\right)=\left(f^{‘}\left(x\right)\right)^{‘}=\left(3x^{2}-14x+3\right)^{‘}=6x-14+0=6x-14$

Rezolvam acum ecuatia:

$latex f^{”}\left(x\right)=0\Rightarrow 6x-14=0\Rightarrow 6x=14\Rightarrow x=14:6\Rightarrow x=\frac{7}{3}$

Acum efectuam tabelul de variatie:

Dar mai intai calculam

$latex f\left(\frac{7}{3}\right)=\left(\frac{7}{3}\right)^{2}-3\left(\frac{7}{3}\right)^{2}+3\cdot\frac{7}{3}-4=\frac{343}{27}-3\cdot \frac{49}{9}+7=frac{343}{27}-\frac{49}{3}+7=\frac{343-9\cdot 49+27\cdot 7 }{27}=\frac{343-441+189}{27}=\frac{-98+189}{27}=\frac{91}{27}$

In concluzie functia f este concava pe intervalul $latex x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right)$ si este convexa pe intervalul $latex \left(\frac{7}{3},+\infty\right)$
Astfel pentru $latex x\in\left(-\infty,\frac{7}{3}\right) f^{”}\left(x\right)<0$ si pentru $latex x\in\left(\frac{7}{3},+\infty\right), f^{”}\left(x\right)>0$. Atunci punctul $latex x_{0}=\frac{7}{3}$ este punct de inflexiune.
b) $latex f\left(x\right)=x^{2}\ln x$
calculam mai intai domeniul de definitie, astfel punem conditia ca
$latex x>0\Rightarrow x\in \left(0,+\infty\right)$
Deci functia $latex f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R$
Calculam
$latex f^{‘}\left(x\right)=\left(x^{2}\ln x\right)^{2}=2x\cdot \ln x+x^{2}\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x$
Calcul acum
$latex f^{”}\left(x\right)=\left(f^{‘}\left(x\right)\right)^{‘}=\left(2x\ln x+x\right)^{‘}=2\cdot \ln x+2x\frac{1}{x}+1=2\ln x+2+1=2\ln x+3$
Acum rezolvam ecuatia:
$latex f^{”}\left(x\right)=0\Rightarrow 2\ln x+3=0\Rightarrow 2\ln x=-3\Rightarrow \ln x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=e^{-\frac{3}{2}}$
Calculam acum
$latex f\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)=\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)^{2}\ln e^{-\frac{3}{2}}=$
$latex e^{-3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\ln e\right)=-\frac{3}{2}e^{-3}\cdot 1=-\frac{3}{2}e^{-3}$

Acum alcatuim tabelul

Astfel functia f este concava pe intervalul $latex \left(0,e^{-\frac{3}{2}}\right)$ si convexa pe intervalul $latex \left(e^{-\frac{3}{2}}, +\infty\right)$, astfel ca punctul $latex \left(e^{-\frac{3}{2}}, -\frac{3}{2}e^{3}\right)$ este punct de inflexiune.
c) $latex f\left(x\right)=\frac{x}{1-x^{2}}$
Aflam mai intai domeniul de defintie:
Astfel punem conditia ca $latex 1-x^{2}\neq 0\Rightarrow -x^{2}\neq -1\Rightarrow x^{2}\neq 1\Rightarrow x\neq\pm 1$
Astfel $latex x\in R-{\pm 1}$
Adica $latex D=R-\left\{-1,1\right\}$
Calculam acum
$latex f^{‘}\left(x\right)=\left(\frac{x}{1-x^{2}}\right)^{‘}=\frac{1\cdot\left(1-x^{2}\right)-x\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}+2x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}$
Calculm acum
$latex f^{”}\left(x\right)=\frac{2x\cdot\left(1-x^{2}\right)^{2}-\left(1+x^{2}\right)\cdot 2\left(1-x^{2}\right)\cdot\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$latex \frac{2x\left(1-2x^{2}+x^{4}\right)+4x\left(1-x^{4}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$latex \frac{2x-4x^{3}+2x^{5}+4x-4x^{5}}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$latex \frac{-2x^{5}-4x^{3}+6x}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$latex \frac{-2x\left(x^{4}+2x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=$
$latex \frac{-2x\left(x^{4}+3x^{2}-x^{2}-3\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=$
$latex \frac{-2x\left[x^{2}\left(x^{2}+3\right)+\left(x^{2}+3\right)\right]}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}=$
$latex \frac{-2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}$

Astfel avem ca:

$latex f^{”}\left(x\right)=0\Rightarrow -2x\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}-1\right)=0$

Si astfel obtinem $latex -2x=0\Rightarrow x=0$

Sau $latex x^{2}+3=0$ (observam ca ecuatia nu are solutii in multimea numerelor reale)

Sau $latex x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1$

Acum intocmim tabelul de variatie, dar tinem cont si de domeniul de definitie al functiei, astfel avem:

Calculam acum $latex f\left(0\right)=\frac{0}{1-0^{2}}=0$

Ca sa stabilim semnul functiei calculam

$latex f^{”}\left(-2\right)=\frac{-2\cdot\left(-2\right)\left[\left(-2\right)^{2}+3\right]\left[\left(-2\right)^{2}-1\right]}{\left(1-\left(-2\right)^{2}\right)^{4}}=\frac{4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{4\cdot 7\cdot 3}{81}>0$

Acum calculam

$latex f^{”}\left(-0,5\right)=\frac{-2\cdot\left(-0,5\right)\left[\left(-0,5\right)^{2}+3\right]\left[\left(-0,5\right)^{2}-1\right]}{\left[1-\left(-0,5\right)^{2}\right]^{4}}=$

$latex \frac{1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{-2,43}{+0,75^{4}}<0$

Iar apoi

$latex f^{”}\left(0,5\right)=\frac{-2\cdot 0,5 \left(0,5^{2}+3\right)\left(0,5^{2}-1\right)}{\left(1-0,5\right)^{4}}=$

$latex \frac{-1\cdot\left(0,25+3\right)\left(0,25-1\right)}{\left(1-0,25\right)^{4}}=\frac{-1\cdot 3,25\cdot \left(-0,75\right)}{\left(-0,75\right)^{4}}=\frac{+2,43}{+0,75^{4}}>0$

Iar acum calculam

$latex f^{”}\left(2\right)=\frac{-2\cdot 2\left(2^{2}+3\right)\left(2^{2}-1\right)}{\left(1-2^{2}\right)^{4}}=\frac{-4\left(4+3\right)\left(4-1\right)}{\left(1-4\right)^{4}}=\frac{-4\cdot 7\cdot 3}{81}<0$

Astfel pe intervalul

$latex \left(-\infty; 1\right)\cup\left[0; 1\right)$ functia este convexa iar pe intervalul $latex \left(-1; 0\right)\cup\left[0; +\infty\right)$ functia este concava

Iar punctele de inflexiune sunt -1; 0; 1.