Exercitii rezolvate cu divizibilitate

Prezentam doua exercitii rezolvate cu divizibilitatea numerelor naturale

1. Sa se afle numerele naturale a si b, stiind ca sunt indeplinite relatiile:
a-b= 156 si (a,b)=13
Solutie:
Ca sa aflam numerele a si b, trebuie sa tinem cont de conditiile de mai sus. Adica
a-b=156 dar si (a, b)=13
Dar, sigur a>b cum cel mai mare divizor comun a celor doua numere este 13, adica 13|a, de unde conform definitiei divizibilitatii, rezulta ca exista un numar natural c astfel incat $a=13\cdot c$
si 13|b, de unde la fel conforma definitiei divizibilitatii numerelor naturale ca exista un numar natural t, astfel incat $b=13\cdot t$

Astfel diferenta devine:

$a-b=156\Rightarrow 13\cdot c-13\cdot t=156\Rightarrow 13\left(c-t\right)=156$ , cu c>t
Si obtinem $c-t=156:13\Rightarrow c-t=12$
Deci diferenta dintre c si t este 12, dar si c>t, ca sa aiba loc sens diferenta.
Pentru t=1, obtinem $c-1=12\Rightarrow c=12+1\Rightarrow c=13$
Si obtinem $a=13\cdot c=13\cdot 13=169$ si $b=13\cdot 1=13$
Pentru t=2, obtinem $c-2=12\Rightarrow c=14$
Si obtinem $a=13\cdot c=13\cdot 14=$
Si $b=13\cdot 2$

Si am obtine ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 26 si nu satisface cea de-a doua conditie, deci nu convine.
Pentru t=3, obtinem $c-3=12\Rightarrow c=15$
Si $a=13\cdot 15=$
Dar si $b=13\cdot 3$
si la fel obtinem ca cel mai mare divizor comun al numerelor este 39 ceea ce nu convine
…………..

Pentru t=5, obtinem $c-5=12\Rightarrow c=17$
Si obtinem $a=13\cdot c=13\cdot 17=221$
Si $b=13\cdot t=13\cdot 5=65$ , ceea ce satisface conditia de mai sus.
………………………

Pentru t=7, obtinem $c-7=12\Rightarrow c=19$
Si obtinem $a=13\cdot 19=247$
Si $b=13\cdot 7=91$ , pentru care se verifica conditiile de mai sus.

Pentru t=11, obtinem $c-11=12\Rightarrow c=23$
Obtinem $a=13\cdot 23=299$
Si $b=13\cdot t=13\cdot 11=143$ , de unde se verifica conditiile de mai sus.
Pentru t=13, obtinem $c-13=12\Rightarrow c=12+13\Rightarrow c=25$
Iar numerele gasite sunt $a=13\cdot 25=325$
Si $b=13\cdot t=13\cdot 13=169$
Astfel stim ca $c=12+t$
Pentru t=17, obtinem c=12+17=29
Si obtinem $a=13\cdot 29=377$ si $b=13\cdot 17=221$ si asa mai departe.

2. Determinati numerle de forma 73xy(cu bara deasupra) divizible cu 36 ca numerele de forma 73xy sa fie divizibile cu 36, trebuie sa fie divizibile atat cu 9 cat si cu 4, astfel folosim criteriile de divizibilitate.

Stim ca un numar este divizibil cu 4 daca ultimile doua cifre sunt divizibile cu 4, dar si criteriul de divizibilitate cu 9, adica un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor este divizibila cu 9, astfel avem:
$7+3+x+y=10+x+y$
Astfel pentru x=y=4, obtinem $\left(10+4+4=18\right)\vdots 9$ , dar este divizibil si cu 4, deci primul numar gasit este 7344
Pentru x=6 si y=2 obtinem $\left(10+6+2\right)=18\vdots 9$ , dar nu si cu 4.

Si obtinem ca numarul 7362 nu este divizibil cu 36.
Pentri x=8 si y=0, obtinem $\left(10+8+0\right)=18\vdots 9$
Iar numarul gasit este 7380 care este divizibil si cu 4, deci divizibil cu 36.
Deci numerele gasite sunt 7344 si 7380.

Exercitii rezolvate cu divizibilitate

Recente

Categorii