Ne place matematica !

Divizibilitatea numerelor naturale – divizori si multipli

Inca din clasa a V-a am introdus notiunea de divizibilitate  iar acum o sa vorbim, o sa ne reamintim divizibilitatea numerelor naturale, adica notiunea de divizori si multipli.

Def: Fie “a” si “b” doua numere naturale. Spunem ca a divide b si notam “a|b”, daca exista un numar natural “c” astfel incat b=a\cdot c sau spunem ca “a” este un divizor al lui “b”, daca exista un numar natural “c” astfel incat  b=a\cdot c . Matematic scriem: a,b \in N, a|b , daca \exists c\in N , unde N= multimea numerelor naturale, astfel incat b=a\cdot c

Exp:

2|6, deoarece exista un numar natural “c” astfel incat 6=2\cdot c (numarul natural ‘c’ este 3 ), deci 2 este un divizor al lui 6.

Obs: -Fie “n” un numar natural oarecare;  n|0 , deoarece exista un numar natural ‘c’ astfel incat  0=n\cdot c(numarul natural c este 0).
– 0|0, deoarece exista nu numar natural ‘c’ astfel incat sa se verifice relatia divizibilitatii.

Exercitii:
1)Determinati elementele multimii:
a)D_{14}
b)D_{18}
c) D_{24}
d) D_{14}\cap D_{18}
e) D_{14}\cap D_{24}
f) D_{18}\cap D_{24}
g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}
Solutie:

Daca suntem atenti la definitia divizibilitatii gasim divizorii lui 14 (divizorii lui 14 sunt acele numere care se impart exact fara rest), astfel :

a) D_{14}=\left\{1; 2; 7; 14\right\}, 1|14 deoarece exista un c=14 astfel incat 14=1\cdot 14 sau mai bine spus 14 se imparte exact la 1, restul se face asemanator.

b) D_{18}=\left\{1; 2; 3; 6; 9;18\right\}

c) D_{24}=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\right\}

d) D_{14}\cap D_{18}=\left\{1; 2\right\}, la intersectie luam partea comuna a celor doua multimi.

e) D_{14}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

f) D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2; 3; 6\right\}

g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

2) Aratati ca numerele de forma x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+3^{n+2}\cdot 5^{n} sunt divizibile cu 27, unde n\in N^{*}.

Solutie
Ca sa aratam ca e divizibil cu 27 trebuie sa gasim un numar de forma 27\cdot alta cantitate, astfel incercam sa scriem numarul nostru in asa fel incat sa putem da factor comun o anumita cantitate, in cazul de fata ca sa dam factor comun pe 15^{n}, trebuie sa mai lucram ultimul termen
3^{n+2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 3^{2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 3^{2}=\left(3\cdot 5\right)^{n}\cdot 9=15^{n}\cdot 9.

Astfel

x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+15^{n}\cdot 9
x=15^{n}\left(15+3+9\right)
x=15^{n}\cdot 27

Deci numarul nostru este divizibil cu 27.

In cazul exercitiului de mai sus am folosit si regulile de calcul cu puteri care le-am invatat in clasa a V-a.

Deci ca sa rezolvam exercitii trebuie sa ne folosim si de cunostintele dobandite anterior. Incercati sa rezolvati singuri urmatorul exercitiu:

3) Aratati ca numerele de forma x=72\cdot 12^{n}+3^{n+3}\cdot 4^{n+2} sunt divizibile cu 63, unde n\in N^{*}.
Solutie:
x=72\cdot 12^{n}+3^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{n}\cdot 4^{2}
Folosind regulile de calcul cu puteri obtinem ca:
x=72\cdot 12^{n}+\left(3\cdot 4\right)^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{2}
Adica
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 27\cdot 16
Deci
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 432
Adica
x=12^{n}\left(72+432\right)
Asadar
x=12^{n}\cdot 504\Rightarrow x=12^{n}\cdot 63\cdot 8, deci este divizibil cu 63