Ecuatia de forma x^{2}=a unde a este un numar rational

Ecuatia de forma $x^{2}=a$ .

Pana in acest moment am discutat doar de ecuatia de gradul I, pe care am rezolvat-o fie in multimea numerelor naturale, fie in multimea numerelor rationale, fie in multimea numerelor intregi. Acum a venit vremea se discutam despre ecuatia de forma $x^{2}=a$ unde a este un numar rational.

Astfel a rezolva o ecuatie de forma $x^{2}=a$ , unde $a\in Q$ , in multimea $M\subset R$ inseamna a determina toate valorile $x_{0}\in M$ pentru care propozitia $x^{2}_{0}=a$ este adevarata.

Valorile pe care le gasim, daca le gasim, se numesc solutiile ecuatiei, iar multimea lor notata de regula cu S se numeste multimea solutiilor ecuatiei.

Pentru a rezolva ecuatia $x^{2}=a$ presupune discutarea a trei cazuri:

Daca $a<0$ , atunci ecuatia nu are solutii, astfel $S=\Phi$ , deorece $x^{2}\geq a\geq 0$ , pentru a numar real.

Daca $a=0$ , atunci ecuatia se scrie $x^{2}=0$ si astfel ecuatia are o unica solutie $x=0$ , deci $S=\left\{0\right\}$

Daca $a>0$ , atunci ecuatia se scrie $x^{2}=a$ si are doua solutii reale si distincte:

$x^{2}=a\Rightarrow x=\pm\sqrt{a}$ , deci $x_{1}=\sqrt{a}$ si $x_{2}=-\sqrt{a}$ , astfel $S=\left\{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\right\}$ .

Prezentam exemple prin care sa intelegem cea ce am spus mai sus:

1) Rezolvati ecuatiile:

a) $4x^{2}=64$

b) $3x^{2}+2=1^{2}+\left(-1\right)^{2}$

c) $2x^{2}=1-\left(-1\right)^{2010}$

Solutie:

a) $4x^{2}=64:4\Rightarrow x^{2}=64:4\Rightarrow x^{2}=16\Rightarrow x=\pm\sqrt{16}$

Deci $x_{1}=-\sqrt{16}=-4$ , dar si $x_{2}=+\sqrt{16}=+4$

Deci $S=\left\{-4, 4\right\}$

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am impartit prin 4, atat in membrul stang cat si in membrul drept, ca sa aducem ecuatia la forma $x^{2}=a$ , observam ca in cazul nostu a=16, deci mai mare decat 0. Deci ecuatia de mai sus are doua solutii rele si distincte si astfel am obtinut o radacina -4, iar cea de-a doua +4.

b) $3x^{2}+2=1^{2}+\left(-1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2=1+1\Rightarrow 3x^{2}=2-2\Rightarrow 3x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=0\Rightarrow x=0$
Deci $S=\left\{0\right\}$

Observati ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am efectuat mai intai operatia de ridicare la putere a numerelor naturla si inregi, apoi am adus ecuatia la forma generala, adica am scazut 2 atat din membrul stang cat si din membrul drept, si astfel am obtinut rezultatul 0, deci suntem in cazul al treilea pe care l-am prezentat mai sus. Astfel gasim ca ecuatia are solutia 0.

c) $2x^{2}=1-\left(-1\right)^{2010}\Rightarrow 2x^{2}=1-1\Rightarrow 2x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=0\Rightarrow x=0$

d) $x^{2}=-2$

In cazul ecuatiei de mai sus -2<0, deci suntem in primul caz care l-am prezentat mai sus si astfel obtinem ca ecuatia nu are solutii reale.

2) Rezolvati ecuatiile:

a) $x^{2}-6x-16=0\Rightarrow x^{2}-8x+2x-16=0\Rightarrow x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)=0\Rightarrow \left(x-8\right)\cdot\left(x+2\right)=0$

Si astfel obtinem

$x-8=0\Rightarrow x=8$

Dar si ca

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am folosit descompunerea in factori, astfel lam scris pe -6x ca fiind -8x+2x, astfel incat sa putem da factor comun si sa obtinem un produs de factori primi, apoi observati ca am obtinut factorul comun x-8 si astfel am obtinut un produs de factori primi.

Acum in cazul ecuatiei produsul fiind egal cu 0, atunci cel putin una din ecuatii este egal cu 0 si astfel am obtinut solutiile ecuatiei.

b) $\left(x-3\right)^{2}-25=0\Rightarrow \left(x-3\right)-5^{2}=0\Rightarrow \left(x-3-5\right)\left(x-3+5\right)=0$