Prezentam rezolvarea unor exercitii cu ajutorul divizibilitatii, dar si gasirea unor numere naturale care satisfac simultan mai multe conditii.
Demonstrati ca numarul $latex A= 2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+ 2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 14 + 3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2$ se divide cu 17 oricare ar fi n numar natural.
Solutie:
Ca sa demonstram ca numarul A se divide cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri
$latex A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2$
Pentru cei care nu va reamintiti folosim regula de calcul cu puteri
$latex a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}$
Astfel A devine $latex A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2$
Acum daca factor comun pe $latex 30^{n}$ obtinem:
$latex A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17$
Astfel avem: $latex 17|17\cdot 30^{n}$
Si stim ca daca 17|17, atunci $latex 17|17\cdot 30^{n}$
2. Sa se gaseasca toate nr. naturale de 3 cifre care satisfac simultan conditiile:- cifra sutelor este egala cu suma celorlalte 2 cifre ale numarului – PRODUSUL CIFRELOR NUMARULUI este egal cu triplul sumei cifrelor acestuia.
Solutie:
Numerele naturale de trei cifre sunt de forma $latex abc$
Iar noi stim ca $latex a=b+c$ cifra sutelor este egala cu suma celorlalte 2 cifre ale numarului
Dar si $latex a\cdot b\cdot c=3\left(a+b+c\right)$ PRODUSUL CIFRELOR NUMARULUI este egal cu triplul sumei cifrelor acestuia.
Stim ca a>0
Iar daca din prima relatie inlocuim in cea de-a doua obtinem:
$latex \left(b+c\right)\cdot b\cdot c=3\left(b+c+b+c\right)\Rightarrow$
Adunand in membrul drept termenii asemenea, obtinem $latex \left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot\left(2b+2c\right)\Rightarrow$
Iar acum dand factor comun in membrul drept cifra 2 obtinem
$latex \left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot\left[2\left(b+c\right)\right]\Rightarrow \left(b+c\right)\cdot bc=3\cdot 2\left(b+c\right)\Rightarrow$
Iar acum observati ca putem simplifica egalitatea prin $latex \left(b+c\right)$
$latex \left(b+c\right)\cdot bc=6\left(b+c\right)|\left(b+c\right)\Rightarrow bc=6$
Si obtinem ca produsul dintre numerele b si c care este 6.
Pentru b=2 si c=3 obtinem
Pentru b=2 si c=3 obtinem a=b+c=2+3=5
Deci se verifica relatia si numarul gasit este 523
Pentru $latex b=3$ si c=2 obtinem la fel a=5 si obtinem numarul 532.
Pentru b=1 si c=6 obtinem a=b+c=6+1=7 si numerele obtinute sunt 716, dar si 761.
Deci numerele gasite sunt: 716; 761; 532 si 523.
