Ne place matematica !

Ecuatia de forma x^{2}=a unde a este un numar rational

Ecuatia de  forma x^{2}=a.

Pana in acest moment am discutat doar de ecuatia de gradul I, pe care am rezolvat-o fie in multimea numerelor naturale, fie in multimea numerelor rationale, fie in multimea numerelor intregi. Acum a venit vremea se discutam despre ecuatia de forma x^{2}=a unde a este un numar rational.

Astfel a rezolva o ecuatie de forma x^{2}=a, unde a\in Q, in multimea M\subset R inseamna a determina toate valorile x_{0}\in M pentru care propozitia x^{2}_{0}=a este adevarata.

Valorile pe care le gasim, daca le gasim, se numesc solutiile ecuatiei, iar multimea lor notata de regula cu S se numeste multimea solutiilor ecuatiei.

Pentru a rezolva ecuatia x^{2}=a presupune discutarea a trei cazuri:

Daca a<0, atunci ecuatia nu are solutii, astfel S=\Phi, deorece x^{2}\geq a\geq 0, pentru a numar real.

Daca a=0, atunci ecuatia se scrie x^{2}=0 si astfel ecuatia are o unica solutie x=0, deci S=\left\{0\right\}

Daca a>0 , atunci ecuatia se scrie x^{2}=a si are doua solutii reale si distincte:

x^{2}=a\Rightarrow x=\pm\sqrt{a}, deci x_{1}=\sqrt{a} si x_{2}=-\sqrt{a}, astfel S=\left\{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\right\}.

Prezentam exemple prin care sa intelegem cea ce am spus mai sus:

1) Rezolvati ecuatiile:

a)4x^{2}=64

b) 3x^{2}+2=1^{2}+\left(-1\right)^{2}

c) 2x^{2}=1-\left(-1\right)^{2010}

Solutie:

a) 4x^{2}=64:4\Rightarrow x^{2}=64:4\Rightarrow x^{2}=16\Rightarrow x=\pm\sqrt{16}

Deci x_{1}=-\sqrt{16}=-4, dar si x_{2}=+\sqrt{16}=+4

Deci S=\left\{-4, 4\right\}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am impartit prin 4, atat in membrul stang cat si in membrul drept, ca sa aducem ecuatia la forma x^{2}=a, observam ca in cazul nostu a=16, deci mai mare decat 0. Deci ecuatia de mai sus are doua solutii rele si distincte si astfel am obtinut o radacina -4, iar cea de-a doua +4.

b) 3x^{2}+2=1^{2}+\left(-1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2=1+1\Rightarrow 3x^{2}=2-2\Rightarrow 3x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=0\Rightarrow x=0
Deci S=\left\{0\right\}

Observati ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am efectuat mai intai operatia de ridicare la putere a numerelor naturla si inregi, apoi am adus ecuatia la forma generala, adica am scazut 2 atat din membrul stang cat si din membrul drept, si astfel am obtinut rezultatul 0, deci suntem in cazul al treilea pe care l-am prezentat mai sus. Astfel gasim ca ecuatia are solutia 0.

 

c) 2x^{2}=1-\left(-1\right)^{2010}\Rightarrow 2x^{2}=1-1\Rightarrow 2x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=0\Rightarrow x=0

d) x^{2}=-2

In cazul ecuatiei de mai sus -2<0, deci suntem in primul caz care l-am prezentat mai sus si astfel obtinem ca ecuatia nu are solutii reale.

2) Rezolvati ecuatiile:

a) x^{2}-6x-16=0\Rightarrow x^{2}-8x+2x-16=0\Rightarrow x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)=0\Rightarrow \left(x-8\right)\cdot\left(x+2\right)=0

Si astfel obtinem

x-8=0\Rightarrow x=8

Dar si ca

x+2=0\Rightarrow x=-2

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am folosit descompunerea in factori, astfel lam scris pe -6x ca fiind -8x+2x, astfel incat sa putem da factor comun si sa obtinem un produs de factori primi, apoi observati ca am obtinut factorul comun x-8 si astfel am obtinut un produs de factori primi.

Acum in cazul ecuatiei produsul fiind egal cu 0, atunci cel putin una din ecuatii este egal cu 0 si astfel am obtinut solutiile ecuatiei.

b) \left(x-3\right)^{2}-25=0\Rightarrow \left(x-3\right)-5^{2}=0\Rightarrow \left(x-3-5\right)\left(x-3+5\right)=0

si astfel solutiile ecuatiei sunt

x-3-5=0\Rightarrow x-8=0\Rightarrow x=8

Dar si x-3+5=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2

Si astfel am gasit solutiile ecuatiei.

Observati ca am folosit fomula de calcul prescutat a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right), unde in cazul nostru a=x-3, iar b=5

Putem sa rezolvam ecuatia si altfel astfel avem:

\left(x-3\right)^{2}-25=0\Rightarrow \left(x-3\right)^{2}=25\Rightarrow x-3=\pm\sqrt{25}

si astfel obtinem

x-3=-\sqrt{25}\Rightarrow x-3=-5\Rightarrow x=-5+3\Rightarrow x=-2

Dar si x-3=\sqrt{25}\Rightarrow x-3=5\Rightarrow x=5+3\Rightarrow x=8

Metoda a doua de rezolvare consta in faptul ca folosim rezolvarea ecuatiei x^{2}=a

Astfel \left(x-3\right)^{2} este considerat x^{2}, iar a=25, astfel  obtinem doua solutii ale ecuatiei iar restul este calcul.