Execitii rezolvate cu divizibilitatea

Prezentam rezolvarea unor exercitii cu ajutorul divizibilitatii, dar si gasirea unor numere naturale care satisfac simultan mai multe conditii.
Demonstrati ca numarul $A= 2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+ 2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 14 + 3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2$ se divide cu 17 oricare ar fi n numar natural.

Solutie:
Ca sa demonstram ca numarul A se divide cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri
$A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2$
Pentru cei care nu va reamintiti folosim regula de calcul cu puteri
$a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}$
Astfel A devine $A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2$
Acum daca factor comun pe $30^{n}$ obtinem:
$A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17$
Astfel avem: $17|17\cdot 30^{n}$
Si stim ca daca 17|17, atunci $17|17\cdot 30^{n}$

2. Sa se gaseasca toate nr. naturale de 3 cifre care satisfac simultan conditiile:- cifra sutelor este egala cu suma celorlalte 2 cifre ale numarului – PRODUSUL CIFRELOR NUMARULUI este egal cu triplul sumei cifrelor acestuia.

Solutie:

Numerele naturale de trei cifre sunt de forma $abc$
Iar noi stim ca $a=b+c$ cifra sutelor este egala cu suma celorlalte 2 cifre ale numarului
Dar si $a\cdot b\cdot c=3\left(a+b+c\right)$ PRODUSUL CIFRELOR NUMARULUI este egal cu triplul sumei cifrelor acestuia.
Stim ca a>0
Iar daca din prima relatie inlocuim in cea de-a doua obtinem:
$\left(b+c\right)\cdot b\cdot c=3\left(b+c+b+c\right)\Rightarrow$
Adunand in membrul drept termenii asemenea, obtinem $\left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot\left(2b+2c\right)\Rightarrow$
Iar acum dand factor comun in membrul drept cifra 2 obtinem
$\left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot\left[2\left(b+c\right)\right]\Rightarrow \left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot 2\left(b+c\right)\Rightarrow$
Iar acum observati ca putem simplifica egalitatea prin $\left(b+c\right)$