Divizibilitatea numerelor naturale – divizori si multipli

Inca din clasa a V-a am introdus notiunea de divizibilitate iar acum o sa vorbim, o sa ne reamintim divizibilitatea numerelor naturale, adica notiunea de divizori si multipli.

Def: Fie „a” si „b” doua numere naturale. Spunem ca a divide b si notam „a|b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat $b=a\cdot c$ sau spunem ca „a” este un divizor al lui „b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat $b=a\cdot c$ . Matematic scriem: $a,b \in N, a|b$ , daca $\exists c\in N$ , unde N= multimea numerelor naturale, astfel incat $b=a\cdot c$

Exp:

2|6, deoarece exista un numar natural „c” astfel incat $6=2\cdot c$ (numarul natural ‘c’ este 3 ), deci 2 este un divizor al lui 6.

Obs: -Fie „n” un numar natural oarecare; $n|0$ , deoarece exista un numar natural ‘c’ astfel incat $0=n\cdot c$ (numarul natural c este 0).
– 0|0, deoarece exista nu numar natural ‘c’ astfel incat sa se verifice relatia divizibilitatii.

Exercitii:
1)Determinati elementele multimii:
a) $D_{14}$
b) $D_{18}$
c) $D_{24}$
d) $D_{14}\cap D_{18}$
e) $D_{14}\cap D_{24}$
f) $D_{18}\cap D_{24}$
g) $D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}$
Solutie:

Daca suntem atenti la definitia divizibilitatii gasim divizorii lui 14 (divizorii lui 14 sunt acele numere care se impart exact fara rest), astfel :

a) $D_{14}=\left\{1; 2; 7; 14\right\}$ , $1|14$ deoarece exista un c=14 astfel incat $14=1\cdot 14$ sau mai bine spus 14 se imparte exact la 1, restul se face asemanator.

b) $D_{18}=\left\{1; 2; 3; 6; 9;18\right\}$

c) $D_{24}=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\right\}$

d) $D_{14}\cap D_{18}=\left\{1; 2\right\}$ , la intersectie luam partea comuna a celor doua multimi.

e) $D_{14}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}$

f) $D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2; 3; 6\right\}$

g) $D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}$

2) Aratati ca numerele de forma $x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+3^{n+2}\cdot 5^{n}$ sunt divizibile cu 27, unde $n\in N^{*}$ .

Solutie
Ca sa aratam ca e divizibil cu 27 trebuie sa gasim un numar de forma $27\cdot$ alta cantitate, astfel incercam sa scriem numarul nostru in asa fel incat sa putem da factor comun o anumita cantitate, in cazul de fata ca sa dam factor comun pe $15^{n}$ , trebuie sa mai lucram ultimul termen
$3^{n+2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 3^{2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 3^{2}=\left(3\cdot 5\right)^{n}\cdot 9=15^{n}\cdot 9$ .

Astfel

$x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+15^{n}\cdot 9$
$x=15^{n}\left(15+3+9\right)$
$x=15^{n}\cdot 27$

Deci numarul nostru este divizibil cu 27.

In cazul exercitiului de mai sus am folosit si regulile de calcul cu puteri care le-am invatat in clasa a V-a.

Deci ca sa rezolvam exercitii trebuie sa ne folosim si de cunostintele dobandite anterior. Incercati sa rezolvati singuri urmatorul exercitiu:

3) Aratati ca numerele de forma $x=72\cdot 12^{n}+3^{n+3}\cdot 4^{n+2}$ sunt divizibile cu 63, unde $n\in N^{*}$ .
Solutie:
$x=72\cdot 12^{n}+3^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{n}\cdot 4^{2}$
Folosind regulile de calcul cu puteri obtinem ca:
$x=72\cdot 12^{n}+\left(3\cdot 4\right)^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{2}$
Adica
$x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 27\cdot 16$
Deci
$x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 432$
Adica
$x=12^{n}\left(72+432\right)$
Asadar
$x=12^{n}\cdot 504\Rightarrow x=12^{n}\cdot 63\cdot 8$ , deci este divizibil cu 63

Divizibilitatea numerelor naturale – divizori si multipli

Recente

Categorii